1、逆矩阵与二元一次逆矩阵与二元一次方程组方程组一、逆变换与逆矩阵一、逆变换与逆矩阵若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。二、求解逆矩阵的常用方法二、求解逆矩阵的常用方法复习回顾复习回顾 对于二阶矩阵对于二阶矩阵 A,B 若有若有 AB=BA=则称则称 A 是可逆的是可逆的,B 称为称为A 的的逆矩阵逆矩阵(简称简称A 的的逆逆)。1 00 1 EA的逆矩阵记为的逆矩阵记为 A-11 1、待定系数法。、待定系数法。2 2、行列式法。、行列式法。3 3、用几何变换的观点求解逆矩阵。用几何变换的观点求解逆矩阵。三、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵三、从几何
2、变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵若二阶矩阵若二阶矩阵A，B均可逆，则均可逆，则AB也可逆，也可逆，且且(AB)1B1 A1四、二阶矩阵满足消去律的条件四、二阶矩阵满足消去律的条件复习回顾复习回顾已知已知A,B,C为二阶矩阵，且为二阶矩阵，且AB=AC.若若A可逆可逆，则，则B=C消元法二求解元一次方程组消元法二求解元一次方程组 (1)(2)axbymcxdyn 当当adadbc0bc0时，方程组的解为时，方程组的解为xan-cmad-bcmdbnadbcy 引入：引入：(1)(2)db 得：a（d-bc)x=dm-bn,(2)(1)ac 得：aa（d-bc)x=n-cm,.abcdabadb
3、ccd 我我们们把把称称为为，它它的的运运算算结结果果是是一一个个数数值值（或或多多项项式式），记记为为d de e二二阶阶行行列列式式t t(A A)=建构数学：建构数学：abcd观察上述结果，我们可以发现x,y的分母一样，都是将线性方程组的系数矩阵中主对角线上的两数之积减去副对角线上的两数之积得到的结果.A=|abcd我们将矩阵两边的“”改为“”,引进以下定义：说明：ababcdcd二阶行列式与二阶矩阵的异同点：(1)从形式上看，矩阵外面是一个中括号.而行列式外面是两条竖线.(2)从实质上看，矩阵是一个数表，而行列式是一个数值.(3)矩阵和行列式的中间是一致的.axbymcxdyn cnm
4、bndxabcdamyabcd 解解记记为为：xbDDDccnyambamdnd若若记记，yDDDDxxy 则则有了行列式这个定义，我们可以将前述二元一次方程组一般解改写为：231014560 xyxy 例例：利利用用行行列列式式解解方方程程组组数学应用：数学应用：解：231456.xyxy，将方程组变形为因为23D=2 5-4 3=-2,45x13D=1 5-3 6=-13,6521D=2 6-1 4=8,46y13138x=,=4.222yxDDyDD 13,24.xy 该方程组的解为51273A 例例：利利用用行行列列式式的的方方法法求求解解矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵。51A=B73abc
5、d设矩阵的逆矩阵为，解：由AB=E有5110,7301abcd即5510,737b+3d01acbdac故515b07307b31acdacd，,a c先将看成未知数，则511051D=8,D=3,D=-7,731370ab37,.88ac 15b,.88d 同理可得：3188A.7588B 矩阵 的逆矩阵用逆矩阵的知识解决二元一次方程组的求解过程。用逆矩阵的知识解决二元一次方程组的求解过程。axbymcxdyn XB,yxmabAncd 记记：，则则AXB A-1-1左左乘乘1XA B 得得到到1d-badcadcA-caadcadcbbbb 其其中中解1x31A=X=,B2201y 记，则
6、AX=BA1(,)(,)2x yxy y由于 对应的是将平面上点（向量）保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且的切变变换，因此，1(,)(,)2x yxy y它存在唯一的逆变换：将平面上的点（向量）保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且的切变变换，-111A=201即，-1-1x3X=B211A=X=A B.201y 于是原方程的解为向量在变换矩阵对应的变换作用之后的向量，即-1Axy 由于矩阵是唯一存在的，因此，也是唯一存在的，且-11321A B=22201 且，2,2.xy该方程组的解为解：矩阵A对应的变换是投影变换，它把平面上所有的点(向量)都沿着垂直于x轴的方向投影到
7、直线y=x上.22 该方程组的求解就转化为已知投影变换的象，求它的原象.22,.2mRm 实际上，对任意的都是的原象2,.xyR因此，原方程组有无穷多组解，它们组成一条直线，即满足点都是方程组的解练习 【思路思路】利用待定系数法或者利用公式法。利用待定系数法或者利用公式法。已知已知=，求，求A-12423 412341511X解矩阵方程解矩阵方程 412341514151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵,41511 412341511XE一、消元法求解二元一次方程组一、消元法求解二元一次方程组二、二阶行列式二、二阶行列式一、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解一、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解二、用几何变换的观点讨论方程的解二、用几何变换的观点讨论方程的解应用：应用：课堂小结课堂小结
