1、第 1 页 共 18 页 2020 届安徽省合肥市肥东县高级中学高三届安徽省合肥市肥东县高级中学高三 1 月调研考试数学月调研考试数学 （理）试题（理）试题 一、单选题一、单选题 1已知复数已知复数 1 121 iznm与与 2 22 izn为共轭复数，其中为共轭复数，其中,m nR，i 为虚数单位，则为虚数单位，则 1 z （ ） A1 B 2 C3 D5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由共轭复数的概念可以得到 12 2120 n mn ，解方程即可得到 1 z，进而可 以求出 1 z. 【详解】 由题意得， 12 2120 n mn ， 解得1m，3n， 则 1 2iz ， 1 4
2、15z . 故答案为 D. 【点睛】 本题考查了共轭复数的知识，考查了复数的模，属于基础题 2已知集合已知集合, 1,25Ax yyxBx yyx， ，则，则AB（ ） A2,1 B 2,1 C1,2 D1,5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】求出直线1yx与25yx 的交点，即可得到答案。 【详解】 由题意 1 25 yx yx ，解得2x，1y ，故2,1AB. 故答案为 A. 【点睛】 本题考查了集合的交集，两直线的交点，属于基础题。 3已知单位向量已知单位向量 12 ,e e的夹角为的夹角为，且，且tan 2 2 ，若向量，若向量 12 23mee，则，则|m （ ） 第 2 页
3、共 18 页 A9 B10 C3 D10 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先由夹角正切值得余弦值，然后利用数量积公式得到 12 e e ，再利用向量模的 公式计算即可得到答案. 【详解】 向量夹角0,，由tan 2 2 可得 1 cos 3 ， 向量 12 ,e e为单位向量即 12 1ee,可得 12 1 1 1 cos 3 e e ， 则 2 12 1 23492 2 33 3 mee ， 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的模的计算方法，属于基础题. 4下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A若命题若命题 , pq 均为真命题，则命题均为真命题，则命题p q 为真命题为真命题 B“
4、若若 6 ，则，则 1 sin 2 ”的否命题是的否命题是“若若 1 sin 62 ，则” C在在ABC，“ 2 C ”是是“sincosAB”的充要条件的充要条件 D命题命题 :p “ 2 000 ,50xR xx”的否定为的否定为 :p “ 2 ,50xR xx ” 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项 的正误即可 【详解】 对于 A：若命题 p，q 均为真命题，则 q 是假命题，所以命题 pq 为假命题，所以 A 不正确； 对于 B：“若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ”，所以 B
5、 不正 确； 对于 C：在 ABC 中， “ 2 C ” “A+B= 2 ” “A= 2 -B”sinA=cosB， 反之 sinA=cosB，A+B= 2 ，或 A= 2 +B，“C= 2 ”不一定成立， C= 2 是 sinA=cosB 成立的充分不必要条件，所以 C 不正确； 第 3 页 共 18 页 对于 D：命题 p：“x0R，x02-x0-50”的否定为p：“xR，x2-x-50”，所以 D 正 确 故选：D 【点睛】 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定 等知识，是基本知识的考查 5已知正项等比数列已知正项等比数列 n a的前的前n项和为项
6、和为 n S，若，若 431 13 , 84 aSa，则，则 5 S A 31 32 B 31 16 C 31 8 D 31 4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 利用正项等比数列 n a的前n项和公式、 通项公式， 列出方程组， 求出 1 1a ， 1 2 q ，由此能求出 5 S的值。 【详解】 正项等比数列 n a的前n项和为 n S， 431 13 , 84 aSa，0q ，易知1q 时不成立，所以1q . 3 1 3 1 1 1 8 1 3 14 a q aq a q ， 解得 1 1a ， 1 2 q ， 5 1 5 1 1 1 31 32 1 116 1 2 aq S q 故
