1、3.1不等式的性质自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.初步学会作差法比较两实数的大小初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的性质掌握不等式的性质.3.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较能利用不等式的性质进行数或式的大小比较及证明不等式及证明不等式.4.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,加强直观想象与数学运加强直观想象与数学运算能力素养的培养算能力素养的培养.一、实数大小的比较一、实数大小的比较【问题思考】【问题思考】1.(1)对于两个实数对于两个实数a,b,其大小关系有哪
2、几种可能其大小关系有哪几种可能?提示提示:两个实数两个实数a,b,其大小关系有三种可能其大小关系有三种可能,即即ab,a=b,ab,反之也成立反之也成立,用数学语言可描述为用数学语言可描述为a-b0ab.(3)如果如果a-b是负数是负数,那么这两个实数的大小关系如何那么这两个实数的大小关系如何?反之成反之成立吗立吗?提示提示:如果如果a-b是负数是负数,则则ab,反之也成立反之也成立,用数学语言可描述为用数学语言可描述为a-b0a0 ab;a-b=0 a=b;a-b0 ab.3.做一做做一做:某工厂某工厂8月的产量比月的产量比9月的产量少月的产量少;甲物体比乙物体甲物体比乙物体重重;A容器与容
3、器与B容器的容积相等容器的容积相等.若前一个量用若前一个量用a表示表示,后一个量后一个量用用b表示表示,则上述事实可表示为则上述事实可表示为;.答案答案:aba=b二、不等式的性质二、不等式的性质【问题思考】【问题思考】1.(1)在解不等式在解不等式x-32时时,通过移项得通过移项得x5,其理论依据是什么其理论依据是什么?提示提示:不等式两边同时加上一个数不等号方向不变不等式两边同时加上一个数不等号方向不变.(2)已知已知32,若两边同时乘若两边同时乘2,不等式成立吗不等式成立吗?若两边同时乘若两边同时乘c(c为常数为常数),不等式成立吗不等式成立吗?提示提示:同时乘同时乘2,不等式成立不等式
4、成立.两边同时乘两边同时乘c,不等式不一定成立不等式不一定成立,当当c=0时时,3c=2c;当当c0时时,3c2c;当当c0时时,3c2,3222,那么那么3n2n(nN+)成立吗成立吗?提示提示:成立成立.提示提示:成立成立.2.不等式的性质不等式的性质性质性质1如果如果ab,且且bc,那么那么ac.性质性质2如果如果ab,那么那么a+cb+c.性质性质3(1)如果如果ab,c0,那么那么acbc;(2)如果如果ab,c0,那么那么acb,cd,那么那么a+cb+d.性质性质5(1)如果如果ab0,cd0,那么那么acbd;(2)如果如果ab0,cd0,那么那么acb0时时,anbn,其中其
5、中nN+,n2.3.想一想想一想:若若ab,cd,则下列不等关系不一定成立的是则下列不等关系不一定成立的是()A.a-bd-cB.a+db+cC.a-cb-cD.a-cb,cd,得得a+cb+d,移项得移项得,a-bd-c,A正确正确;由由ab得得a-cb-c,C正确正确;由由cd得得-c-d,所以所以a-ca-d,D正确正确;B中中,取值检验取值检验,当当a=3,b=1,c=6,d=3时时,a+dbc,a+2b+3c=0,则则acbc.()探究探究一一 作作差比较大小差比较大小【例【例1】已知已知a,b均为正实数均为正实数.试利用作差法比较试利用作差法比较a3+b3与与a2b+ab2的大小的
6、大小.解解:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).当当a=b时时,a-b=0,所以所以a3+b3=a2b+ab2;当当ab时时,(a-b)20,又又a0,b0,所以所以a+b0,所以所以a3+b3a2b+ab2.综上所述综上所述,a3+b3a2b+ab2.比较两个实数的大小比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了只要考察它们的差就可以了.作差法比作差法比较实数大小的一般步骤是较实数大小的一般步骤是:作差作差恒等变形恒等变形判断差的符号判断差的符号下结论下结论.作差后变形是比较大小
7、的关键一步作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方向是变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式形式.【变式训练【变式训练1】已知已知x1,试比较试比较3x3与与3x2-x+1的大小的大小.解解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).由由x1得得x-10,而而3x2+10,所以所以(3x2+1)(x-1)0,所以所以3x33x2-x+1.探究探究二二 利用利用不等式的性质证明简单不等式不等式的性质证明简单不等式分析分析:证明不等式证明不等式
8、,要紧扣不等式的性质进行恒等变形要紧扣不等式的性质进行恒等变形,注意条注意条件与结论之间的联系件与结论之间的联系.探究探究三三 不等式不等式性质的应用性质的应用【例【例3】已知已知a0,-1babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a分析分析:根据已知条件两两作差比较根据已知条件两两作差比较或根据或根据a,b的范围取特值的范围取特值验证验证注意要在给定范围注意要在给定范围解析解析:(方法一方法一)因为因为a0,-1b0,ab-ab2=ab(1-b)0.所以所以abab2a,故选故选D.答案答案:D 1.本例中若把已知条件改为本例中若把已知条件改为0ab0,bb-b-aB.a-b-abC.a-bb-aD.ab-a-b解析解析:由由a+b0知知a-b,-ab.又又b0,所以所以a-bb-a.答案答案:C2.设设M=x2,N=-x-1,则则M与与N的大小关系是的大小关系是()A.MNB.M=NC.MND.与与x有关有关答案答案:A 3.若若0aa0时时,b3a3.答案答案:b3a34.若若1x3,2y4,求求x-y的取值范围的取值范围.解解:因为因为2y4,所以所以-4-y-2,又又1x3,所以所以-3x-y1.故故x-y的取值范围是的取值范围是-3,1.
