1、 二次函数与二次函数与 一元二次方程的关系一元二次方程的关系问题问题:如图以如图以40m/s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成30角的角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：（单位：m）与飞行时）与飞行时间间t（单位：（单位：s）之间具有关系）之间具有关系h=20t5t 2考虑以下问题：考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要
2、多少飞行时间？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？）球从飞出到落地需要用多少时间？所以可以将问题中所以可以将问题中h的值代入函数解析式，的值代入函数解析式，得到关于得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中球的飞行高度不能达到问题中h的值的值解：（解：（1）当）当h=15时时 1520t5t 2t 24t3=0 t1=1，t2
3、=3当球飞行当球飞行1s和和3s时，它的高度为时，它的高度为15m分析：由于球的飞行高度分析：由于球的飞行高度h与飞行时间与飞行时间t的关系是二次函数的关系是二次函数h=20t5t 2t1=1st2=3s15m15m（t-1)(t-3)=05t2-20t+15=0（2）当）当h=20时时2020t5t 2t 24t4=0 t1=t2=2当球飞行当球飞行2s时，它的高度为时，它的高度为20mt1=2s20m(t-2)2=05t2-20t+20=0（3）当）当h=20.5时时 20.520t5t 2t 24t4.1=0=（4）244.10，原方程无解原方程无解球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到2
4、0.5m20m5t2-20t+20.5=0（4）当）当h=0时时020t5t2t24t=0t1=0,t2=4当球飞行当球飞行0s和和4s时，它的高度为时，它的高度为0m，即，即0s时球时球从地面发出，从地面发出，4s时球落回地面时球落回地面0t(t-4)=05t2-20t=0那么从上面，二次函数那么从上面，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c何时为何时为一元二次方程一元二次方程?它们的关系如何它们的关系如何?一般地，当一般地，当y取一个常数时，二次函数为取一个常数时，二次函数为一元二次方程。一元二次方程。如：如：y=5时，则时，则5=ax2+bx+c就就是一个一元二次方程。是一个
5、一元二次方程。为一个常数为一个常数（定值）（定值）从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切一般地，我们可以利用二次函数一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入深入讨论一元二次方程讨论一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函数例如，已知二次函数y=x24x的值为的值为3，求自，求自变量变量x的值，可以解一元二次方程的值，可以解一元二次方程x24x=3（即（即x24x+3=0）反过来，解方程反过来，解方程x24x+3=0 又可又可以看作已知二次函数以看作已知二次函数 y=x24x+3 的值为的值为0，求自变量求自变量x的值的
6、值1、二次函数、二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2 x+1的图象如图所示。的图象如图所示。(1).每条抛物线与每条抛物线与x轴有几个交点？轴有几个交点？(2).求出交点的坐标求出交点的坐标(3).一元二次方程一元二次方程 x2+x-2=0,x2-6x+9=0,x2 x+1=0有几个根有几个根?求出来求出来(4).抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点有几种情况？求交点轴的交点有几种情况？求交点坐标就相当于坐标就相当于(5).抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴交点的横坐标和轴交点的横坐标和 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系
7、?22yxx 269yxx21y xx 答：答：2个，个，1个，个，0个个（-2,0)(1,0)(3,0)X1=-2,x2=1X1=x2=3无实数根无实数根求对应的方程的根求对应的方程的根抛物线与抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根b2 4ac 0b2 4ac=0b2 4ac 0OXY2、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交轴交点点,则则b2-4ac的情况如何。的情况如何。.（2）抛物线与）抛物线与x轴的位置关系有三种：有两个交点，有轴的位置关系有三种：有两个交点，有一个交点，没有交点，这对应着一元二次方程根的三种一个交
8、点，没有交点，这对应着一元二次方程根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根没有实数根（1）一元二次方程）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2,则抛物则抛物线线y=ax2+bx+c与与x轴交点的坐标就是（轴交点的坐标就是（x1,0)(x2,0)抛物线与抛物线与x轴有两个交点轴有两个交点0 方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根000即：抛物线与即：抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根抛物线与抛物线与x轴有一个交点轴有一个交点 方程有两个相