7、选：B 【点睛】 本题考查等比数列的前n项和公式的运用，考查了等比数列的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题。 6已知函数已知函数 ln1220f xxaxa a .若不等式若不等式 0f x 的解集中整数的解集中整数 的个数为的个数为3，则，则a的取值范围是（的取值范围是（ ） A1 ln3,0 B 1 ln3,2 2ln C1 ln3,12ln D0,1 ln2 第 4 页 共 18 页 【答案】【答案】D 【解析】【解析】对 0f x 进行变形，得到2ln2a xxx ，令 2h xa x， ln2g xxx ， 即 h xg x的整数个数为 3， 再由 g x的函数图像和 h
8、x 的函数图像，写出限制条件，得到答案 【详解】 0f x ln1220xaxa，即2ln2a xxx 设 2 ,ln2h xa xg xxx ， 其中2x时， 20,2ln20hg 3x 时， 30,3ln30hag 即2,3xx符合要求 11 1 x gx xx ，所以0,1x时， 0gx ， g x单调递减 1,x， 0g x ， g x单调递增， 11g为极小值. h xg x有三个整数解，则还有一个整数解为1x 或者是4x 当解集包含1x 时，0x时， 20,h xag x 所以需要满足 0 11 44 a hg hg 即 0 1 2ln442 a a a ，解得01 ln2a 当解
9、集包含4x时，需要满足 0 11 44 55 a hg hg hg 即 0 1 2ln442 3ln552 a a a a 整理得 0 1 1 ln2 3ln5 3 a a a a ，而 3ln5 1 3 ，所以无解集，即该情况不成立. 综上所述，由得，a的范围为0,1 ln2 故选 D 项. 第 5 页 共 18 页 【点睛】 利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合 的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题. 7已知程序框图如图，则输出已知程序框图如图，则输出 i 的值为的值为( ) A7 B9 C11 D13 【答案】【答案】D 【解析】【解析
10、】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的 值，模拟程序的运行过程，可得答案 【详解】 当1S 时，不满足退出循环的条件，故1S ，3i 当1S 时，不满足退出循环的条件，故3S ，5i 当3S 时，不满足退出循环的条件，故15S ，7i 当15S 时，不满足退出循环的条件，故105S ，9i 当105S 时，不满足退出循环的条件，故945S ，11i 当945S 时，不满足退出循环的条件，故10395S ，13i 当10395S 时，满足退出循环的条件， 故输出13i 故选D 【点睛】 本题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环
11、的方法解答。 第 6 页 共 18 页 8曲线曲线 2 4x y x 的一条切线的一条切线 l 与与 ,yx y 轴三条直线围成的三角形记为轴三条直线围成的三角形记为OAB，则，则 OAB外接圆面积的最小值为外接圆面积的最小值为 A8 2 B 8 32 C 1621 D 16 22 【答案】【答案】C 【解析】【解析】设直线 l 与曲线的切点坐标为（ 00 x ,y） ，求出函数的导数，可得切线的斜率和 方程，联立直线 yx 求得 A 的坐标，与 y 轴的交点 B 的坐标，运用两点距离公式和基 本不等式可得 AB 的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最 小值 【详解】 设
12、直线 l 与曲线的切点坐标为（ 00 x ,y） ， 函数 2 x4 y x 的导数为 2 2 x4 y x 则直线 l 方程为 22 00 0 2 00 x4x4 yxx xx ，即 2 0 2 00 x48 yx xx ， 可求直线 l 与 yx 的交点为 A（ 00 2x ,2x） ，与 y 轴的交点为 0 8 B 0 x ， 在 OAB 中， 2222 000 2 00 864 |AB|4x(2x)8x323221 xx ， 当且仅当 0 x 22 2时取等号 由正弦定理可得 OAB 得外接圆半径为 AB12 rAB 2 sin452 ， 则 OAB 外接圆面积 22 1 Sr|AB|
13、1621 2 ， 故选：C 【点睛】 本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，同时考查正弦定理的运用， 基本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算能力，属于中档题 9已知已知a为实数，为实数， 3 ( )32f xaxx，若，若 ( 1)3f ，则函数 ，则函数 ( )f x的单调递增区 的单调递增区 间为（间为（ ） 第 7 页 共 18 页 A2, 2 B 22 , 22 C0,2 D 2 2, 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】对函数求导，由13f 求出 a,然后解不等式 0fx 即可得到答案. 【详解】 3 32f xaxx，则 2 33,fxax 又13f ，则1
