1、 重点重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解法，由微积分知识引出。难点难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。总时数：6学时.1、知道二阶微分方程的概念；2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程的通解或特解。【学习目标】【授课时数授课时数】【重、难点重、难点】1 1.)()(xfyn型型 的的 微微 分分 方方 程程 解解,cos)3(xy xxydcosxCxyd)(sin1,cos21CxCx,)cos(21dxCxCxy.sin322121CxCxCxy,sin1Cx 方程的方程的：方程右端不显
2、含未知函数：方程右端不显含未知函数y.y.方程的方程的：)(xpy,则则),(xpy 将它们将它们)(,()(xpxfxp代入方程代入方程得得令令 212ppp x,dxxCy211)1(.)1(3222311CxCC3 3.),(yyfy 型型 的的 微微 分分 方方 程程 解解,dydPPy 则),(yPy 设代入原方程得代入原方程得,02 PdydPPy,0)(PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 3.02的通解求方程 yyy,0 yP由,Cy 得 例例 4 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，设有一均
3、匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线时是怎样的曲线分析分析 解解,cos,sinHTST将此两式相除，得)(,1tanHaSaxdxySy021,tandxyayx02110)0(,)0(11 2yayyay取原点O到点A的距离为定值a于是有建立坐标系如图所示，设曲线方程为),(xfy 由题意得 dxapdp112，两端积分，得，两端积分，得 eCeCpaxax22111将初始条件将初始条件0)0()0(py代入代入式，解得式，解得).(1111舍或CC),(21axaxeep11C代入代入式，得式
4、，得再将再将将将 yp 代入上式，并积分得代入上式，并积分得Ceeayaxax2)(2将初始条件将初始条件ay)0(代入代入式，解得式，解得,02C).(2axaxeeay将将02C代入代入式，式，解得曲线方程为解得曲线方程为pypy,令次两边同时积分n),(yxfy 1.可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程2.不显含不显含y的二阶微分方程的二阶微分方程3.不显含不显含x的二阶微分方程的二阶微分方程)()(xfyn),(yyfy dydpypdxydypdxdy)(,)(22则令思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyy 3)(思考题解答思考题解答代入得则令法一,:pypy)1
5、(2ppdxdpdxdppp)1(1212ln)11(Cxdpppp12ln1lnlnCxppxeCpp121思考题解答思考题解答代入得则令法二,:dydppypy)1(2ppdydppdxdppCy112或1arctanCypCy或)tan(1CyypCy或dxdyCyCy)cot(1或21ln)ln(sin(CxCyCy或xeCCy21)sin(该微分方程的通解是练练 习习 题题21313CxCxCy21)cos(lnCCxy解解受力分析受力分析),0(.1ccxf恢复力).0(.2dtdxR阻力xxo,maF,22dtdxcxdtxdm22220d xdxnk xdtdt物体自由振动的微
6、分方程物体自由振动的微分方程则若受到铅直干扰力,sinpthF 2222sind xdxnk xhptdtdt强迫振动的方程强迫振动的方程对于象这样的微分方程，我们给出如下定义对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:则得且令,22kmcnm程称为程称为.22()()()d ydyP xQ x yf xdxdx时，当0)(xf称为称为.称为称为.1 1二阶线性微分方程的定义二阶线性微分方程的定义形如形如这样的微分方程这样的微分方程时，当0)(xf/2 2二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()(yxQyxPy例如例如x
7、x22sin,cos1，xxxeee2,，线性无关线性无关;线性相关线性相关.时，时，当当),(x特别地特别地:的两个特解是0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常常数数且且 xyy.sincos21xCxCy则其通解是3 3二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构形如形如),(,0均为常数qpqyypy 这样的这样的微分方程称为微分方程称为形如形如这样的微分方程称为这样的微分方程称为032 yyy；xxeyyy 2)0)(,(),(xfqpxfqyypy为常数,rxery 则，eyrx是其解设将其代入上方程将其代入上方程,得得,0)(2rxeqprr,0 rx
8、e20rprq特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0ypyqy,2rxery （1 1）有两个不相等的实根）有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为1212;r xr xyC eC e(0)特征根为特征根为（2 2）有两个相等的实根）有两个相等的实根,11xrey ,221prr (0)一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为112();r xyCC x e代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy ,0)()2(1211 uqprru