9、等的实数根方程有两个相等的实数根抛物线与抛物线与x轴没有交点轴没有交点 方程没有实数根方程没有实数根抛物线与抛物线与x轴有交点轴有交点 方程有两个实数根方程有两个实数根抛物线的顶点在抛物线的顶点在x轴上，则轴上，则=0练习练习1、与、与x 轴不相交的抛物线是（轴不相交的抛物线是（）(A)y=2x2-3 (B)y=-2x2+3 （C)y=-x2-3x (D)y=-2（x+1)2-32、方程、方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1=-5,x2=2,则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与与x轴两个交点的坐标是轴两个交点的坐标是3、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c与与x轴两个交点的坐标是（
10、轴两个交点的坐标是（-2,0），），（4,0），则方程），则方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是4、方程、方程x2-6x+m=0有两个等根，则有两个等根，则m=,此时抛物此时抛物线线y=x2-6x+m与与x轴有轴有 个交点。个交点。D（-5,0）（）（2,0）X1=-2 x2=4915、抛物线、抛物线y=x2-8x+c的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则c=7、抛物线、抛物线y=kx2-4x-2与与x轴有交点，求轴有交点，求k的取值范围是的取值范围是6、抛物线、抛物线y=x2-2(m+1)+(2m+1)与与x轴交点的情况是（轴交点的情况是（）（A）无交点）无交点 （B)有一个有一个 交点
11、交点 （C)有两个交点有两个交点 （D）至少有一个交点）至少有一个交点10、抛物线、抛物线y=x2-5x+6与与x轴交点坐标是轴交点坐标是 与与y轴交点坐标是轴交点坐标是 ，这三个交点构成的三角，这三个交点构成的三角形的面积是形的面积是16k-2且且k0D(2,0)(3,0)(0,6)3注意：抛物线的顶点在注意：抛物线的顶点在x轴上，则轴上，则=08、函数、函数y=kx2-4x-2与与x轴有交点，求轴有交点，求k的取值范围是的取值范围是k-29、函数、函数y=kx2-4x-2与与x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求k的范围的范围11、求证、求证:无论无论m为何值，抛物线为何值，抛物线y=x2
12、-2（m+1)x+4m与与x轴总有交点轴总有交点证明证明:=【-2（m+1)】2-44m =4m2+8m+4-16m=4m2-8m+4=4(m2-2m+1)=4(m-1)20无论无论m为何值，抛物线为何值，抛物线 y=x2-2（m+1)x+4m 与与x轴总有交点轴总有交点=4(m+1)2-16m12、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c,如图所示如图所示,则则一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的解是的解是 .XY0513、若抛物线、若抛物线y=ax2+bx+c,当当 a、c异号时异号时,图象与图象与x轴交点情况是轴交点情况是()A 无交点无交点 B 只有一个交点只有一个交点 C 有两个
13、交点有两个交点 D不能确定不能确定CX1=0，x2=5强调：强调：a、c异号时异号时014.如图如图,抛物线抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线的对称轴是直线 x=-1,由图象知由图象知,关于关于x的方程的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是的两个根分别是x1=1.3,x2=15.已知抛物线已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和的图象和x轴有交点，则轴有交点，则 k的取值范围（的取值范围（）-3.347474747:k0C:Dk0A kB kkk 且：且BK0b2-4ac0B16、根据下列表格的对应值、根据下列表格的对应值:判断方程判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数为常
14、数)一个解一个解x的范的范围是围是()A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24C 3.24 X 3.25 D 3.25 X0b2-4ac3)若使若使y=k成立的成立的x的值的值恰好有三个，求恰好有三个，求k的值。的值。2、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，的图象如图所示，（1）写出方程）写出方程ax2+bx+c=0的两个根的两个根（2）写出不等式）写出不等式ax2+bx+c0的两个根的两个根（3）写出函数的增减性）写出函数的增减性（4）若方程）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的有两个不相等的实数根，求实数根，求k的范围。的范围。31223、二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若一元二次的图象如图所示，若一元二次方程方程ax2+bx+c=0有实数根，求有实数根，求m的最大值。的最大值。0-3抛物线抛物线y1=x2-4x+5关于关于x轴对称的抛物线是轴对称的抛物线是抛物线抛物线y1=x2-4x+5关于关于y轴对称的抛物线是轴对称的抛物线是y2=-x2+4x-5y3=x2+4x+5抛物线抛物线y1=x2-4x+5关于原点对称的抛物线是关于原点对称的抛物线是y4=-x2+4x-5y1=x2-4x+5y2=-x2+4x-5y3=x2+4x+5y4=-x2+4x-5总结规律总结规律
