1、2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式【思考】【思考】对于等比数列的前对于等比数列的前n n项和项和S Sn n=一定成立吗一定成立吗?提示提示:不一定不一定,当当q=1q=1时不成立时不成立.n11na(1 q)aa q1 q1 q【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)若等比数列的首项若等比数列的首项a a1 1=1,=1,公比为公比为2,2,则前则前n n项和项和S Sn n=()(2)(2)已知等比数列的已知等比数列的a a1 1,q,a,q,an n,则则S S
2、n n=()(3)(3)等比数列等比数列1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,的前的前n n项和等于项和等于0.0.()n 11 2.1 2n1naa q.1 q提示提示:(1)(1).S.Sn n=(2)(2).S.Sn n=(3)(3).S.Sn n=n1 2.1 21naa q.(q1)1 qnn1111.112 人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 82.2.等比数列等比数列aan n 的各项均为正实数的各项均为正实数,其前其前n n项和为项和为S Sn n.若若a a3 3=4,a=4,a2 2a a6 6=64,=64,则则S S5
3、 5=()A.32A.32B.31B.31C.64C.64D.63D.63人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8【解析】【解析】选选B.B.方法一方法一:设首项为设首项为a a1 1,公比为公比为q,q,因为因为a an n0,0,所以所以q0,q0,由条件得由条件得 ,解得解得 所以所以S S5 5=31;=31;21511a q4a q a q64 1a1q2，人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8方法二方法二:设首项为设首项为a a1 1,公比为公比为q,q,由由a a2 2a a6 6=
4、64,=64,又又a a3 3=4,=4,所以所以q=2,q=2,又因为又因为a a1 1q q2 2=4,=4,所以所以a a1 1=1,=1,所以所以S S5 5=31.=31.24a人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 83.3.在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a2 2=1,a=1,a5 5=8,=8,则数列则数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=_=_.人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8【解析】【解析】因为因为a a2 2=1,a=1,a5 5=8,=8,所以所
5、以a a5 5=a=a2 2q q3 3,即即q q3 3=8,=8,即即q=2,q=2,首项首项a a1 1=,=,则数列则数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=答案答案:2 2n-1n-1-52aann 11(1 2)122.1 221212人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8类型一等比数列前类型一等比数列前n n项和的计算项和的计算【典例】【典例】1.(20191.(2019汕头高一检测汕头高一检测)已知已知S Sn n为等比数为等比数列列aan n 的前的前n n项和项和,a,a1 1=1,a=1,a2 2a a3 3=
6、-8,=-8,则则S S6 6=()A.A.B.-24B.-24C.-21C.-21D.11D.111283人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 82.(20192.(2019广州高一检测广州高一检测)设设S Sn n是等比数列是等比数列aan n 的前的前n n项项和和,若若S S3 3=6,S=6,S6 6=54,=54,则则a a1 1=_=_.人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8【思维【思维引】引】1.1.利用项的关系求出公比代入公式求利用项的关系求出公比代入公式求S S6 6;2.2.
