1、高中数学高中数学高中数学1.3.2 函数的奇偶性函数的奇偶性高中数学1、已知：、已知：f(x)=2x ，画出函数图象，并求，画出函数图象，并求f(1)，f(1),f(x)。2解：f(-1)=2(1)=2 f(-x)=2(x)=2x2f(1)=21 =2222 xy02、已知：、已知：f(x)3x，画出函数图象，并求：，画出函数图象，并求：f(2)、f(2)、f(x)。解：f(2)32=6f(2)=3(2)=6f(x)=3(x)3xxy0复习引入复习引入思考：通过练习你发现了什么？思考：通过练习你发现了什么？1.f(-x)=f(x),2.f(-x)=-f(x)高中数学观察下图，思考并讨论以下问题
2、观察下图，思考并讨论以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征？）这两个函数图象有什么共同特征？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征？3210123941014932101233210123x2)(xxfx|)(xxf高中数学 观察到这两个函数的图象都关于观察到这两个函数的图象都关于y 轴对轴对称称那么，如何利用函数解析式描述函数图那么，如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征？象的这个特征？高中数学偶函数的概念偶函数的概念 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个的定义域内任意一个 ，都，都有有 ，那么函数，那么函数
3、就叫做偶函数就叫做偶函数)(xf)()(xfxfx)(xf 函数函数 ，都是偶函数，它们的都是偶函数，它们的图象分别如下图所示：图象分别如下图所示：1)(2 xxf112)(2xxf高中数学观察观察 观察函数观察函数 和和 的图象，并完成下面的的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？xxf)(xxf1)(x3 2 1 0123f(x)=xx3 2 10123f(x)=1/x/-3 -2 -1 0 1 2 3-1/3-1/2 -1 1 1/2 1/3高中数学奇函数的概念奇函数的概念 一般地，如果对于函数一般地
4、，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x，都，都有有 ，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数)()(xfxf 思考思考 （2）如果下图是函数）如果下图是函数 图象的一部分，你能根据图象的一部分，你能根据 的奇偶性的奇偶性画出它在画出它在 轴左边的图象吗？轴左边的图象吗？xxxf3)()(xfyxxxf3)(（1）判断）判断 函数的奇偶性函数的奇偶性奇函数奇函数高中数学xyOxyO1-1-20 x 具有奇偶性的函数，其定义域在数轴上具有奇偶性的函数，其定义域在数轴上有怎样的特点？有怎样的特点？函数定义域关于数函数定义域关于数“0 0”对称对称.高中数学判断函数奇
5、偶性的方法：判断函数奇偶性的方法：(1)定义域是否关于原点对称？(2)与 是否相等?()fx()f x高中数学判断下列函数是否具有奇偶性：判断下列函数是否具有奇偶性：13)()1(2，xxxf1)()2(xxf高中数学例例 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）4)(xxf5)(xxfxxxf1)(21)(xxf高中数学（2）对于函数）对于函数 ，其定义域为（，其定义域为（，）5)(xxf因为对于定义域内的每一个因为对于定义域内的每一个x ，都有，都有)()()(55xfxxxf所以，函数所以，函数 为奇函数为奇函数5)(xxf解解：（1）对于函数）对于函数
6、 ，其定义域为（，其定义域为（，）4)(xxf因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x，都有，都有)()()(44xfxxxf所以，函数所以，函数 为偶函数为偶函数4)(xxf高中数学因为对于定义域内的每一个因为对于定义域内的每一个x，都有，都有)()1(1)(xfxxxxxf所以，函数所以，函数 为奇函数为奇函数xxxf1)(（3）对于函数）对于函数 ，其定义域为，其定义域为 0|xxxxxf1)(因为对于定义域内的每一个，都有因为对于定义域内的每一个，都有)(1)(1)(22xfxxxf所以，函数所以，函数 为偶函数为偶函数21)(xxf（4）对于函数）对于函数 ，其定义域为，其定义
7、域为 0|xx21)(xxf高中数学用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断、再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.高中数学 1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=2x4+3x2 (2)f(x)=x3-2x 2、已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数，试将下图补充完整。课堂练习：课堂练习：oxyoxy1)(4)1)()3(22xxfxxxf高中数学 3,1,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22xxxfxxfxfxfxxfxxxf3.判断下列函
8、数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：高中数学思考题：思考题：函数函数y5是奇函数还是偶函数是奇函数还是偶函数？函数函数y0是奇函数还是偶函数是奇函数还是偶函数？yyYYxx偶函数偶函数是偶函数也是奇函数是偶函数也是奇函数高中数学知识探究（一）知识探究（一）思考思考1 1:是否存在函数是否存在函数f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数？既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？若存在，这样的函数有何特征？f(x)=0f(x)=0思考思考2:2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？思考思考3 3:若若f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，那么
