1、第八章第八章8.1.1 8.1.1 二元一次方程二元一次方程人教版数学七年级下册1.1.了解二元一次方程及其解等有关概了解二元一次方程及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程的解方程的解.2.2.通过对实际问题的分析，进一步体通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。会方程是刻画现实世界的有效数学模型。学习目标学习目标判断下列式子是否是一元一次方程：判断下列式子是否是一元一次方程：20.35x=+96.52x=+112x=+-+-回顾旧知回顾旧知一元一次方程一元一次方程 1、只有、只有一个一个未知数未知数2、未知数的指数
2、是、未知数的指数是一次一次3、方程的两边都是、方程的两边都是整式整式复习导入复习导入1知识点知识点二元一次方程二元一次方程思考思考 引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是设胜的场数是x，负的场数是，负的场数是y，你能用方程把这些，你能用方程把这些条件表示出来吗？条件表示出来吗？合作探究合作探究由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数胜的场数+负的场数负的场数=总场数，总场数，胜场积分胜场积分+负场积分负场积分=总积分总积分.这两个条件可以用方程这两个条件可以用方程 x+y=10,2
3、x+y=16表示表示.想一想：想一想：上面问题中，我们分别得到方程上面问题中，我们分别得到方程x+y=10,2x+y=16这些方程各含有几个未知数？这些方程各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？含未知数的项的次数是多少？1、只含有、只含有两个两个未知数未知数2、未知数的最高次数是、未知数的最高次数是1次次可以发现可以发现3、方程的两边必须是、方程的两边必须是整式整式 二元 一次整式方程含有含有两个两个未知数，并且所含未知数的项的未知数，并且所含未知数的项的次数都是次数都是1的方程叫做二元一次方程的方程叫做二元一次方程定义定义(1)二元一次方程的条件：二元一次方程的条件：整式方程；整式方程
4、；只含两个未知数；只含两个未知数；两个未知数系数都不为两个未知数系数都不为0；含有未知数的项的次数都是含有未知数的项的次数都是1.(2)二元一次方程的一般形式：二元一次方程的一般形式：axbyc(a0，b0)原原方方程程 化化简简后后方方程程a0，所以ax20，则方程化简后为2x3y0.一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；C无解 D有且只有两解用含一个未知数的式子表示另一个未知数3、方程的两边必须是整式19某电视台黄金时段的2 min广告时间内，插播时间分别为15 s和30 s的两种广告，15 s的广告每播1次收费万元，30 s的广告每播1次收费1万元，要求每种广告播放不少于2次若设1
5、5 s的广告播放x次，30 s的广告播放y次两种广告播放的次数有两种安排方式：(2)因为xm2yn199是关于x，y的二元一次胜场积分+负场积分=总积分.x2y3;ax22x3y0代入方程中，若满足该方程，则这组数值就是这个(3)电视台选择哪种方式播放，利润最大？最大利润是多少？两个未知数系数都不为0；2x+2y=6移项得：2y=6-2x，化简：y=3-x.C D15 s的广告播放4次，30 s的广告播放2次；15 s的广告播放2次，30 s的广告播放3次【思路点拨】根据“15 s的广告播放x次，30 s的广告播放y次”列二元一次方程；C DAxy18 Bxy369将一个二元一次方程改写成用含
6、一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，方法是利用_的性质将其变形为y_(或x_)的形式，其中a，b为常数，a0.x2y3;ax22x3y0 有下列方程：有下列方程：xy 1;2x3y;x2y3;ax22x3y0 (a0)，其中，二元一次方程有，其中，二元一次方程有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 根据二元一次方程的定义，含未知数的项根据二元一次方程的定义，含未知数的项xy的次的次 数是数是2；不是整式方程；含未知数的项；不是整式方程；含未知数的项x2，y中，中，x2的次数不是的次数不是1.只有满足其中已指明只有满足其中已指明 a0，所以，所以ax20，则方程化简后为，则方程化简后为