7、先求出数列的公比先求出数列的公比,代入前代入前n n项和公式求首项项和公式求首项.人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8人教A A版高中数学必修5 5同步数列8 8【解析】【解析】1.1.选选C.C.设等比数列设等比数列aan n 公比为公比为q,aq,a1 1=1,=1,a a2 2a a3 3=-8,=-8,则则a a2 2a a3 3=q=q3 3=-8,=-8,解得解得q=-2,q=-2,所以所以S S6 6=-21.=-21.231a q611212 2.2.因为因为S S3 3=6,S=6,S6 6=54,=54,所以所以 =1+q=1+q3 3=9,=9,解得解得q q3
8、3=8,=8,则则q=2,q=2,所以所以 =6,=6,解得解得a a1 1=.=.答案答案:31a(1 q)1 q61a(1 q)1 q63SS1a1 81 26767【内化【内化悟】悟】本例本例2 2中的消元方法是什么中的消元方法是什么?有什么优点有什么优点?提示提示:利用两式相除消元利用两式相除消元,消去消去a a1 1的同时起到了降低次的同时起到了降低次数的作用数的作用.【类题【类题通】通】等比数列前等比数列前n n项和的运算技巧项和的运算技巧(1)(1)注意考查条件注意考查条件,公比为公比为1 1时是否成立时是否成立.(2)(2)涉及的基本量有涉及的基本量有a a1 1,q,n,a,
9、q,n,an n,S,Sn n共五个共五个,“,“知三求二知三求二”,常常列方程组来求解常常列方程组来求解.(3)(3)消元解方程组的过程中消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体常常用到两式相除、整体代入的方法代入的方法.【习练【习练破】破】1.(20191.(2019全国卷全国卷)记记S Sn n为等比数列为等比数列aan n 的前的前n n项和项和.若若a a1 1=1,S=1,S3 3=,则则S S4 4=_=_.34【解析】【解析】设等比数列的公比为设等比数列的公比为q,q,由已知由已知S S3 3=a=a1 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2=1+q+q=1+q+q
10、2 2=,=,即即q q2 2+q+=0,+q+=0,解得解得q=-,q=-,所以所以S S4 4=答案答案:34141244111()a(1 q)52.11 q81()2 582.(20192.(2019石景山高一检测石景山高一检测)等比数列等比数列aan n 中中a a1 1=2,a=2,a4 4=16,=16,则其前则其前n n项和项和S Sn n=_=_.【解析】【解析】设数列设数列aan n 的公比为的公比为q,q,因为因为a a1 1=2,a=2,a4 4=16.=16.所以所以2q2q3 3=16,=16,解得解得q=2,q=2,所以所以S Sn n=2=2n+1n+1-2.-2
11、.答案答案:2 2n+1n+1-2-2n2(1 2)1 2【加练【加练固】固】已知单调递增的等比数列已知单调递增的等比数列aan n 其前其前n n项和为项和为S Sn n,若若a a2 2=2,S=2,S3 3=7,=7,则则a a6 6=()A.26A.26B.28B.28C.30C.30D.32D.32【解析】【解析】选选D.D.设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q,q,若若a a2 2=2,S=2,S3 3=7,=7,则则 +2+2q=7,+2+2q=7,解可得解可得q=2q=2或或 ,又由数列又由数列aan n 为单调递增的数列为单调递增的数列,则则q=2,q=2,则则
12、a a6 6=a=a2 2q q4 4=32.=32.2q12类型二等比数列前类型二等比数列前n n项和的实际应用项和的实际应用【典例】【典例】(2019(2019宜春高二检测宜春高二检测)中国古代数学著作中国古代数学著作算法统宗算法统宗中有这样一个问题中有这样一个问题:“:“三百七十八里关三百七十八里关,初行健步不为难初行健步不为难,次日脚痛减一半次日脚痛减一半,六朝才得到其关六朝才得到其关,要要见次日行数里见次日行数里,请公仔细算相还请公仔细算相还”.其意思为其意思为:“:“有一个有一个人走人走378378里路里路,第一天健步行走第一天健步行走,从第二天起脚痛每天从第二天起脚痛每天走的路程
13、为前一天的一半走的路程为前一天的一半,走了走了6 6天后到达目的地天后到达目的地”,请请问从第几天开始问从第几天开始,走的路程少于走的路程少于3030里里世纪金榜导世纪金榜导学号学号()A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6【思维【思维引】引】首先判断数列类型首先判断数列类型,其次确定数列的基本其次确定数列的基本量计算量计算.【解析】【解析】选选B.B.此人每天走的步数构成以此人每天走的步数构成以 为公比为公比的等比数列的等比数列,所以所以 =378,=378,解得解得a a1 1=192,=192,所以所以a an n=192=192 =384 =384 ,12161a(1)211
