1、（金戈铁骑（金戈铁骑 整理制作）整理制作）第三章第三章 导数及其应用导数及其应用高中数学选修高中数学选修1-11-1 引入引入 1、已知、已知，求下列各式的值：求下列各式的值：（1）；、；、。反思：虽然有实数满足已知等式，但不必求出反思：虽然有实数满足已知等式，但不必求出x。2、引申：若、引申：若，求，求的值。的值。答：答：于是问题出来了，在已知中是没有实数满足这个等式的，也就于是问题出来了，在已知中是没有实数满足这个等式的，也就是说在实数范围内是无解的。既然没有实数满足这个等式，那未知是说在实数范围内是无解的。既然没有实数满足这个等式，那未知的式子是求不出来的，但偏偏可以求出并且还是个实数的
2、式子是求不出来的，但偏偏可以求出并且还是个实数-1，且是平，且是平方和方和=负数。不可思议，这说明什么？这说明在世界中除了实数还负数。不可思议，这说明什么？这说明在世界中除了实数还有种神奇的数，它像个幽灵在世界中游荡徘徊，这是个什么东西？有种神奇的数，它像个幽灵在世界中游荡徘徊，这是个什么东西？它就像鬼，看不见摸不着，你只能想象，它就是鬼，于是我们给这它就像鬼，看不见摸不着，你只能想象，它就是鬼，于是我们给这个幽灵或鬼一个名称，这个鬼是这样子的，个幽灵或鬼一个名称，这个鬼是这样子的，i是什么东西？它就是是什么东西？它就是鬼。鬼。3 问题问题1 讨论关于讨论关于x的方程（的方程（x-1）(2x-
3、1)(x2-2)(x2+1)=0的解的个数。的解的个数。分别在整数范围内、有理数范围内、实数范围内有几解？分别在整数范围内、有理数范围内、实数范围内有几解？在宗教比如佛教中，人往往把鬼、神形象化、具体化、实物化，在宗教比如佛教中，人往往把鬼、神形象化、具体化、实物化，那就是给让人敬畏的鬼、神塑一座雕像。在寺庙，在画家的名画中。那就是给让人敬畏的鬼、神塑一座雕像。在寺庙，在画家的名画中。许多画家以画宗教中的鬼、神为荣。许多画家以画宗教中的鬼、神为荣。我们我们发现的新数发现的新数是鬼或是神，你看不见摸不着，你只能想象，是鬼或是神，你看不见摸不着，你只能想象，于是为了形象化、具体化、实物化我们像宗教
4、人士为鬼、神塑造一于是为了形象化、具体化、实物化我们像宗教人士为鬼、神塑造一座雕像样让座雕像样让i表示这个幽灵一样的数。表示这个幽灵一样的数。i像宗教人士为鬼、神立像。像宗教人士为鬼、神立像。参考文献：杂志参考文献：杂志中学数学教学参考中学数学教学参考2011第九期上旬里面的第九期上旬里面的一篇论文一篇论文“数系的扩充数系的扩充”一课的教学设计一课的教学设计作者：丁箐（南京师作者：丁箐（南京师范大学附属中学）范大学附属中学）注：注：x=i或或-i说明有两个鬼或神。说明有两个鬼或神。4 讲解数系的历史讲解数系的历史 自然数自然数的产生是原始社会计数的的产生是原始社会计数的需要（结绳记事的故事）。
5、需要（结绳记事的故事）。负负数的产生是为了表达现实中我欠你多少钱数的产生是为了表达现实中我欠你多少钱，我亏了多少钱之类的事我亏了多少钱之类的事情情。有理数的产生是现实中遇到几分之几的有理数的产生是现实中遇到几分之几的事情比如事情比如2个苹果个苹果3个人个人分。分。本来本来毕达哥拉斯学派认为毕达哥拉斯学派认为万物皆数这里指万物皆数这里指有理数，但有人发有理数，但有人发现了无理数且献出了自己的生命。当时万物皆数这个信仰像当今的现了无理数且献出了自己的生命。当时万物皆数这个信仰像当今的共产党，反党就是犯罪。要抓起来坐牢严重要枪毙。共产党，反党就是犯罪。要抓起来坐牢严重要枪毙。实数是看得见摸得着的。实
6、数是看得见摸得着的。5复数的发展史复数的发展史 虚数这种假设虚数这种假设,是需要勇气的是需要勇气的,人们在当时人们在当时是无法接受的是无法接受的,认为她是想象的认为她是想象的,不存在的不存在的,但但这丝毫不影响数学家对虚数单位这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学大利有名的数学“怪杰怪杰”卡丹卡丹，他是，他是1545年年开始讨论这种数的，当时复数被他称作开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡诡辩量辩量”.几乎过了几乎过了100年，年，笛卡尔笛卡尔才给这种才给这种“虚幻之数虚幻之数”取了一个名