7、2x3y0.12;xy-=C31;4xy=-例例1 导引：导引：判断一个方程是否为二元一次方程的方法：判断一个方程是否为二元一次方程的方法：一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都 不为不为0且含未知数的项的次数都是且含未知数的项的次数都是1.新知小结新知小结 例例2 (1)已知方程已知方程(a2)x(b3)y9是关于是关于x，y的的 二元一次方程，则二元一次方程，则a的取值范围是的取值范围是_，b的取值范围是的取值范围是_；(1)因为方程因为方程(a2)
8、x(b3)y9是关于是关于x，y的的 二元一次方程，所以二元一次方程，所以a20，b30，所所 以以a2，b3；a2b3导引：导引：合作探究合作探究求二元一次方程的整数解的方法：(1)变形：把x看含有未知数的项的次数都是1.2(万元)，按15 s的广告播放4次，30 s的广告播放2次所得的利润最大，最大利润是万元含有两个未知数，并且所含未知数的项的判断下列式子是否是一元一次方程：C无解 D有且只有两解x2y3;ax22x3y0【思路点拨】实质是求二元一次方程满足条件的解；C D两个未知数系数都不为0；20，解得m2；9将一个二元一次方程改写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，方法是利
9、用_的性质将其变形为y_(或x_)的形式，其中a，b为常数，a0.定义：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，(2)用含y的式子表示x；(1)判断一组数值是不是方程的解，可将这组数值分别【思路点拨】实质是求二元一次方程满足条件的解；解：所求方程为15x30y120.已知 是方程2xay3的一个解，那么a的值是()有下列方程：xy 1;2x3y;17已知方程3xy12.C D(3)电视台选择哪种方式播放，利润最大？最大利润是多少？(2)已知已知xm2yn199是关于是关于x，y的二元一次的二元一次 方程，则方程，则m_，n_.(2)因为因为xm2yn199是关于是关于x，y的二元一次的二元一次
10、方程，所以方程，所以m21，n11，所以所以m3，n0.30 导引：导引：在含有字母参数的方程中，如果指明它是二元一在含有字母参数的方程中，如果指明它是二元一次方程，那么它必定隐含两个条件：次方程，那么它必定隐含两个条件：(1)含未知数的项的次数都是含未知数的项的次数都是1；(2)两个未知数的系数都不为两个未知数的系数都不为0，根据这两个条件，可，根据这两个条件，可 分别得到关于字母参数的方程或不等式分别得到关于字母参数的方程或不等式(下章将学下章将学 到到)，由此可求得字母参数的值或取值范围，由此可求得字母参数的值或取值范围新知小结新知小结1 在下列式子在下列式子:3x y220；xy；xy
11、z18;2xy 90中，是二元一次方程的是中，是二元一次方程的是_(填序号填序号)265yx；1+4yx ；巩固新知巩固新知2下列各式中，是二元一次方程的是下列各式中，是二元一次方程的是()Ax4y2 B4xy6zC.1y D5x2y191xD3若若xa2yb13是关于是关于x，y的二元一次方程，的二元一次方程，则则a，b应满足应满足()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b2 Da1，b2C4方程方程(m29)x2x(m3)y0是关于是关于x，y的的二元一次方程，则二元一次方程，则m的值为的值为()A3 B3 C3 D9B2知识点知识点二元一次方程的解二元一次方程的解 二元一次方程的解：二元一