14、333fa ，解得 a=-2, 2 63,fxx解 0,fx得 22 22 x , 则函数 f x的单调递增区间为 22 , 22 故选：B. 【点睛】 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系， 即当导函数大于 0 时原函数 单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减，是基础题 10定义在定义在R上的函数上的函数 2 , 10 ( ) ,01 xx f x xx ，且，且 1 (2)( ), ( ) 2 f xf x g x x ，则，则 方程方程( )( )f xg x在区间在区间 5,9上的所有实数根之和最接近下列哪个数（上的所有实数根之和最接近下列哪个数（ ） A14 B1
15、2 C11 D10 【答案】【答案】A 【解析】【解析】f（x+2）=f（x） ，函数 f（x）是周期为 2 的周期函数， g（x）= 1 2x ，g（x）关于直线 x=2 对称 分别作出函数 f（x） ，g（x）在5，9上的图象， 第 8 页 共 18 页 由图象可知两个函数的交点个数为 8 个，设 8 个交点的横坐标从小到大为 x1，x2，x3， x4，x5，x6， 78 ,xx 且这 8 个交点接近点（2，0）对称， 则 1 2 （x1+x8）=2，x1+x8=4， 所以若 x1+x2+x3+x4+x5+x6 7 x 8 x =4（x1+x8）=4 4=16，但是不都是对称的， 由图象可
16、知，x1+ x84，x2+x74， 36 4xx， 45 4xx 第五个交点为空心的，跟等于 3x1+x2+x4+x5+x6 78 xx 最接近 14 故选 A 点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；对于函数的零点问 题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转 化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单 一些。注意函数的图像画的要准确一些。 11 如图， 某住宅小区的平面图呈圆心角为 如图， 某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形的扇形， 是该小区的一个出入口，是该小区的一个出入口， 且小区里有一条
17、平行于且小区里有一条平行于的小路的小路已知某人从已知某人从 沿沿走到走到 用了用了 2 分钟，从分钟，从 沿着沿着 走到走到 用了用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径的长度为米，则该扇形的半径的长度为 A B C D 【答案】【答案】B 第 9 页 共 18 页 【解析】【解析】试题分析：设该扇形的半径为 r 米，连接 CO 由题意，得 CD=150（米） ，OD=100（米） ，CDO=60 ， 在 CDO 中， 即， 解得（米） 【考点】1扇形面积公式；2余弦定理求三角形边长 12 f x是定义在是定义在R上的奇函数， 对上的奇函数，
18、 对xR ， 均有， 均有 2f xf x， 已知当， 已知当0,1x 时，时， 21 x f x ，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（ ） A f x的图象关于的图象关于1x 对称对称 B f x有最大值有最大值 1 C f x在在1,3上有上有 5 个零点个零点 D当当2,3x时，时， 1 21 x f x 【答案】【答案】C 【解析】【解析】f（x）是定义在 R 上的奇函数，对xR，均有 f（x+2）=f（x） ，故函数的 周期为 2，则 f（x）的图象关于（1，0）点对称，故 A 错误；f（x）（-1，1） ，无最 大值，故 B 错误；整数均为函数的零点，故 f（x）在-1，3
19、上有 5 个零点，故 C 正确； 当 x2，3）时，x-20，1） ，则 f（x）=f（x-2）=2x-2-1，当 x=3 时，f（x）=0，故 D 错误； 故选 C. 点睛:本题是函数性质的综合应用,已知对称中心,周期能推出另一个对称中心,根据某区 间上的解析式,结合周期性,对称性可以得到一个周期中的函数图象,从而关于最值,零点 等问题都可以解决. 二、填空题二、填空题 13在在ABC中，已知中，已知 2 3 2cossin 23 A A，若，若2 3a ，则，则ABC周长的取值范围周长的取值范围 为为_ 【答案】【答案】4 3,42 3 【解析】【解析】由题中条件先求出 2 3 A ，然后
20、由余弦定理可得 22 12bcbc，利用基 本不等式可得到4b c ，再由三角形中两边之和大于第三边可得bca ，从而可 得到a b c 的取值范围，即周长的范围。 第 10 页 共 18 页 【详解】 由题意， 2 3 2cos1sin1 23 A A ，即 3 cossin1 3 AA ， 可化为2 3sin3 3 A ，即 3 sin 32 A ， 因为0A，所以 33 A ，即 2 3 A ， 设ABC的内角A B C， ，的对边分别为ab c， ， 由余弦定理得， 22 12bcbc， 因为 22 2bcbc， （当且仅当bc时取“=”） ， 所以 22 123bcbcbc，即4bc