7、字取了一个名字虚数虚数Zxx k6但是又过了但是又过了140年，年，欧拉欧拉还是说这种数只是存还是说这种数只是存在于在于“幻想之中幻想之中”，并用，并用（imaginary，即虚，即虚幻的缩写）来表示它的单位幻的缩写）来表示它的单位.后来德国数学家后来德国数学家高斯高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用用1830年，高斯详细论述了用直角坐标系年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数的复平面上的点表示复数，使复数有了立足，使复数有了立足之地之地,人们才最终承认了复数人们才最终承
8、认了复数.到今天复数已经到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.7 同学们看下面几个复数：同学们看下面几个复数：1+2i、3-2i、5+6i。我们知道复数像鬼、。我们知道复数像鬼、神看不见、摸不着，你只能想象。于是一些宗教的人士为了吸引大神看不见、摸不着，你只能想象。于是一些宗教的人士为了吸引大众入教也为了宗教能够普及，给一些鬼、神塑立雕像，这雕像能让众入教也为了宗教能够普及，给一些鬼、神塑立雕像，这雕像能让看不见摸不着的鬼神形象、具体、直观、实物，能让人看得见摸得看不见摸不着的鬼神形象、具体、直观、实物，能让人看得见摸得着。着。我们上节课讲过这
9、些记号我们上节课讲过这些记号1+2i、3-2i、5+6i像给复数这个鬼、神像给复数这个鬼、神立雕像样，能让复数形象、具体、直观、实物。但同学们注意用立雕像样，能让复数形象、具体、直观、实物。但同学们注意用1+2i、3-2i、5+6i表示这些鬼神人们还是觉得太抽象太难想象太虚无表示这些鬼神人们还是觉得太抽象太难想象太虚无缥缈太云里雾里太朦朦胧胧，复数刚诞生时文艺复兴时期意大利有缥缈太云里雾里太朦朦胧胧，复数刚诞生时文艺复兴时期意大利有名的数学名的数学“怪杰怪杰”卡丹卡丹，他是，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数年开始讨论这种数的，当时复数被他称作被他称作“诡辩量诡辩量”.几乎过了几乎过了1
10、00年，年，笛卡尔笛卡尔才给这种才给这种“虚幻之数虚幻之数”取了一个名字取了一个名字虚数虚数就算过了就算过了140年年欧拉欧拉还是说这种数只是存还是说这种数只是存在于在于“幻想之中幻想之中”，并用（，并用（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的，即虚幻的缩写）来表示它的单位。单位。于是数学家想有没有可能给这种幻想之中的数形象化、具体化、直于是数学家想有没有可能给这种幻想之中的数形象化、具体化、直观化、实物化？像宗教人士给看不见摸不着的鬼神形象化、具体化、观化、实物化？像宗教人士给看不见摸不着的鬼神形象化、具体化、直观化，实物化。给复数进一步的形象化、具体化、直观化、实物直观化，实物化。给
11、复数进一步的形象化、具体化、直观化、实物化，这是高斯的功劳化，这是高斯的功劳83.1.2复数的几何意义复数的几何意义9复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,bR)的数叫做的数叫做复数复数,biaz ),(RbRa 实实部部虚虚部部复数的代数形式复数的代数形式全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，通常用字通常用字母母z表示表示.一般用字母一般用字母C表示表示.Zxx k知新知新 复数就是人鬼情未了，实数复数就是人鬼情未了，实数a是人，看是人，看得见摸得着，复数得见摸得着，复数bi是鬼，看不见摸不是鬼，看不见摸不着，它的一般形式着，它的一般形式a+bi是人鬼情未了。是人
12、鬼情未了。同学们可以看看美国著名电影同学们可以看看美国著名电影人鬼情人鬼情未了未了12/3/2022101、复数、复数z=a+bi0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，复数的分类复数的分类 2.复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系复数集C实数集R纯纯虚虚数数集集虚数集虚数集 同学们，这些名字是数学家取的，是取的形象生动深刻，我们一看到名字就同学们，这些名字是数学家取的，是取的形象生动深刻，我们一看到名字就知道是什么意思。实数看得见摸得着，全是人，非纯虚数是半人半鬼或半人半仙，知道是什么意思。实数看得见摸得着，全是人，非