12、次方程的解：定义：定义：适合一个二元一次方程的一组适合一个二元一次方程的一组未知数未知数的值，的值，叫做这个二元一次方程的一个解叫做这个二元一次方程的一个解合作探究合作探究二元一次方程二元一次方程x2y1有无数组解，下列四组值有无数组解，下列四组值中不是该方程的解的是中不是该方程的解的是()A.B.C.D.012xy 例例3 导引：导引：二元一次方程的解是能使方程两边相等的一对未二元一次方程的解是能使方程两边相等的一对未知数的值；因此将各个选项逐一代入原方程中，知数的值；因此将各个选项逐一代入原方程中，能使方程左右两边相等，则是方程的解，否则就能使方程左右两边相等，则是方程的解，否则就不是方程
13、的解不是方程的解11xy 10 xy 11xy B(1)判断一组数值是不是方程的解，可将这组数值分别判断一组数值是不是方程的解，可将这组数值分别 代入方程中，若满足该方程，则这组数值就是这个代入方程中，若满足该方程，则这组数值就是这个 方程的解，若不满足该方程，则这组数值就不是这方程的解，若不满足该方程，则这组数值就不是这 个方程的解；个方程的解；(2)二元一次方程中，如果已知其中一个未知数的值，二元一次方程中，如果已知其中一个未知数的值，我们可以利用二元一次方程的解的定义求出与它对我们可以利用二元一次方程的解的定义求出与它对 应的另一个未知数的值应的另一个未知数的值新知小结新知小结1【中考中
14、考台湾台湾】x3，y1为下列哪一个二元为下列哪一个二元一次方程的解？一次方程的解？()Ax2y1 Bx2y1C2x3y6 D2x3y6A巩固新知巩固新知2已知已知 是方程是方程2xay3的一个解，那的一个解，那么么a的值是的值是()A1 B3 C3 D1A11xy ，3如果如果 是方程是方程x3y3的一组解，的一组解，那么代数式那么代数式5a3b的值是的值是()A8 B5 C2 D0Axayb ，3知识点知识点用含一个未知数的式子表示另一个未知数用含一个未知数的式子表示另一个未知数二二元一次方程元一次方程xy=6，(1)用含有用含有x的代数式表示的代数式表示y为为_;(2)用含有用含有y的代数
15、式表示的代数式表示x为为_.合作探究合作探究把方程把方程2x+2y=6改写成用含改写成用含x的式子表示的式子表示y的形式，的形式，得得_.本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为一个未知数，可先移项，再系数化为1把方程把方程2x+2y=6移项得：移项得：2y=6-2x，化简：，化简：y=3-x.例例4解析：解析：y=3-x用含一个未知数的式子表示另一个未知数的变形用含一个未知数的式子表示另一个未知数的变形步骤为：步骤为：(1)移项，把被表示项移到一边，把其他项移到另移项，把被表示项移到一边，把其他项移到另 一边；一
16、边；(2)化系数为化系数为1，在方程两边同除以被表示项的系数，在方程两边同除以被表示项的系数.新知小结新知小结1 由由 可以得到用可以得到用x表示表示y的式子为的式子为()A B C D132xy223xy 2133yx223yx223yxC巩固新知巩固新知如果如果2x7y8，那么用含，那么用含y的代数式表示的代数式表示x正确正确的是的是()A BC D287xy872yx827xy872yx2C4知识点知识点二元一次方程的应用及整数解二元一次方程的应用及整数解 例例5 求二元一次方程求二元一次方程3x2y12的非负整数解的非负整数解 导引：导引：对于二元一次方程对于二元一次方程3x2y12而
17、言，它有无数组而言，它有无数组 解，但它的非负整数解是有限的，可利用尝试取解，但它的非负整数解是有限的，可利用尝试取 值的方法逐个验证值的方法逐个验证 解：解：原方程可化为原方程可化为 因为因为x，y都是非负整数，都是非负整数，1232xy -，合作探究合作探究A3种 B4种 C5种 D6种C4x2y36 D2x4y36解：按方式所得利润为0.含未知数的项x2，y中，(2)用含有y的代数式表示x为_.一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；判断一个方程是否为二元一次方程的方法：(1)二元一次方程的条件：(1)移项，把被表示项移到一边，把其他项移到另2(万元)，按15 s的广告播放4次，30
