1、1 4.1 4.1 高阶线性微分方程的高阶线性微分方程的 一般理论一般理论/General Theory of Higher-Order Linear ODE/2 理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构 理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求本节要求/Requirements/3n 阶线性微分方程一般形式：阶线性微分方程一般形式：).()()()()(14 1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn其中其中),2,1)(nitai)(tf及是区间是区间bta上的连续函数。上的连续函数。称
2、它为称它为 n 阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程，而方程（，而方程（4.14.1）为）为 n 阶非阶非齐次线性微分方程齐次线性微分方程。).()()()(24 01111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn4.1.1 引言引言/Introducation/n 阶微分方程一般形式：阶微分方程一般形式：0 ),()(nxxxtF4方程（方程（4.1）的解的存在唯一性定理）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：上，且满足初始条件：定理定理1 1),2,1()(nitai及及)(tf都是区间都是区间bta则对于任一则对于任一,0bat 及任意的及任意的,)1(0)1(00nxxx
3、方程（方程（4.14.1）存在）存在)(tx，定义于区间，定义于区间上的连续函数上的连续函数,bta)3.4()(,)(,)()1(0101)1(0000nnnxdttdxdttdxt唯一解唯一解如果如果).()()()()(14 1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn54.1.2 4.1.2 齐线性方程解的性质与结构齐线性方程解的性质与结构 定理定理2 2 （叠加原理）（叠加原理）如果如果)(,),(),(txtxtxk21则它们的线性组合则它们的线性组合 )()()(2211txctxctxckk的的解，这里解，这里kccc,21是任意常数。是任意常数。是方程（是方
4、程（4.2）也是（也是（4.2）的的k个解，个解，例例(P.27,2)0(0222为常数wywdxyd有解有解wxycoswxysinwxCysin2wxCycos1wxCwxCysincos21).()()()(24 01111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn6证明证明)2.4(0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)(2211)()()(nkktxctxctxc)1(22111)()()()(nkktxctxctxcta)()()()(2211txctxctxctakkn)()()(111111111xtadtdxtadtxdtadtxd
5、cnnnnnn)()()(221121122xtadtdxtadtxdtadtxdcnnnnnn)()()(knknnknnknkxtadtdxtadtxdtadtxdc11110=7问题问题：nk 时，若时，若)()()(2211txctxctxcxnn能否成为方程（能否成为方程（4.2）的通解？）的通解？wxycos1wxycos52wxCwxCycos5cos21不一定不一定不包含解不包含解wxCysin2要使要使)()()(2211txctxctxcxnn为方程（为方程（4.2）的通解）的通解)(,),(),(txtxtxn21还需满足一定的条件。还需满足一定的条件。当当)(,),()
6、,(txtxtxn21是齐线性方程的解，是齐线性方程的解，如在上例中如在上例中8函数线性无关和相关函数线性无关和相关定义在定义在bta)(,),(),(21txtxtxk上的函数，如果存在kccc,21使得恒等式使得恒等式不不全为零的常数全为零的常数0)()()(2211txctxctxckk 对所有对所有bat,成立，称这些函数是线性相关线性相关的，否则称是线性无关线性无关的。,cosxxsin如如),(在区间上线性无关,cos2x1 ,sin2x),(在区间上线性相关nttt ,12),(在区间上线性无关),(ttctctccnn 02210要使得则0210ncccc9)()()()()(
7、)()()()()1()1(2)1(12121txtxtxtxtxtxtxtxtxkkkkkk定义在定义在bta区间上的区间上的 k个可微个可微 k-1次的函数次的函数)(,),(),(21txtxtxk所作成的行列式所作成的行列式)(,),(),()(21txtxtxWtWk称为这些函数的称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式伏朗斯基行列式10 定理定理3 3)(,),(),(21txtxtxn在区间在区间bta上线性相关，上线性相关，,ba上它们的伏朗斯基行列式上它们的伏朗斯基行列式0)(tW。则在则在证明证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数由假设，即知存在一组不
8、全为零的常数,21nccc0)()()(2211txctxctxcnnbta （4.64.6）0)()()(0)()()(0)()()()1()1(22)1(1122112211txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn （4.74.7）使得使得依次对依次对 t 微分此恒等式，得到微分此恒等式，得到若函数若函数nccc,21的齐次线性代数方程组，的齐次线性代数方程组，关于关于11它它的系数行列式的系数行列式,)(,),(),(21txtxtxWn方程方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即0)(tWbta由线性代