13、纯虚数是半人半鬼或半人半仙，纯虚数是全是鬼。纯虚数是全是鬼。“纯纯”就是纯净没有杂质的意思。实：就是看得见摸得着的意就是纯净没有杂质的意思。实：就是看得见摸得着的意思。虚：就是看不见摸不着的意思思。虚：就是看不见摸不着的意思。12/3/2022113.3.规定：如果两个复数的规定：如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别分别相相等等，那么我们就说这，那么我们就说这两个复数相等两个复数相等Zxx k,Rdcba 若dicbia dbca注：注：1)000abiab且2)两个虚数只能说相等或不相等，而不能比两个虚数只能说相等或不相等，而不能比较大小较大小.12实数的几何意义？实数的几何意义？新课导入
14、新课导入 在几何在几何上，我们用上，我们用什么来表示什么来表示实数实数?实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来上的点来表示表示.数轴数轴上的点上的点实数实数 (数数)一一对应一一对应 (形形)13Z=a+bi(a,bR)实部实部虚部虚部一个复数一个复数由什么确由什么确定？定？你能否找到用来表示复数的你能否找到用来表示复数的几何模型几何模型呢？呢？14探究探究 任何一个复数任何一个复数z=a+bi，都可以由一，都可以由一个有序实数对个有序实数对(a,b)唯一确定唯一确定.由于有序实由于有序实数对数对(a,b)与平面直角坐标系中的点与平面直角坐标系中的点一一一一对应对应，因此复数集与平面直角坐标系中
15、，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立的点集之间可以建立一一对应一一对应.15复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)唯唯一一确确定定直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一一一对对应应一一对应一一对应可用下图表示他们彼此的关系可用下图表示他们彼此的关系:因此，复数集与平面直角坐标系中的因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应点集之间可以建立一一对应.16aZ(a,b)z=a+biboxy那么现在复数那么现在复数z=a+bi可以在平面直角坐标系中表示出来，如图所示：可以在平面直角坐标系中表示出来，如图所示：复数复数z=a+bi用点用点Z(a,b)表示
16、表示.建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面-复数平面复数平面(简简称称复平面复平面)x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴原点即在原点即在x轴又在轴又在y轴，所以原点即在实轴又在虚轴。实轴上全是人，轴，所以原点即在实轴又在虚轴。实轴上全是人，虚轴上除原点外全是鬼。一、二、三、四象限半人半鬼。虚轴上除原点外全是鬼。一、二、三、四象限半人半鬼。17复数复数z=a+bi复平面内复平面内的点的点Z(a,b)一一对应一一对应复数的几何意义之一是：复数的几何意义之一是：实轴上的点都表示实数；虚轴上的点实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点除原点外，外，都表示纯虚数，都表示纯虚
17、数，因为原点表示实数因为原点表示实数0.18练一练练一练复平面内的原点复平面内的原点(0,0)表示表示();实轴上的点实轴上的点(2,0)表示表示()；虚轴上的点虚轴上的点(0,-1)表示表示();点点(-2,3)表示表示().实数实数0实数实数2纯虚数纯虚数-i复数复数-2+3i19在平面直角坐标系中，每一个在平面直角坐标系中，每一个平面平面向量向量都可以用都可以用一个有序实数对一个有序实数对来表来表示，而有序实数对与复数是示，而有序实数对与复数是一一对一一对应应的的.这样，我们还可以用这样，我们还可以用平面向平面向量量来表示来表示复数复数.20可用下图表示他们彼此的关系：可用下图表示他们彼