21、， 又因为 2 22 12bcbcbcbc，所以 2 124bcbc， 故4b c ，则42 3abc， 又因为bca ，所以24 3abca ， 即4 342 3abc . 故ABC周长的取值范围为4 3,42 3 . 【点睛】 本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理在解三角形中的运用，利用基本不等式求最 值，三角形的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于中档题。 14曲线曲线 x 2 ye1 在点（在点（0,0）处的切线方程为）处的切线方程为_； 【答案】【答案】 1 2 yx 【解析】【解析】通过求导得切线斜率，再由点斜式可得切线方程. 【详解】 2 1 e 2 x
22、y ，则 0 1 2 x y ，故 1 2 yx 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题. 15各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，已知，已知 6 S30， 9 S70,则则 3 S _. 第 11 页 共 18 页 【答案】【答案】10 【解析】【解析】根据等比数列和项性质列方程解得结果. 【详解】 由题意得 363 SSS， 96 SS成等比数列，则 2 63396 SSS SS（）（），所以 2 33 (30SS 7030）（）, 3 S10或 90， 因为各项均为正数， 所以 6 S 3 S， 因此 3 S10. 【点睛】 在
23、解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的 方法. 16已知已知() 4 kkZ 且且sin()cos(),则则tan_。 【答案】【答案】1 【解析】【解析】 整理sincos得：sincoscossincossin 由此得到sincos0，问题得解。 【详解】 因为sincos， 所以sin coscos sincos cossin sin，整理得： sincoscossincossin，又 4 kkZ ， 所以cossin，所以sincos0， 所以 sin tan1 cos 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式，考查计算能力，还考
24、查了三角 恒等式，属于基础题。 三、解答题三、解答题 17在在ABC中，内角中，内角 , ,A B C的对边分别为 的对边分别为, ,a b c，已知，已知 b2acos C 3 1求求A； 2若若b2 3c，且，且ABC面积面积2 3，求，求a的值的值 【答案】【答案】 （1） 6 ； （2）2 7 第 12 页 共 18 页 【解析】【解析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tanA= 3 3 ，结 合范围 A（0，） ，可求 A 的值 （2）由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值，进而可求 b 的值，根据余弦定理可得 a 的值 【详解】 （1）2 3 b co
25、s C a ， b=2a（cosCcos 3 +sinCsin 3 ） ，可得：b=acosC+ 3asinC， 由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+ 3sinAsinC， 可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+ 3sinAsinC， 可得：cosA= 3sinA，可得：tanA= 3 3 ， A（0，） ， A= 6 （2）b 2 3c ，且 ABC 面积2 3= 1 2 bcsinA= 1 2 2 3c c1 2 ， 解得：c=2，b=4 3， 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-24 3 2 3 2 =28，解得：a
26、=2 7 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在 解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18在在ABC中，中，CACB CA CB. (1) 求角求角C的大小；的大小； (2)若若CDAB，垂足为，垂足为D，且，且4CD，求，求ABC 面积的最小值面积的最小值. 【答案】【答案】 （1） 2 C （2）min16 ABC S 【解析】【解析】试题分析： （1）由CA CBCA CB，两边平方 22 CA CBCA CB， 整理可得 0CA CB ，即CA CB ，从而可得 2 C ； （2）在直角ADC与直角 第 13 页