18、 s的广告播放2次所得的利润最大，最大利润是万元x2y3;ax22x3y0所以原方程的非负整数解为有下列方程：xy 1;2x3y;方程的解，若不满足该方程，则这组数值就不是这【中考台湾】x3，y1为下列哪一个二元一次方程的解？()(2)写出二元一次方程2x3y15的非负整数解中不是该方程的解的是()如果2x7y8，那么用含y的代数式表示x正确的是()(1)判断一组数值是不是方程的解，可将这组数值分别想一想：若xa2yb13是关于x，y的二元一次方程，则a，b应满足()(3)含有未知数的项的次数都是1；所以必须保证所以必须保证12-3x能被能被2整除整除，所以所以x必为偶数必为偶数而由而由 所以
19、所以x0或或2或或4.当当x0时时，y6；当当x2时时，y3；当当x4时时，y0，所以原方程的非负整数解为所以原方程的非负整数解为 0,2,4,630.xxxyyy或或或或12302xy -，x0，得得0 x4，求二元一次方程的整数解的方法：求二元一次方程的整数解的方法：(1)变形变形：把：把x看看成常数，把方程变形为用成常数，把方程变形为用x表示表示y的形式；的形式；(2)划界划界：根据：根据方程的解都是整数的特点，划定方程的解都是整数的特点，划定x的取值范围；的取值范围；(3)试值试值：在在x的取值范围内逐一试值；的取值范围内逐一试值；(4)确定确定：根据试值结果得：根据试值结果得到二元一
20、次方程的整数解其求解流程可概述为：到二元一次方程的整数解其求解流程可概述为：变形变形 用用x表示表示y确定确定x的范围的范围逐一验证逐一验证划界划界确定确定试值试值 新知小结新知小结二元一次方程二元一次方程2xy5的正整数解有的正整数解有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个B1巩固新知巩固新知【中考中考龙江龙江】“双双11”促销活动中，小芳的妈妈促销活动中，小芳的妈妈计划用计划用1 000元在唯品会购买价格分别为元在唯品会购买价格分别为80元和元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有方案有()A4种种 B5种种 C6种种 D7种种2A1
21、.二元一次方程的特征：二元一次方程的特征：(1)是整式方程；是整式方程；(2)只含有两个未知数；只含有两个未知数；(3)含有未知数的项的次数都是含有未知数的项的次数都是1；(4)能整理成能整理成axbyc的形式，且的形式，且a0，b0.1知识小结知识小结归纳新知归纳新知2.二元一次方程的解：二元一次方程的解：(1)二元一次方程的解一般都有无数多个；其整数二元一次方程的解一般都有无数多个；其整数 解一般是有限个；解一般是有限个；(2)每个解都是一对实数，通常用大括号联立每个解都是一对实数，通常用大括号联立若若(m2)x|m|1y2nm5是关于是关于x，y的二元一次方程，的二元一次方程，则则m_，
22、n_2易错小结易错小结12 2易错点：易错点：忽视二元一次方程定义的隐含条件而致错忽视二元一次方程定义的隐含条件而致错由已知方程是二元一次方程可得由已知方程是二元一次方程可得|m|11，且，且m20，解得，解得m2；另外，由；另外，由2nm1得得n .此题易错之处在于求此题易错之处在于求m的值时，忽略题目中的隐的值时，忽略题目中的隐含条件含条件m20，从而导致，从而导致m的取值出现两种结果的取值出现两种结果.12 1二元一次方程满足的条件：(1)方程中含有_个未知数，即未知数的系数不能为0；(2)含有未知数的项的次数都是_；(3)二元一次方程是_方程，即等式的左右两边必须都是_(分母中不含有未
23、知数)两两1整式整式整式整式课后练习课后练习B另外，由2nm1得n .(2020齐齐哈尔)母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物已知康乃馨每枝2元，百合每枝3元小明将30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有()1y D5x2y1912笼中有x只鸡、y只兔，共有36只脚，能表示其中数量关系的方程是()C D(1)二元一次方程的条件：【思路点拨】实质是求二元一次方程满足条件的解；(2)每个解都是一对实数，通常用大括号联立方程，所以m21，n11，所以m3，19某电视台黄金时段的2 min广告时间内，插播时间分别为15 s和30 s的两种广告，15 s的广告每播1次收费万元，