9、pru,0 u知知(),u xx取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为（3 3）有一对共轭复根）有一对共轭复根,1ir,2ir,)(1xiey,)(2xiey(0)重新组合重新组合)(21211yyy ,cosxex)(21212yyiy,sinxex得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为12(cossin).xyeCxCx特征根为特征根为,02qprr0 qyypy的特征方程是的特征方程是0 qyypy的通解的通解.065的通解求方程 yyy解解的特征方程为的特征方程为,0652 rr解得解得,3,221rr故所求微分方程的通解为故所求微分方程
10、的通解为.3221xxeCeCy 例例11065 yyy 例例220222sdtdsdtsd,4|,0ts求微分方程求微分方程2|0ts的特解的特解.解解的特征方程为的特征方程为,0122 rr解得解得,121rr所求微分方程的通解为所求微分方程的通解为.)(21tetCCs01222dtdsdtsd,)(212tetCCCdtds将将2|,4|00ttss分别代入上两式，解得分别代入上两式，解得.2,421CC所求微分方程的特解为所求微分方程的特解为.)24(tets.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解为故所求通解
11、为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例33052 yyy二阶常系数齐次线性微分方程求通解的二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 02 qprr0 qyypy练练 习习 题题xeCCy421 )2sin2cos(213xCx
12、Ceyx ()ypyqyf x二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应的齐次方程对应的齐次方程0,ypyqy通解结构通解结构,yYy 两种类型两种类型,)(xmexP 难点难点：如何求特解？：如何求特解？方法方法：待定系数法：待定系数法.sin)(cos)(xxPxxPenlx设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy)(代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若)1(20,pq),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若)2(20,pq20,p),()(xxQxQm 可可设设;)(x
13、mexQy ;)(xmexxQy 型一)()()(xPexfmx是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若)3(20,pq20,p),()(2xQxxQm 可设可设综上讨论综上讨论)(xQexymxk 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k.)(2xmexQxy 设设是非齐次方程的解，是非齐次方程的解，.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程,得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121
14、(于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例11,)(xxpsin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10 是单根是单根不是根不是根 iik型二sin)(cos)()()(xxPxxPexfnlx设该微分方程的特解是.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐次方程的特征方程对应齐次方程的特征方程xCxCYsincos21 例例22对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解012r特征根特征根ir得由)sin4cos0()(0 xxexfx是单特征根iil
15、,1,00,0max,0)sincos(xBxAxy设该微分方程的特解为,0,2BA代入原方程解得.cos2xxy特解为原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy 解解特征方程特征方程xCxCYsincos21 例例33对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解,012r特征根特征根ir得由)2sin02cos()(0 xxxexfx不是特征根iil2,2,10,1max,0 xDCxxBAxy2sin)(2cos)(设特解94,0,0,31DCBA解得xxxy2sin942cos31特解为原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy.2c
16、os的的通通解解求求方方程程xxyy ),()()1(xPexfmx2,1,0);(kxQexymxk,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk(待定系数法待定系数法)1,0k思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定的待定特解的形式特解的形式.设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y*1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22,1 r思考题解答思考题解答CBxAxy 2*1xeDxy22*2*2y*1*yy CBxAx 2.22xeDx 练练 习习 题题)323(2221xxeeCeCyxxx xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 通过本课题学习，学生应该达到：1会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解；2会根据实际问题建立二阶微分方程。（一）（一）P109习题习题7.3；（二）（二）P109习题习题7.3；（三）（三）P109习题习题7.3【授课小结授课小结】【课后练习课后练习】
