1、8.2 8.2 立体图形的直观图（立体图形的直观图（1 1）前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。一、直观图 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示，因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。它分为中心投影下画出的直观图和平行投影下画出的直观图。中心投影在绘画作品中多有体现。平行投影可以更形象的表示空间图形，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形
2、。要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？观察：如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形。二、斜二测画法 在依据平行投影的性质画直观图的方法中，一种较为简单的画图标准是斜二测画法。斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成x/轴和y/轴，两轴相交于点O/,且使 x/O/y/=45（或135），它们确定的平面表示水平面。（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x/轴或y/轴的线段。（3）已知图形中平行于x轴的线段，在
3、直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半（横不变，纵减半）。规律：两变半（坐标轴夹角，平行于y轴的线段），两不变（平行于x轴的线段，平行关系不改变）xyoXYO 对于对于平面多边形平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图。例，我们常用斜二测画法画它们的直观图。例如用斜二测画法容易画出的如用斜二测画法容易画出的水平放置的正方形的直观图是平行四水平放置的正方形的直观图是平行四边形边形。高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1例用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。例用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。A
4、BCDEFMNOyxOxy（1）建立坐标系高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1（2）画坐标轴上的点（横不变，纵减半），xyOABCDEFMNOxyABCDEFMN平行坐标轴的线段（平行关系不改变）高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1（3）连线,xyOABCDEFMNOxyABCDEFMN擦去辅助线。在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必
5、修二第二册立体图形的直观图1规律方法1.在原图中选取适当的直角坐标系非常关键，一般可结合对称性，并且要使尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.2.对于原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来确定位置.作图步骤可简单总结为：1.建立坐标系；2.画坐标轴上的点和平行于坐标轴的线段；3.连线并擦去辅助线。高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1练习：1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？（1）相等的线段在直观图中仍相等。（）（2）平行的线段在直观图中仍平行。（）（3）一个角的直观图仍是一个角。（）（4）相
6、等的角在直观图中仍相等。（）2.用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图（尺寸自定）xyoXYO高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1xyoMABCDEABMECDyxO高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1xyoMABCDEABMECDyxO高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1 除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，在立体几何中，画水平放置的圆我们常用在立体几何中，画水平放置的圆我
7、们常用正等测画法正等测画法，一般一般用椭圆作为圆的直观图。用椭圆作为圆的直观图。如何根据斜二测画法画出的直观图还原出原图？如何根据斜二测画法画出的直观图还原出原图？思考：高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1例例2下图是用斜二测画法画出的水平放置的下图是用斜二测画法画出的水平放置的ABC的直观图的直观图A/B/C/，其中其中A/O/=O/B/,请画出这个图形的真实图形；请画出这个图形的真实图形；设设SABC=S，求直观图，求直观图A/B/C/的面积的面积S/。CABOxy045ABxyOC1,2解：SAB OC/1212 12222224S
8、A BO CABOCS（1）建坐标系（2）画坐标轴上的点（平行于x/轴的线段长度不变，平行于y/轴的线段长度加倍）画平行于坐标轴的线段（本题无）；（3）连线,擦去辅助线高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1规律方法由直观图还原平面图形关键：1.平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴线段扩大为原来的2倍。2.如果存在不与x、y轴平行的线段，可通过作与x轴，y轴平行的线段确定其在xOy中的位置.高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，
9、则原平面图形的面积为()练习：高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1解析由直观图还原出原图，如图，答案B规律方法:根据斜二测画法的规则，发现直观图和原图面积之间的关系为：22 24直原原直（=，=）SSSS高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图11 1、直观图；、直观图；2 2、斜二测画法、斜二测画法:（1 1）画水平放置的平面图形的直观图）画水平放置的平面图形的直观图(两变半，两两变半，两不变，建系是关键不变，建系是关键),),（2 2）由直观图还原出原图）由直观图还原出原图（3 3）课
10、堂小结高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图13.3.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形且梯形O OA AB BC C的面积为的面积为 ，则原梯形的，则原梯形的面积为面积为_当堂检测：1 1、如图为水平放置的正方形、如图为水平放置的正方形OCBAOCBA，它在直角坐标系，它在直角坐标系xOyxOy中点中点B B的坐标为（的坐标为（2,22,2），则在用斜二测画法画出的正方），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点形的直观图中，顶点B B到到x x轴的距离为轴的距离为_ 2 2、如图、如图AAB BC C是水平放置的是水平放置的ABCABC的直观图，的直观图，则在则在ABCABC的三边及中线的三边及中线ADAD中，最长的线段是中，最长的线段是_22AC42高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1高中数学人教A版必修二第二册立体图形的直观图1
