1、第2课时等比数列习题课类型一等差、等比数列性质的应用类型一等差、等比数列性质的应用【典例】【典例】1.(20191.(2019青岛高二检测青岛高二检测)已知数列已知数列aan n 为等为等比数列比数列,满足满足a a3 3a a1111=6a=6a7 7;数列数列bbn n 为等差数列为等差数列,其前其前n n项和项和为为S Sn n,且且b b7 7=a=a7 7,则则S S1313=()A.13A.13B.48B.48C.78C.78D.156D.1562.2.由实数构成的等比数列由实数构成的等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a1 1=2,=2,且且a a2
2、2-4,a-4,a3 3,a,a4 4成等差数列成等差数列,则则S S6 6=()A.62A.62B.124B.124C.126C.126D.154D.154【思维【思维引】引】1.1.利用等比数列的性质求出利用等比数列的性质求出b b7,7,即即a a7 7,同时同时求求S S13;13;2.2.利用等差条件求出利用等差条件求出q,q,再求再求S S6.6.【解析】【解析】1.1.选选C.C.因为数列因为数列aan n 为等比数列为等比数列,满足满足a a3 3a a1111=6a=6a7 7,所以所以 =6a=6a7 7,解得解得a a7 7=6,=6,因为数列因为数列bbn n 为等差数
3、列为等差数列,其前其前n n项和为项和为S Sn n,且且b b7 7=a=a7 7,所以所以b b7 7=a=a7 7=6,=6,所以所以S S1313=13b=13b7 7=13=136=78.6=78.27a11313(aa)2人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 92.2.选选C.C.因为数列因为数列aan n 是由实数构成的等比数列是由实数构成的等比数列,a,a1 1=2,=2,且且a a2 2-4,a-4,a3 3,a,a4 4成等差数列成等差数列,所以所以2a2a3 3=(a=(a2 2-4)+a-4)+a4 4,即即2 22q2q
4、2 2=2q-4+2q=2q-4+2q3 3,整理整理,得得(q-2)(q(q-2)(q2 2+1)=0,+1)=0,所以所以aan n 的公比的公比q=2.q=2.则则S S6 6=126.=126.62(1 2)1 2人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9【内化【内化悟】悟】本例本例2 2中的等差条件的作用是什么中的等差条件的作用是什么?提示提示:利用等差中项构造方程求公比利用等差中项构造方程求公比.人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9【类题【类题通】通】等差、等比数列性质的综合应用等差、
5、等比数列性质的综合应用(1)(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程造方程,求解基本量求解基本量a a1 1,d,q,n,d,q,n等等;(2)(2)若涉及求和若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和一定要先分清求哪种数列的和,再明确再明确该数列的基本量该数列的基本量,然后计算然后计算.人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9【习练【习练破】破】已知等比数列已知等比数列aan n 的各项均为正数的各项均为正数,且且a a1 1,a a3 3,a,a2 2成等差数列成等差数列,则则q=q=(
6、)125115A.B.22151515C.D.222或人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9【解析】【解析】选选C.C.等比数列等比数列aan n 的各项均为正数的各项均为正数,即即q0,q0,由由a a1 1,a,a3 3,a,a2 2成等差数列成等差数列,可得可得a a3 3=a=a1 1+a+a2 2,即有即有a a1 1q q2 2=a=a1 1+a+a1 1q,q,即有即有q q2 2-q-1=0,-q-1=0,解得解得q=.q=.12152人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9【加练
7、【加练固】固】(2019(2019渭南高二检测渭南高二检测)已知等差数列已知等差数列aan n 的首项和的首项和公差都不为公差都不为0,a0,a1 1,a,a2 2,a,a4 4成等比数列成等比数列,则则 ()A.2A.2B.3B.3C.5C.5D.7D.7372aaa人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9【解析】【解析】选选C.C.等差数列等差数列aan n 的首项和公差的首项和公差d d都不为都不为0,a0,a1 1,a,a2 2,a,a4 4成等比数列可得成等比数列可得 =a=a1 1a a4 4,即有即有(a(a1 1+d)+d)2 2
8、=a=a1 1(a(a1 1+3d),+3d),化为化为a a1 1=d,=d,则则 22a37121aa2a8d10d5.aad2d人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9类型二错位相减法求和类型二错位相减法求和 【典例】【典例】(2019(2019新余高二检测新余高二检测)已知等比数列已知等比数列aan n 的的公比公比q0,aq0,a2 2a a3 3=8a=8a1 1,且且a a4 4,36,2a,36,2a6 6成等差数列成等差数列.世纪金世纪金榜导学号榜导学号(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;(2)(2)记记b