14、2n 11()2n1()2因为因为384384 30,12.8,12.8,经验证可得经验证可得n4,n4,即从第即从第4 4天开始天开始,走的路程少于走的路程少于3030里里.n1()2【内化【内化悟】悟】从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示提示:S Sn n=378,q=,n=6.=378,q=,n=6.12【类题【类题通】通】解答数列应用问题的方法解答数列应用问题的方法(1)(1)判断、建立数列模型判断、建立数列模型变化变化“量量”是同一个常数是同一个常数:等差数列等差数列;变化变化“率率”是同一个常数是同一个常数:等比数列等比数列.(2)
15、(2)提取基本量提取基本量从条件中提取相应数列的基本量从条件中提取相应数列的基本量a a1 1,q(d),n,a,q(d),n,an n,S,Sn n,列出方程列出方程(组组)求解求解.【习练【习练破】破】古代数学著作古代数学著作九章算术九章算术有如下问有如下问题题:“:“今有女子善织今有女子善织,日自倍日自倍,五日织五尺五日织五尺,问日织几何问日织几何?”?”意思是意思是:“:“一女子善于织布一女子善于织布,每天织的布都是前一天的每天织的布都是前一天的2 2倍倍,已知她已知她5 5天共织布天共织布5 5尺尺,问这女子每天分别织布多少问这女子每天分别织布多少?”?”根据上题的已知条件根据上题的
16、已知条件,该女子第二天织布多少尺该女子第二天织布多少尺?()510A.B.C.9D.103131【解析】【解析】选选B.B.等比数列等比数列aan n 中中,公比公比q=2,Sq=2,S5 5=5,=5,S S5 5=(2=(25 5-1)a-1)a1 1=5,=5,所以所以a a1 1=所以所以a a2 2=a=a1 1q=q=5511a(1 q)a(1 2)1 q1 2531，5102.3131【加练【加练固】固】一个热气球在第一分钟上升了一个热气球在第一分钟上升了30 m30 m的高度的高度,在以后在以后的每一分钟内的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升它上升的高度都是它在前一
17、分钟内上升高度的高度的 .这个热气球上升的高度能超过这个热气球上升的高度能超过150 m150 m吗吗?45【解析】【解析】用用a an n表示热气球在第表示热气球在第n n分钟内上升的高度分钟内上升的高度,由题意由题意,数列数列aan n 是首项是首项a a1 1=30,=30,公比公比q=q=的等比数列的等比数列.热气球在前热气球在前n n分钟内上升的总高度分钟内上升的总高度S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+an n=150=150 150,150,即这个热气球上升的高度不可能超过即这个热气球上升的高度不可能超过150 m.150 m.45nn1430(1)a(1 q)541
18、q15n4(1)5类型三等比数列前类型三等比数列前n n项和的简单性质项和的简单性质角度角度1 1前前n n项和公式的函数特征项和公式的函数特征【典例】【典例】(2019(2019桂林高一检测桂林高一检测)已知等比数列已知等比数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=3=3n-1n-1-1(R),-1(R),则则 世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.A.B.3B.3C.6C.6D.9D.9872(S1)a13【思维【思维引】引】利用前利用前n n项和公式的结构特征求出项和公式的结构特征求出及公及公比比,再利用再利用S Sn n的表达式计算的表达式计算;也可由也可由S Sn n表示出表
19、示出a a1 1,a,a2 2,a,a3 3后后求求及公比及公比,再利用再利用S Sn n的表达式计算的表达式计算.【解析】【解析】选选D.D.方法一方法一:S:Sn n=3 3n-1n-1-1=-1=3 3n n-1,-1,所以所以 =1,=3=1,=3且且q=3,q=3,又又a a1 1=S=S1 1=3=33 3n-1n-1-1=2,-1=2,3388672(S1)2(31 1)9a2 3 ；方法二方法二:等比数列等比数列aan n 满足满足S Sn n=3 3n-1n-1-1,-1,当当n=1n=1时时,有有a a1 1=S=S1 1=-1,=-1,有有a a2 2=S=S2 2-S-