27、共 18 页 BDC中中， 4 sinsin CD AC AA ， 4 sinsin CD BC BB ，从而可得 1144816 22 sinsinsin cossin2 ABC SCA CB ABAAA ，根据三角函数的有界性可 得 ABC面积的最小值. 试题解析： （1）由CACBCA CB，两边平方 22 CA CBCA CB， 即 22 CA CBCA CB，得到2 0CA CB ，即CA CB 。 所以 2 C . （2）在直角ADC中， 4 sinsin CD AC AA ， 在直角BDC中， 4 sinsin CD BC BB ， 又0, 2 A ，所以sinsincos 2
28、BAA ， 所以 1144816 22 sinsinsin cossin2 ABC SCA CB ABAAA ， 由+ 2 A B 得，20,A，故sin20,1A， 当且仅当 4 A 时，maxsin21A，从而min16 ABC S . 19在在ABC中，内角中，内角 , ,A B C的对边分别为 的对边分别为, ,a b c， 0 30B ，三边，三边 , ,a b c成等比数 成等比数 列，且列，且ABC面积为面积为 1，在等差数列，在等差数列 n a中，中， 1 1a ，公差为，公差为b. （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）数列）数列 n b满足满足 1 1
29、 n nn b a a ，设，设 n T为数列为数列 n b的前的前n项和，求项和，求 n T的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）21 n an， * nN（2） 11 32 n T 【解析】【解析】 （1）由 2 bac，1S ，解得b，从而得到数列 n a的通项公式； （2）由（1）可得 111 2 2121 n b nn ，利用裂项相消法得到前n项和，从而得到 n T的取值范围. 【详解】 解： （1） 2 bac， 2 111 1 224 Sacb，2b， 21 n an， * nN . 第 14 页 共 18 页 （2） 111 2 2121 n b nn ， 11111
30、111 11 23352121221 n T nnn n T是关于 n 的增函数 * nN， 11 32 n T. 【点睛】 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一 难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1) 11 11 n nkknnk ； （2） 1 nkn 1 nkn k ； （3） 1111 21 212 2121nnnn ； （4） 11 122n nn 11 112n nnn ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多 项的问题，导致计算结果错误. 20某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域某地拟规划种植一批芍
31、药，为了美观，将种植区域（区域）设计成半径为）设计成半径为1km的的 扇形扇形EAF，中心角，中心角 42 EAF 为方便观赏，增加收入，在种植区域外为方便观赏，增加收入，在种植区域外 围规划观赏区（区域围规划观赏区（区域）和休闲区（区域）和休闲区（区域） ，并将外围区域按如图所示的方案扩建成） ，并将外围区域按如图所示的方案扩建成 正方形正方形ABCD，其中点，其中点E，F分别在边分别在边BC和和CD上已知种植区、观赏区和休闲区上已知种植区、观赏区和休闲区 每平方千米的年收入分别是每平方千米的年收入分别是 10 万元、万元、20 万元、万元、20 万元万元 （1）要使观赏区的年收入不低于）要
32、使观赏区的年收入不低于 5 万元，求万元，求的最大值；的最大值； （2）试问：当）试问：当为多少时，年总收入最大？为多少时，年总收入最大？ 【答案】【答案】 （1） 3 （2） 3 【解析】【解析】 （1）由1AFAE，ADAB， 2 DB ，所以ADF与ABE全 等. 第 15 页 共 18 页 可得 1 22 DAFBAE ，根据面积公式，可求得观赏区的面积为 11 2?cos 22 SDFAD ，要使得观赏区的年收入不低于 5 万元，则要求 51 204 S ，解不等式即可求出结果. （2）由题意可得种植区的面积为 11 22 SAF AE ，正方形面积为 2 1 sin 2 SAD ，