9、 bn n=,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn.n.n2na人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9人教A A版高中数学必修5 5同步数列9 9【思维【思维引】引】(1)(1)利用利用a a2 2a a3 3=a=a1 1a a4 4计算计算a a4 4,进而计算进而计算a a6 6,a,a1 1,q,q求通项求通项.(2)(2)利用错位相减法求前利用错位相减法求前n n项和项和.【解析】【解析】(1)(1)因为因为a a2 2a a3 3=8a=8a1 1,所以所以a a1 1a a4 4=8a=8a1 1,所以所以a a4 4=8,=8,又又a a4 4,36,2
10、a,36,2a6 6成等差数列成等差数列,所以所以a a4 4+2a+2a6 6=72,=72,所以所以a a6 6=32,=32,q q2 2=4,q0,=4,q0,所以所以q=2,q=2,所以所以a an n=8=82 2n-4n-4=2=2n-1n-1.64aa n 2nn 1n101n 3n 2n012n 2n 1n2n2n12 bn()a2211111T1()2()3()n1()n()22222111111T1()2()3()n1()n()222222，两式相减得两式相减得:所以所以T Tn n=8-(n+2)=8-(n+2)101n 2n 1nnn 1111111T()()()()
11、n()222222121()112Tnn()12212，n 21().2【内化【内化悟】悟】本例在错位相减法求和时本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比两式相减后会得到一个等比数列数列,这个等比数列的基本量有哪些这个等比数列的基本量有哪些?利用哪个求和公利用哪个求和公式较为方便式较为方便?提示提示:可以得到这个等比数列的首项、公比可以得到这个等比数列的首项、公比,利用公式利用公式S Sn n=n1a 1 q.1 q（）【类题【类题通】通】关于错位相减法求和关于错位相减法求和(1)(1)适用范围适用范围:a:an n 是等差数列是等差数列,b,bn n 是等比数列是等比数列(q1),(
12、q1),形如形如c cn n=a=an nb bn n的数列适合利用错位相减法求和的数列适合利用错位相减法求和;(2)(2)求和步骤求和步骤对求和式对求和式S Sn n=c=c1 1+c+c2 2+c+cn-1n-1+c+cn n(i),(i),要写出倒数第二项要写出倒数第二项c cn-1n-1;式子的两边同乘以等比数列的公比式子的两边同乘以等比数列的公比q,q,写成写成qSqSn n=c=c1 1q+cq+c2 2q+cq+cn-1n-1q+cq+cn nq(ii)q(ii)的形式的形式,要空一位书要空一位书写写,(i)(ii),(i)(ii)式形成错位式形成错位;(i)(i)式式-(ii)
13、-(ii)式式,左边左边=(1-q)S=(1-q)Sn n,右边考查除了最后一右边考查除了最后一项外的其他项项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理利用等比数列求和公式求和、整理;两边同除以两边同除以1-q,1-q,整理得整理得S Sn n.【习练【习练破】破】已知等差数列已知等差数列aan n 满足满足a a2 2=0,a=0,a6 6+a+a8 8=-10.=-10.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;(2)(2)求数列求数列 的前的前n n项和项和S Sn n.nna2【解析】【解析】(1)(1)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,由已知条件
14、由已知条件可得可得 故数列故数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2-n.=2-n.111ad0a12a12d10d1.，解得，(2)S(2)Sn n=所以所以 两式相减得两式相减得 23n 1n1013n2n22222，n23nn 11103n2nS22222，n23nn 1111112nS222222，n 1nn 1nnnn 1n 1n11112n42S1222121111nnnS.2222222所以，所以【加练【加练固】固】已知递减的等比数列已知递减的等比数列aan n 各项均为正数各项均为正数,满足满足a a1 1aa2 2aa3 3=8,a=8,a1 1+1,a+1,
15、a2 2+1,a+1,a3 3构成等差数列构成等差数列.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;(2)(2)令令b bn n=na=nan n,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n.【解析】【解析】(1)(1)由等比数列性质可知由等比数列性质可知a a1 1 a a2 2 a a3 3=8,=8,所以所以a a2 2=2,a=2,a1 1a a3 3=4.=4.由由a a1 1+1,a+1,a2 2+1,a+1,a3 3构成等差数列构成等差数列,可知可知a a1 1+1+a+1+a3 3=2(a=2(a2 2+1)=6,+1)=6,所以所以a a1 1+
16、a+a3 3=5.=5.32a联立联立 由等比数列由等比数列aan n 递减可知递减可知 于是于是q=q=所以所以a an n=a=a1 1q qn-1n-1=4=4 13113313a a4a1a4.a4a1aa5解得或，13a4a1，1.2n 1n 311()().22(2)(2)由由(1)(1)可知可知b bn n=n=na an n=n=n ,于是于是S Sn n=1=1 +2 +2 +3 +3 +(n-1)+(n-1)+n +n ,S Sn n=1=1 +2 +2 +3 +3 +(n-1)+(n-1)+n +n ,n 31()221()211()201()2n 41()2n 31()
