1、排序不等式排序不等式1用向量递归方法讨论排序不等式2了解排序不等式的基本形式，用排序不等 式解决简单的数学问题 1基本概念一般地，设有两组数：a1a2a3，b1b2b3，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：对应关系和备注(a1，a2，a3)(b1，b2，b3)S1a1b1a2b2a3b3同序和(a1，a2，a3)(b1，b3，b2)S2a1b1a2b3a3b2乱序和(a1，a2，a3)(b2，b1，b3)S3a1b2a2b1a3b3乱序和(a1，a2，a3)(b2，b3，b1)S4a1b2a2b3a3b1乱序和(a1，a2，a3)(b3，b
2、1，b2)S5a1b3a2b1a3b2乱序和(a1，a2，a3)(b3，b2，b1)S6a1b3a2b2a3b1反序和根据上面式子猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：同序和a1b1a2b2a3b3最大，反序和a1b3a2b2a3b1最小练习：计算下列各组数并找出其中最大最小的数：对应关系和备注(1,2,3)(25,30,45)S1a1b1a2b2a3b3_同序和(1,2,3)(25,45,30)S2a1b1a2b3a3b2_乱序和(1,2,3)(30,25,45)S3a1b2a2b1a3b3_乱序和(1,2,3)(30,45,25)S4a1b2a2b3a3b1_乱序和(1,2,3)(45,2
3、5,30)S5a1b3a2b1a3b2_乱序和(1,2,3)(45,30,25)S6a1b3a2b2a3b1_反序和练习：220205215195185180同序和a1b1a2b2a3b3220最大，反序和a1b3a2b2a3b1180最小2排序不等式的一般情形一般地，设有两组实数：a1，a2，a3，an与b1，b2，b3，bn，且它们满足：a1a2a3an，b1b2b3bn，若c1，c2，c3，cn是b1，b2，b3，bn的任意一个排列，则和数a1c1a2c2ancn在a1，a2，a3，an与b1，b2，b3，bn同序时最大，反序时最小，即：a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna
4、1bna2bn1anb1，等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立分析：观察不等式找出数组，并比较大小，并用排序原理证明跟踪训练跟踪训练点评：在证明不等式的过程中，往往将“n个互不相同的正整数”进行排序，这种排序并不失一般性，是证明中常常使用的一个技巧本题较难之处是如何想到构造新的排列b1，b2，bn，这需要考生从正确的方向进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的条件，挖掘条件背后更深的内容，为使用已有经典不等式创造条件证明：不妨设a1a2an，b1b2bn，则由排序原理得a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbn，a1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1，a1b1a
5、2b2anbna1b3a2b4an1b1anb2，一层练习一层练习A1车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，每台机床停产1 min损失5元，经合理安排损失最少为()A420元B400元C450元D570元2某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则最少和最多花的钱数为()A19元，24元 B20元，19元C19元，25元 D25元，27元C5有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i1，2，10)个人的水桶需要ti分钟，假定这些ti各不相同，问
6、只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？分析：这是一个实际问题，需要将它数学化，即转化为数学问题若第一个接水的人需t1分钟，接这桶水时10人所需等候的总时间是10t1分钟；第二个接水的人需t2分钟，接这桶水时9人所需等候的总时间是9t2分钟；如此继续下去，到第10人接水时，只有他一个在等，需要t10分钟所以，按这个顺序，10人都接满水所需的等待总时间(分钟)是10t19t22t9t10.这个和数就是问题的数学模型，现要考虑t1，t2，t10满足什么条件时这个和数最小解析：等待总时间(分钟)是10t19t22t9t10.根据排序不等式，当t1t
7、2t9t10时总时间取最小值这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等候的总时间最少，这个最少的总时间是10t19t22t9t10，其中t1t2t9t10.6设a1，a2，an为实数，且a1a2a3an，用排序不等式证明：a1c1a2c2ancnaaa，其中c1，c2，cn为a1，a2，an的任一排列二层练习二层练习9已知a，b，c为正数，且两两不相等，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)三层练习三层练习11设x0，求证：1xx2x2n(2n1)xn.证明：(1)x1时，1xx2xn，由排序原理得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x
8、2n(n1)xn，又因为x，x2，xn,1为序列1，x，x2，xn的一个排列，1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，xx3x2n1xn(n1)xn，得1xx2x2n(2n1)xn.(2)当0 x1时，1xx2xn，仍成立，也成立1排序不等式也是基本而重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要不等式可以借助排序不等式得以证明2排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按a数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就不按“常规”的顺序了，对于排序定理的记忆，我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系，比如教材上的例子3对于排序不等式取等号的条件不难理解，a1a2an或b1b2bn，但对于我们解决某些问题则非常关键，它是命题成立的一种条件，所以要牢记