9、数理论由线性代数理论证毕证毕其逆定理是否成立？其逆定理是否成立？例如：例如：10010)(21ttttx10010)(22ttttx即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。无关的。不一定不一定12)(),(21txtxW10010)(21ttttx10010)(22ttttx10 020001 002022tttttt10 0001 00)()(2212212211ttcctctctxctxc021 cc 1,1t故故)(),(21txtx是线性无关的。是线性无关的。13如果方程如果方程(4.2)(4.2)的解的解)(,),(
10、),(21txtxtxn在区间在区间bta上线性无关，则上线性无关，则)(,),(),(21txtxtxWn任何点上都不等于零，即任何点上都不等于零，即0)(tWbta在这个区间的在这个区间的定理定理4设有某个设有某个,0tbta0，使得，使得0)(0tW考虑关于考虑关于nccc,21的齐次线性代数方程组的齐次线性代数方程组证明证明 反证法反证法0)()()(0)()()(0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn（4.94.9）).()()()(24 01111xtadtdxtadtxdt
11、adtxdnnnnnn14其系数行列式其系数行列式0)(0tW，故（，故（4.94.9）有非零解）有非零解nccc,21构造函数构造函数)()()()(2211txctxctxctxnnbta 根据叠加原理，根据叠加原理，是方程（是方程（4.2）的解，且满足初始条件）的解，且满足初始条件)(tx0)()()(0)1(00txtxtxn0 x由解的唯一性知由解的唯一性知)(tx0bta，即，即 0)()()(2211txctxctxcnn因为因为nccc,21不全为不全为0 0，与，与)(,),(),(21txtxtxn的假设矛盾。的假设矛盾。（4.104.10）另另 也是方程也是方程(4.2)
12、(4.2)的解，的解，bta线性无关线性无关证毕证毕也满足初始条件（也满足初始条件（4.10）15定理定理5 5 n 阶齐线性方程阶齐线性方程(4.2)(4.2)一定存在一定存在 n 个线性无关的解，个线性无关的解，0)(,),(),(00201txtxtxWn)(,),(),(21txtxtxn线性相关线性相关,0tbta0定理定理4定理定理3重要结论重要结论方程方程(4.2)(4.2)的解的解)(,),(),(21txtxtxn在区间在区间bta上线性无关上线性无关0)(,),(),(21txtxtxWnbta的充分必要条件是的充分必要条件是且任意且任意 n+1个解都线性相关。个解都线性相
13、关。证明证明),2,1()(nitai在在 上连续，取上连续，取bta,0bat )(,)(,)()1(00)1(0000nnxtxxtxxtx则满足条件则满足条件存在唯一。存在唯一。).()()()(24 01111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn16 0)(,0)(,1)(0)1(00txtxtxn )(1tx 0)(,1)(,0)(0)1(00txtxtxn )(2tx 1)(,0)(,0)(0)1(00txtxtxn )(txn 01)(,),(),(021 EtntxtxtxW)(,),(),(21txtxtxn线性无关。线性无关。即齐次线性方程即齐次线性方程(4.
14、2)一定存在一定存在 n 个线性无关的解。个线性无关的解。)(),(,),(),(121txtxtxtxnn任取方程任取方程(4.2)的的n+1个解，个解，17)()()()()()()()()()()(1)(2)(1121121txtxtxtxtxtxtxtxtxtWnnnnnn任意任意 n+1个解都线性相关。个解都线性相关。0)()()()()()()()()()(1)(11)(21)(1121121niinniniininiininnxtaxtatxtatxtxtxtxtxtx 0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn18 定理定理6 6（通解结构通解结构
15、）)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnn 其中其中nccc,21是任意常数，是任意常数，且通解（且通解（4.11）是方程（是方程（4.24.2）的）的n个线性个线性无关的解，则方程（无关的解，则方程（4.24.2）的通解可表为）的通解可表为（4.114.11）包括包括方程（方程（4.24.2）的所有解。）的所有解。l方程方程(4.2)(4.2)的一组的一组n n个线性无关解称为它的一个个线性无关解称为它的一个基本解组基本解组。如果如果ln 阶齐线性方程的所有解构成一个阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。维线性空间。作业作业：P.132，5，6
16、，719 4.1.3 4.1.3 非齐次线性方程与常数变易法非齐次线性方程与常数变易法 性质性质1 1 如果如果)(tx是方程（是方程（4.14.1）的解，而）的解，而)(tx（4.24.2）的解，则）的解，则)()(txtx性质性质2 2 方程（方程（4.14.1）的任意两个解之差必为方程（）的任意两个解之差必为方程（4.24.2）的解。）的解。是方程是方程也是方程（也是方程（4.14.1）的解。）的解。).()()()()(14 1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn).()()()()()(24 0111xtaxtaxtaxnnnn)()()()()()(xxta