24、30 s的广告每播1次收费1万元，要求每种广告播放不少于2次若设15 s的广告播放x次，30 s的广告播放y次12笼中有x只鸡、y只兔，共有36只脚，能表示其中数量关系的方程是()C D如果 是方程x3y3的一组解，那么代数式5a3b的值是()C D【思路点拨】实质是求二元一次方程满足条件的解；次数都是1的方程叫做二元一次方程胜场积分+负场积分=总积分.(1)试写出关于x，y的方程变形x2y3;ax22x3y0(2)写出二元一次方程2x3y15的非负整数解解一般是有限个；3方程ax4yx1是二元一次方程，则a的取值为()Aa0 Ba1 Ca1 Da2C4一般地，使二元一次方程两边的值_的两个未
25、知数的值，叫做二元一次方程的解在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有_个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程相等相等无数无数1B6二元一次方程5a11b21()A有且只有一解 B有无数解C无解 D有且只有两解【答案答案】AA9将一个二元一次方程改写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，方法是利用_的性质将其变形为y_(或x_)的形式，其中a，b为常数，a0.等式等式axbayb1011x9y6，用含x的整式表示y，得y_；用含y的整式表示x，得x_C12笼中有x只鸡、y只兔，共有36只脚，能表示其中数量关系的方程是()Axy
26、18 Bxy36C4x2y36 D2x4y36D*13.(2019天门)把一根9 m长的钢管截成1 m长和2 m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1 m长的钢管有a根，则a的值可能有()A3种 B4种 C5种 D9种B*14.(2020齐齐哈尔)母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物已知康乃馨每枝2元，百合每枝3元小明将30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有()A3种 B4种 C5种 D6种【答案答案】B15已知方程(2m4)xm3(n3)y|n|26是关于x，y的二元一次方程，试求m，n的值解：因为方程(2m4)xm3(n3)y|n|26是关于x，y的
27、二元一次方程，所以m31，|n|21，2m40，n30.解得m2，n3.17已知方程3xy12.(1)用含x的式子表示y；解：y123x.(2)用含y的式子表示x；(4)写出方程的两个解(3)求当x2时y的值及当y24时x的值；解：当x2时，y的值为6；当y24时，x的值为4.18(1)写出二元一次方程x2y6的正整数解；(2)写出二元一次方程2x3y15的非负整数解【点拨】先利用等式的性质将原方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再尝试代入数值求解19某电视台黄金时段的2 min广告时间内，插播时间分别为15 s和30 s的两种广告，15 s的广告每播1次收费万元，30 s的广告每播
28、1次收费1万元，要求每种广告播放不少于2次若设15 s的广告播放x次，30 s的广告播放y次(1)试写出关于x，y的方程【思路点拨】根据“15 s的广告播放x次，30 s的广告播放y次”列二元一次方程；解：所求方程为15x30y120.(2)两种广告播放的次数有哪几种安排方式？【思路点拨】实质是求二元一次方程满足条件的解；两种广告播放的次数有两种安排方式：15 s的广告播放4次，30 s的广告播放2次；15 s的广告播放2次，30 s的广告播放3次(3)电视台选择哪种方式播放，利润最大？最大利润是多少？解：按方式所得利润为0.64124.4(万元)，按方式所得利润为0.62134.2(万元)，按15 s的广告播放4次，30 s的广告播放2次所得的利润最大，最大利润是万元【思路点拨】计算几种满足条件的解的利润情况，进行比较即可求出再见再见