20、S1 1=(3-1)-(-1)=2,=(3-1)-(-1)=2,a a3 3=S=S3 3-S-S2 2=(9-1)-(3-1)=6,=(9-1)-(3-1)=6,则有则有66(-1)=(2)(-1)=(2)2 2,解可得解可得=3=3或或0(0(舍舍),),首项首项a a1 1=2,=2,则则 88672(S1)2(31 1)9.a2 3【素养【素养探】探】等比数列的前等比数列的前n n项和公式实质是关于项和公式实质是关于n n的函数的函数,再利用其再利用其结构特征可以确定系数之间的关系结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养这用到了核心素养中的数学抽象中的数学抽象.将本例中的条件变
21、为将本例中的条件变为“S Sn n=3=32 2n n+a”,+a”,则则S S5 5=_=_.【解析】【解析】数列数列aan n 是等比数列是等比数列,若若q=1,q=1,显然显然S Sn n=3=32 2n n+a,+a,不成立不成立.故数列故数列aan n 的公比的公比q1,q1,所以所以S Sn n=故故q=2,=-3,q=2,=-3,故故a=-3.a=-3.nn111a(1 q)aa q1 q1 q1 q，1a1 q所以所以S S5 5=3=32 25 5-3=93.-3=93.答案答案:9393角度角度2 2前前n n项和的性质项和的性质【典例】【典例】设等比数列设等比数列aan
22、n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,已知已知S S3 3=8,S=8,S6 6=7,=7,则则a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=世纪金榜导学号世纪金榜导学号()【思维【思维引】引】利用利用S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6的关系求值的关系求值.115755A.B.C.D.8888【解析】【解析】选选A.A.方法一方法一:由等比数列前由等比数列前n n项和的性质知项和的性质知S S3 3,S S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6成等比数列成等比数列,又又a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=S=S9 9-S-S6 6,则则S S
23、3 3,S,S6 6-S-S3 3,a,a7 7+a+a8 8+a+a9 9成等比数列成等比数列,从而从而a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=2633(SS)1.S8方法二方法二:因为因为S S6 6=S=S3 3+S+S3 3q q3 3,所以所以q q3 3=所以所以a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=S=S9 9-S-S6 6=S=S3 3q q6 6=8=8 633SS1S8，211().88【类题【类题通】通】1.1.等比数列前等比数列前n n项和公式的特征项和公式的特征数列数列aan n 是非常数数列的等比数列是非常数数列的等比数列S Sn n=-Aq=-Aqn n+A
24、(A0,q0,1,nN+A(A0,q0,1,nN*).).即指数式的系数与常数项互为相反数即指数式的系数与常数项互为相反数,其中其中A=A=1a.1 q2.2.等比数列前等比数列前n n项和公式的性质项和公式的性质等比数列的前等比数列的前n n项和为项和为S Sn n,则则S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n仍成等比仍成等比数列数列.【习练【习练破】破】在等比数列在等比数列aan n 中中,已知已知S Sn n=48,S=48,S2n2n=60,=60,求求S S3n3n.【解析】【解析】因为因为aan n 为等比数列为等比数列,显然公比不等于显然公比不等
25、于-1,-1,所以所以S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n也成等比数列也成等比数列,所以所以(S(S2n2n-S-Sn n)2 2=S=Sn n(S(S3n3n-S-S2n2n),),所以所以S S3n3n=222nn2nn6048(SS)S63.S4860【加练【加练固】固】一个等比数列的首项是一个等比数列的首项是1,1,项数是偶数项数是偶数,其奇数项的和为其奇数项的和为85,85,偶数项的和为偶数项的和为170,170,求此数列的公比和项数求此数列的公比和项数.【解析】【解析】因为因为S S偶偶=a=a2 2+a+a4 4+a+a2n2n=a=a1 1q+aq+a3 3q+q+a+a2n-12n-1q q=(a=(a1 1+a+a3 3+a+a2n-12n-1)q=S)q=S奇奇q.q.所以所以q=q=又又S Sn n=85+170=255,=85+170=255,据据S Sn n=得得 =255,=255,S1702.S85偶奇n1a(1 q)1 q，n1 21 2所以所以2 2n n=256,=256,所以所以n=8.n=8.即公比即公比q=2,q=2,项数项数n=8.n=8.
