1、YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数.,2,.sin,lnsin)()12(,2(,sinln,sin),0(,ln:意义则无如否则才有意义的定义域时在的定义域使其值域包含只有限制构成新函数与例xxyuyxuZkkkxxyRxxuuuy 1,0(u 一、一、复合函数复合函数YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数yxXxeiyuUuxXx1,.,1,1,*为上定义了一个函数，记于是在X,),(Xxxfy.,称为中间变量称为复合函数 uf则对且值域为域为,*UUUX的定义的定义域为：若)(,)(.1xfuUuyDefYunnanUniv
2、ersity2.复合函数和反函数复合函数和反函数的值即可以复合的条件是与注)(,:1*xfuUUf.)(的定义域域不超出uy),1,1:Uuy例),5),(,52uxxu复合函数),22,(,4)5(122xxxy).,1),22,(,5,*2UXxu限制此时YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数).(),(,cos)(,12)(:2xfgxgfxxgxxf求例).12cos()(,1cos2)(:22xxfgxxgf解!)()(:2不是一回事与注xfgxgf.:3到有限个函数的情形复合函数的概念可推广注).,1,)32ln(32,ln,:xxyxvvuuy例Yu
3、nnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数.11)(1,1111)(:xxfxxxxf知由解),()(,)(111)(xfxfffxxfxff.)()(xxffxffff.111111)11()(1(xxxxfxff).1,0(),)(1(),(),(,1)(:1xxxffxffffxffxxxf求设例YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数例2：).(,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解：1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)()1(时当x,0 x或,12)(xx;20 x,0 x或,11)(2 xx
4、;1xYunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数,1)()2(时当x,0 x或,12)(xx;2x,0 x或,11)(2 xx;01x综上所述.2,120011,2,)(2122xxxxxexexfxxYunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数.arcsinln)1(:35xtgy 例,arcsin,ln,:35xttwwvtgvuuy解)(lnln(ln)2(32xy.ln,ln,ln:32xttwwvvuuy解2.复合函数的“分解”：简单函数YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数二、反函数二、反函数例例:),
5、(,12YXxy).1(21,|,yxXxyYy对1.Def:,|),(.,)(XxyXfyXxxfy若对设函数，表为的反为上定义了一个函数，称则在)()(,)(.xfyXfyxfts).(),(1Xfyyfx根据定义，有YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数).()(,)()1(212121xfxfxxXxxXfX且之间是一一对应的，即与互为反函数。与)()()2(1yfxxfy).(,)(;,)()3(11XfyyyffXxxxff例：).,0(,)10(yRxaayx不存在反函数。其反函数,),0,),(,).,0(,log)(21yxxyyyyfxa).,
6、0,0,().,0,),0yyxxyyxx反函数若反函数若YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数Th.减减少少）。上上也也严严格格单单调调增增加加（或或它它在在则则必必存存在在反反函函数数少少）上上严严格格单单调调增增加加（或或减减在在设设)(),(,)(1XfyfxXxfy证明：用反证法。存在函数，即证先证.)(.,1),()(yxftsXxXfyxfy).(),(),(),(.),(,)()(221121211121211xfyxfyyfxyfxyyXfyyXfyfx即又设且上严增。设在其次证).(,)(1),()()()(.)()(,.),(12102121
7、210yfxyxfxxfyxfxfXxfyyxfxfxxXxxtsXfy反函数即存在矛盾。于是，上严格单增在这与已知有，且对某个假设YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数严增。上在故有否则上严增，故必有在又由)()().()(,(,)(),()(12121212121XfyfxxfxfxxxxXxfyxfxfyy注1.函数严格单调仅是存在反函数的充分条件，而不是必 要条件。例：.10 ,01 ,1)(xxxxxfyxy-1112上存在反函数上非单调函数，而在在2,0)1,1(1,1f.21 ,1,10 ,)(1yyyyyfxYunnanUniversity2.复合
8、函数和反函数复合函数和反函数注2.函数存在反函数与否跟讨论的定义区间有关。例：.1,1 ,arccos;,0,cos.1,1 ,arcsin;2,2 ,sinxyxyxyxyYunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数2.函数及其反函数的图像).()()1(1xfyxfy的反函数表示为符号恰好相反。与通常使用因变量的表示中，自变量在反函数,)(1xyyfx).()()()(111xfyyfxyfxxfy改写为表达出来，必须把在同一坐标系内把他们是同一条曲线。为与在图形上，曲线互为反函数。与)()(1xfyxfy例：).,0(,lg),(,10.)1(2112xxyxyxyxyx和互为函数与YunnanUniversity2.复合函数和反函数复合函数和反函数(2)图像之间的关系：互相对称。的图像关于直线与xyxfyxfy)()(1)(1xfyxy)(xfy),(xyMyOxFig 7),(yxM对称。关于直线与上，则点即在曲线若点xyxyMyxMyfxxfyyxM),(),()()(),(1