18、此的关系：复数复数z=a+bi平面向量平面向量OZ直角坐标系中直角坐标系中的点的点Z(a,b)一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应Z(a,b)aobyxz=a+bi21现在我们就用现在我们就用平面向量来表示复数平面向量来表示复数，如图所示：，如图所示：xyoabZ：a+bi设复平面内的点设复平面内的点Z表示表示复数复数Z=a+bi,连接连接OZ,显显然向量然向量 由点由点Z唯一确唯一确定定；反过来反过来，点点Z(相对相对于原点来说于原点来说)也可以由向也可以由向量量 唯一确定唯一确定.OZ OZ22 由此可知，复数集由此可知，复数集C和复平面内和复平面内的向量所成的集合也是的向量所
19、成的集合也是一一对应一一对应的的.复数的几何意义之二是：复数的几何意义之二是：复数复数z=a+bi一一对应一一对应平面向量平面向量OZ为了方便起见，我们常把为了方便起见，我们常把复数复数z=a+bi说说成点成点Z或说成向量或说成向量 且规定且规定相等的向量相等的向量表示同一个复数表示同一个复数.OZ23例例1 1：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)+m-2)i i在复平在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数面内所对应的点位于第二象限，求实数m m的取的取值范围。值范围。020622mmmm解：由1223mmm或得(3,2)(1,2)m 变式
20、：变式：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点在直线内所对应的点在直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，求实数上，求实数m m的的值。值。解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内在复平面内所对应的点是（所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），），(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，m=1或或m=-2。同学们这相当于同学们这相当于高考容易题，高高考容易题，高考容易题通过训考容易题通过训练都会做。练都会做。90分分容易题都会做，容易题都会做，考个专科没问题。考个专科没问题
21、。24选择选择(1)下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）(A)在复平面内，对应于实数的点在复平面内，对应于实数的点都在实轴上都在实轴上(B)在复平面内，对应于纯虚数的在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上点都在虚轴上(C)在复平面内，实轴上的点所对在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数应的复数都是实数(D)在复平面内，虚轴上的点所对在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数应的复数都是纯虚数D25（2）“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)所所对应的点在虚轴上对应的点在虚轴上”的（的（）（A）必要不充分条件必要不充分条件（B）充分不必要条件充分不必要条件（C）充要条件充要
22、条件 （D）不充分不必要条件不充分不必要条件C同学们如果此题同学们如果此题觉得抽象，那取觉得抽象，那取虚轴上点（虚轴上点（0，2）对应的复数对应的复数2i来理来理解，即用具体例解，即用具体例子套一下。子套一下。26课堂小结课堂小结1.复数的实质是复数的实质是一对有序实数对一对有序实数对；2.用平面直角坐标系表示用平面直角坐标系表示复平面复平面，其，其中中x轴叫做轴叫做实轴实轴，y轴叫做轴叫做虚轴虚轴；实轴；实轴上的点都表示上的点都表示实数实数；除了原点外除了原点外，虚，虚轴上的点都表示轴上的点都表示纯虚数纯虚数；272.复数的两个复数的两个几何意义几何意义：复数复数z=a+bi一一对应一一对应复平面内的点复平面内的点Z(a,b)复数复数z=a+bi一一对应一一对应平面向量平面向量OZ28
