1、空间向量基本定理激趣诱思知识点拨我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢?事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨名师点析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零
2、向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.激趣诱思知识点拨微练习在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一个基底的是()答案:C 激趣诱思知识点拨微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)空间向量的基底是唯一的.()(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.()(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.()(4)若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三当堂检测基底的
3、判断基底的判断例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c.其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个探究一探究二探究三当堂检测(1)答案:C 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟判断基底的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.(2)方法:如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.假设a=b+c,运用空间向量基本定理,建立,的方程组,若有解,则共面
4、,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1若a,b,c是空间的一个基底,试判断a+b,b+c,c+a能否作为空间的一个基底.解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数,使得a+b=(b+c)+(c+a),即a+b=a+b+(+)c.a,b,c是空间的一个基底,a,b,c不共面.即不存在实数,使得a+b=(b+c)+(c+a),a+b,b+c,c+a不共面.故a+b,b+c,c+a能作为空间的一个基底.探究一探究二探究三当堂检测用基底表示空间向量用基底表示空间向量例2思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系利用向量运算进行拆分直至向量用a,b,c
5、表示探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟用基底表示空间向量的解题策略1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.探究一探究二探究三当堂检测答案:B 探究一探究二探究三当堂检测应用
6、空间向量基本定理证明线线位置关系应用空间向量基本定理证明线线位置关系例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.(1)证明:EFB1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量
7、的夹角(或其补角).探究一探究二探究三当堂检测延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MFB1C.探究一探究二探究三当堂检测1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是()答案:C 解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.探究一探究二探究三当堂检测答案:A 探究一探究二探究三当堂检测3.下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中基向量与基底e,f,g中基向量对应相等答案:C 解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.探究一探究二探究三当堂检测