9、上的奇函数，那么 f(0)f(0)的值如何？的值如何？f(0)=0f(0)=0 奇函数奇函数 偶函数偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 既奇又偶函数既奇又偶函数高中数学理论迁移理论迁移 1 1 已知已知f(x)f(x)是奇函数，且当是奇函数，且当 时，时，,求当求当 时时f(x)f(x)的解析的解析式式.0 x 2()3f xxx0 x 2()3(0)f xxx x 2 2 设函数设函数 ，已知，已知 是是偶函数，求实数偶函数，求实数m m的值的值.2()23f xxmx(1)f xm=-4m=-4高中数学理论迁移理论迁移 3.3.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:(1);(2).(1)
10、;(2).1()f xxx2()1f xx 4.4.已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足：对任满足：对任意实数，都有意实数，都有 成立成立.（1 1）求）求f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)的值；的值；（2 2）确定）确定f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性.()()()f a baf bbf a高中数学思考思考4 4:如果函数如果函数f(x)f(x)具有奇偶性具有奇偶性,a,a为非零常数，为非零常数，那么函数那么函数af(x)af(x)，f(ax)f(ax)的奇偶性如何？的奇偶性如何？思考思考5 5:常数函数常数函数 具有奇偶性吗？具有奇偶性吗？()(0)f xa
11、a知识探究（二）知识探究（二）思考思考1:1:如果函数如果函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是奇函数，那么都是奇函数，那么f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)-g(x)f(x)-g(x)，f(x)f(x)g(x)g(x)，f(x)f(x)g(x)g(x)的奇偶性如何？的奇偶性如何？高中数学思考思考2:2:如果如果f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的任意一个函数，那么上的任意一个函数，那么f(x)+f(-x)f(x)+f(-x)，f(x)-f(-x)f(x)-f(-x)奇偶性如何？奇偶性如何？f(x)+f(-x)f(x)+f(-x)是偶函数是偶函数f(x)-f(-x)f(
12、x)-f(-x)是奇函数是奇函数思考思考3:3:二次函数二次函数 是偶函数是偶函数的条件是什么？的条件是什么？一次函数一次函数 是奇函数的条件是什么？是奇函数的条件是什么？2()f xaxbxc()f xkxbb=0b=0高中数学 3 3 已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任上的奇函数，且对任意实数意实数x x都有都有 ，若当，若当 时，时，,求求 的值的值.(3)()0f xf x 3,2x ()2f xx1()2f1()52f 4 4 已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数，且在上的偶函数，且在 上是增函数，上是增函数，f(-2)=0f(-2)
13、=0，求不等式，求不等式 的解集的解集.(,0()0 x f x(2,0)(2,)高中数学-a 与点（与点（x，y）关于）关于y轴对称的点是轴对称的点是 。1、与点（与点（x，y）关于原点对称的点是）关于原点对称的点是 。思考思考 2、奇函数的图象关于原点对称、奇函数的图象关于原点对称设设f(x)为奇函数，则有为奇函数，则有f(x)=f(x)；在在f(x)图象上任取一点图象上任取一点(a，f(a)那么那么,点点(a,f(a)也在函数也在函数f(x)的图象上的图象上所以：所以：f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称、偶函数的图象关于、偶函数的图象关于y轴对称轴对称设设f(x)为偶函数，则有
14、为偶函数，则有f(x)f(x)在在f(x)的图象上任取一点的图象上任取一点(a，f(a)那么那么,点点(a,f(a)也在函数也在函数f(x)的图象上的图象上 所以：所以：f(x)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称（x，y）（x，y）。y0 x af(a)-f(a)y0 x。-a af(a)f(a)高中数学奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如
15、果一个函数的图象关于y轴对称，轴对称，那么就称这个函数为偶函数那么就称这个函数为偶函数.说明说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性高中数学例例 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图象轴右边的图象如下图，画出在如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0解：画法略相等相等高中数学本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数 如果都有f(x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质：一个函数为
16、奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称高中数学理论迁移理论迁移 1 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:(1);(2).(1);(2).1()f xxx2()1f xx 2.2.已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足：对满足：对任意实数，都有任意实数，都有 成立成立.（1 1）求）求f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)的值；的值；（2 2）确定）确定f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性.()()()f a baf bbf a高中数学 3 3 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.2()2|3f xxx y yx xo o1 1-1-1