17、21211()201()211()2n 31()2n 21()2两式相减得两式相减得 S Sn n=1=1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1+1 -n -n 1221()211()201()211()2n 31()2n 21()22nn 211()1()122n()1212=8-(n+2)=8-(n+2),故故S Sn n=16-(n+2).=16-(n+2).n 21()2n 31()2类型三等比数列类型三等比数列S Sn n与与a an n的关系的关系角度角度1 1求求S Sn n与与a an n的关系的关系【典例】【典例】(2019(2019马鞍山高二检测马鞍山高二检测)已知正项
18、等比数列已知正项等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a1 1=1,=1,且且-a-a3 3,a,a2 2,a,a4 4成等差数列成等差数列,则则S Sn n与与a an n的关系是的关系是()A.SA.Sn n=2a=2an n-1-1B.SB.Sn n=2a=2an n+1+1C.SC.Sn n=4a=4an n-3-3D.SD.Sn n=4a=4an n-1-1【思维【思维引】引】分别表示出分别表示出S Sn n与与a an n,再确定关系再确定关系.【解析】【解析】选选A.A.设等比数列的公比为设等比数列的公比为q(q0),q(q0),由由a a1 1=1,=
19、1,且且-a-a3 3、a a2 2、a a4 4成等差数列成等差数列,得得2a2a2 2=a=a4 4-a-a3 3,即即2q=q2q=q3 3-q-q2 2,得得q=2.q=2.所以所以S Sn n=,=,则则S Sn n=2a=2an n-1.-1.n1 a21 2【素养【素养探】探】在确定在确定S Sn n与与a an n的过程中的过程中,常常用到核心素养中的数学运常常用到核心素养中的数学运算算,通过对通过对S Sn n计算公式寻求二者之间的关系计算公式寻求二者之间的关系.本例中的等比数列本例中的等比数列aan n,若已知若已知a an n=3=3n-1n-1,则则S Sn n与与a
20、an n的关系的关系是什么是什么?提示提示:S Sn n=nn1 3a31a.1 322角度角度2 2S Sn n与与a an n的关系的应用的关系的应用【典例】【典例】(2019(2019新余高二检测新余高二检测)数列数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,对任意正整数对任意正整数n,an,an+1n+1=3S=3Sn n,则下列关于则下列关于aan n 的论断中的论断中正确的是正确的是世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.A.一定是等差数列一定是等差数列B.B.可能是等差数列可能是等差数列,但不会是等比数列但不会是等比数列C.C.一定是等比数列一定是等比数列D.D.可能是等比
21、数列可能是等比数列,但不会是等差数列但不会是等差数列【思维【思维引】引】由由S Sn n与与a an n的关系的关系,推导出推导出a an+1n+1与与a an n的关系的关系,结合结合a a1 1的取值进行判断的取值进行判断.【解析】【解析】选选B.aB.an+1n+1=3S=3Sn n,a,an n=3S=3Sn-1n-1,故故a an+1n+1-a-an n=3a=3an n,即即a an+1n+1=4a=4an n(n2),(n2),而而n=1n=1时时,a,a2 2=3S=3S1 1=3a=3a1 1,可知该数列不是可知该数列不是等比数列等比数列.当当a an n=0=0时时,数列数
22、列a an n为等差数列为等差数列.故本题正确答故本题正确答案为案为B.B.【类题【类题通】通】关于等比数列关于等比数列S Sn n与与a an n的关系的关系(1)S(1)Sn n与与a an n的关系可以由的关系可以由S Sn n=得到得到,一般已知一般已知a a1 1,q,q即可得到二者之间的关系即可得到二者之间的关系,也可以通过特殊项验证判断也可以通过特殊项验证判断;1naa q1 q(2)S(2)Sn n-S-Sn-1n-1=a=an n(n2)(n2)是是S Sn n与与a an n之间的内在联系之间的内在联系,既可以既可以推出项推出项a an-1n-1,a,an n,a,an+1
23、n+1之间的关系之间的关系,也可得到也可得到S Sn-1n-1,S,Sn n,S,Sn+1n+1之之间的关系间的关系,体现了体现了S Sn n与与a an n关系的本质关系的本质.【习练【习练破】破】设设S Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和,a,a1 1=1,3S=1,3Sn n=a=an+1n+1-1,nN-1,nN*,若若a ak k=1 024,=1 024,则则k=k=()A.4A.4B.5B.5C.6C.6D.7D.7【解析】【解析】选选C.SC.Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和,a,a1 1=1,3S=1,3Sn n=a=an+1n+1-
24、1,-1,nNnN*,当当n2n2时时3S3Sn-1n-1=a=an n-1,-1,-得得3a3an n=a=an+1n+1-a-an n,整理得整理得 =4(=4(常数常数),),所以数列所以数列aan n 是以是以1 1为首项为首项,4,4为公比的等比数列为公比的等比数列.n 1naa则则a an n=1=14 4n-1n-1=4=4n-1n-1,故故a an n=4=4n-1n-1,由于由于a ak k=1 024,=1 024,即即:4:4k-1k-1=1 024,=1 024,解得解得:k=6.:k=6.【加练【加练固】固】设首项为设首项为1,1,公比为公比为 的等比数列的等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则()A.SA.Sn n=2a=2an n-1-1B.SB.Sn n=3a=3an n-2-2C.SC.Sn n=4-3a=4-3an nD.SD.Sn n=3-2a=3-2an n【解析】【解析】选选D.SD.Sn n=3-2a=3-2an n.23n11na(1 q)aa q1 q1 q