17、xxtaxxtaxxnnnn111)()()()()()()()()()(xtaxtaxtaxxtaxtaxtaxnnnnnnnn111111 )(tf20是任意常数，且通解（是任意常数，且通解（4.144.14）包括）包括定理定理7 7)(,),(),(21txtxtxn为方程（为方程（4.24.2）的基本解组，）的基本解组，)(tx是方程（是方程（4.14.1）的某一解，则方程（）的某一解，则方程（4.14.1）的通解为）的通解为)()()()(2211txtxctxctxcxnn其中其中nccc,21（4.144.14）设设方程（方程（4.1）的所有解。）的所有解。证明证明1)（4.14
18、）一定是方程（）一定是方程（4.1）的解，且含有）的解，且含有n个独立个独立的任意常数，是通解。的任意常数，是通解。2)(tx是方程（是方程（4.14.1）的任一个解，则）的任一个解，则)()(txtx是方程是方程（4.2）的解）的解nccc,21)()()()()(txctxctxctxtxnn2211)()()()()(txtxctxctxctxnn2211证毕证毕21设设)(,),(),(21txtxtxn为方程（为方程（4.24.2）的基本解组，）的基本解组，)()()(2211txctxctxcxnn为（为（4.24.2）的通解。）的通解。)()()()()()(2211txtctx
19、tctxtcxnn （4.154.15）（4.164.16）非齐线性方程非齐线性方程齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解非齐线性方程通解特解特解基解组基解组表示表示关键关键常数变易法常数变易法为（为（4.1）的解。）的解。22令令117.4）（118.4）（217.4）（218.4）（)()()()()()(2211txtctxtctxtcxnn)()()()()()(2211tctxtctxtctxnn02211)()()()()()(tctxtctxtctxnn)()()()()()(2211txtctxtctxtcxnn )()()()()()(2211tctxtctxtctxnn0)(
20、)()()()()(2211 tctxtctxtctxnn)()()()()()(txtctxtctxtcxnn2211)()()()()()(txtctxtctxtcxnn 221123117.4n）（118.4n）（02222121)()()()()()()()()(tctxtctxtctxnnnnn)()()()()()()1()1(22)1(11)1(txtctxtctxtcxnnnnnn )()()()()()()()(22)(11)(txtctxtctxtcxnnnnnn)()()()()()()(2)(21)(1tctxtctxtctxnnnnnn）（18.4)()()()()(
21、)()()()()(tftctxtctxtctxnnnnn1212111n）（17.4（4.16）118.4）（218.4）（118.4n）（n）（18.4代入方程（4.1）24117.4）（02211)()()()()()(tctxtctxtctxnn217.4）（02211)()()()()()(tctxtctxtctxnn117.4n）（02222121)()()()()()()()()(tctxtctxtctxnnnnn)()()()()()()()()()(tftctxtctxtctxnnnnn1212111n）（17.40)(,),(),(21txtxtxWn方程组有唯一的解，设为
22、方程组有唯一的解，设为),2,1()()(nittcii),2,1()()(nidtttciii)()()()()()(2211txtctxtctxtcxnn （4.16）25dtttxdtttxdtttxxnn)()()()()()(2211),2,1(0 nii特解特解通解通解)()()(txtxtxnn 2211dtttxdtttxdtttxxnn)()()()()()(2211非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构结构:通解与自身的一个特解之和。通解与自身的一个特解之和。26例例1 1 求方程求方程txxcos1 基本解组为基本解组为tcos，ts
23、in的通解，已知它对应齐线性方程的的通解，已知它对应齐线性方程的解解ttcttcxsin)(cos)(210sin)(cos)(21ttcttctttcttccos1cos)(sin)(21解得解得1)(2 tc11cosln)(ttc原方程的通解为原方程的通解为 tttccossin)(122)(ttcttttttxsincoslncossincos21令令27例例2 2 求方程求方程2txx t 于域于域0t解解 对应的齐线性方程为对应的齐线性方程为txx1 上的所有解。上的所有解。得得,Atx BAtx221txtx 1221)()(ttctcx0)()(221tcttcttc t)(2
24、2易见有基本解组易见有基本解组2 ,1t这里这里 A、B 为任意常数。为任意常数。设设 为方程的解为方程的解 2221)(ttc13161)(ttc322131ttx 故得原方程的通解故得原方程的通解（21,为任意常数为任意常数)0 xx tdttxxd128作业作业：P.131，第，第2，3（1）（）（3）（）（5），），4题题练习题练习题220d xxdt，并求方程，并求方程ttee ,的的基本解组为基本解组为1 1 验证验证的通解。的通解。22cosd xxtdt 2 2 求方程求方程ttxx2sin4 方程的方程的基本解组为基本解组为tt2sin ,2cos的通解，已知它对应齐的通解，已知它对应齐线性线性思考题思考题常数变易法中待定函数的条件如何选择？常数变易法中待定函数的条件如何选择？