33、设年总收入为( )W万元，则 ( )10202010 10sin5WSSS ，利用导数在函数单调性中的应用， 即可求出结果. 【详解】 （1） 1AFAE，ADAB， 2 DB ，所以ADF与ABE全等. 所以 1 22 DAFBAE ，观赏区的面积为 1111 2?sin?cossin2sincos 22222 SDFADDAFDAFDAF ，要使得观赏区的年收入不低于 5 万元，则要求 51 204 S ，即 1 cos 2 ，结合 42 可知 43 ，则的最大值为 3 . （2）种植区的面积为 11 22 SAF AE ， 正方形面积为 22 1 cos21 sin cos 22 DAF
34、 SADDAF ， 设年总收入为( )W万元，则 1 sin1 ( )1020201020()52010 10sin5 22 WSSSSSS ， 其中 42 ，求导可得( )10cos5W . 当 43 时，( )0W ，( )W递增；当 32 时，( )0W ，( )W递增. 所以当 3 时，( )W取得最大值，此时年总收入最大. 【点睛】 题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结 第 16 页 共 18 页 合思想，以及导数在求最值的应用. 21已知函数已知函数 4 ( )f xxmm x . (1)当当0m时求函数时求函数 ( )f x的最小值； 的最
35、小值； (2)若函数若函数( )5f x 在在 1,4x 上恒成立求实数上恒成立求实数m的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】(1)4. (2) 9 (, 2 . 【解析】【解析】试题分析： （） 结合题意利用基本不等式求解即可（） 由题意得 4 5xmm x 在 1,4x 上恒成立，转化为 4 255mx x 在1,4x上恒成立构造函数 4 ,1,4g xxx x ，求得函数 g x的最值后可得结论 试题解析： （）当0m时， 444 24f xxxx xxx ，当且仅当 4 x x ，即 2x时等号成立， 所以 4 min f x （）由题意得 4 5xmm x 在 1,4x上恒成立，
36、即 4 5xmm x 在 1,4x上恒成立， 所以 4 55mxmm x 在1,4x上恒成立， 即 4 255mx x 在1,4x上恒成立， 设 4 ,1,4g xxx x ，则 g x在1,2上单调递减，在2,4上单调递增， min 24g xg， 又 15,45gg， 254m ， 解得 9 2 m ， 第 17 页 共 18 页 所以实数m的取值范围是 9 , 2 22已知函数已知函数 32 11 1 323 a f xxaxxaR. （1）若）若1a ，求函数，求函数 f x的极值；的极值； （2）当）当01a 时，判断函数时，判断函数 f x在区间在区间0,2上零点的个数上零点的个数
37、. 【答案】【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】【解析】 【详解】试题分析： （1）求导数得 1 1fxa xx a ，又1a ，所以 1 01 a ，由此可得函数 f x的单调性，进而可求得极值； （2）由01a，得 1 1 a 。因此分 1 12 a 和 1 2 a 两种情况判断函数的单调性， 然后根据零点存在定理判断函数零点的个数。 试题解析： （1） 32 11 1 323 a f xxaxx， 2 1 111fxaxaxa xx a ， 因为1a ，所以 1 01 a ， 当 x 变化时， ,fxf x 的变化情况如下表： x 1 , a 1 a 1 ,1 a 1 1,
38、 fx 0 - - 0 f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得当 1 x a 时， f x有极大值，且极大值为 2 2 1231 6 aa f aa ， 当1x 时， f x有极小值，且极小值为 1 11 6 fa . （2）由（1）得 1 1fxa xx a 。 第 18 页 共 18 页 01a， 1 1 a . 当 11 20 2 a a ，即时， f x在0,1上单调递增，在1,2上递减 又因为 111 00,110,2210 363 ffafa 所以 f x在（0,1）和（1,2）上各有一个零点， 所以 0,2f x 在上有两个零点。 当 1 12 a ，即 1 1 2
39、a时， f x在0,1上单调递增，在 1 1, a 上递减，在 1 ,2 a 上递增， 又因为 2 211111 00,110,0 366 aa ffaf aa 所以 f x在0,1上有且只有一个零点，在1,2上没有零点， 所以在0,2上有且只有只有一个零点. 综上： 当 1 0 2 a时， f x在0,2上有两个零点； 当 1 1 2 a时， f x在0,2上有且只有一个零点。 点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法 研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、 变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通 过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。
