1、第二课时一.复习回顾：an-an-1=d(d是常数是常数)数列数列 a an n 为等差数列为等差数列an-an-1=d1.1.等差数列的定义等差数列的定义2.2.等差数列的单调性等差数列的单调性当当d=0时，时，an为常数列；为常数列；当当d0时，时，an为递增数列；为递增数列；当当d0时，时，an为递减数列；为递减数列；3.3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式dnaan)1(1,*nNdnaan)1(1,*nN4.等差数列的函数特性等差数列的函数特性 nfandadn1一次函数等差数列 是一次函数的斜率公差d5.5.等差数列的图象等差数列的图象.1,111naaddnaann得由.11
2、的几何意义说出naadn6.等差中项等差中项 若若a，A，b成等差数列，则成等差数列，则A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项22baAbaABbaA之间的关系？bAa,间的关系成等差数列，分析若nmlaaanml,nlmnmlaaaaaa 2,成等差数列dnadladma1112111nlm 2求出下列等差数列中的未知项求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3,b,c,-9;数列：数列：1，3，5，7，9，11，135是是3和和7的等差中项，的等差中项，1和和9的等差中项；的等差中项；9是是7和和11的等差中项，的等差中项，5和和13的等差中项的等差中项.例例3（1）在等差数
3、列）在等差数列an中，是否有中，是否有 11(2)?2nnnaaan （2）在数列）在数列an中，如果对于任意的正整数中，如果对于任意的正整数n（n2），都有），都有那么数列那么数列an一定是等差数列吗？一定是等差数列吗？112nnnaaa*),1(211Nnnaaaannnn为等差数列结论：数列在一个等差数列中，从第在一个等差数列中，从第2 2项起，每一项（有穷数列的项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.推广：推广：an=am+(nm)d 其实其实a9=a1+8d=+(9-3)d例例4.在等差数列在等差数列an中中,已知已知
4、a3=10,a9=28,求求d。ddaadaadnaan从而解出得由等差数列通项公式,1913,119131 a9=+(9-3)ddaa639解析：解析：由等差数列的通项公式得由等差数列的通项公式得1(1)naand1(1)maamd().nmaanm d-得().nmaanm d.nmaadnm进一步可以得到等差数列的通项公式一般形式等差数列的通项公式一般形式:an=am+(nm)d.7.等差数列通项公式的推广：斜率公式斜率公式例例5 5：某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.21.2元元/km/km，起步，起步价为价为1010元，即最初的元，即最初的4km4km（不含（不含4 4
5、千米）计费千米）计费1010元。如果某人乘坐该市的出租车去往元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km14km处的处的目的地，且一路畅通，等候时间为目的地，且一路畅通，等候时间为0 0，需要支付，需要支付多少车费？多少车费？解：解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加时，每增加1km，乘客需要支付，乘客需要支付1.2元元.所以，我们可以建立一个等差数列所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费来计算车费.令令a1=11.2，表示，表示4km处的车费，公差处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至那么当出租车行至14km处时，处时，n=11
6、，此时需要支付此时需要支付车费车费 a11=11.2(111)1.2=23.2答：需要支付车费答：需要支付车费23.2元。元。例例6.已知三个数成等差数列，其和已知三个数成等差数列，其和1515，其平方和为，其平方和为8383，求，求此三个数此三个数.则 (a-d)+a+(a+d)=15 (a-d)2+a2+(a+d)2=83所求三个数分别为所求三个数分别为3 3，5 5，7 7或或7 7，5 5，3.3.解得解得a5，d2.解：设此三个数分别为解：设此三个数分别为a-d，a，a+d，变：三个数组成递减的等差数列变：三个数组成递减的等差数列练习练习1、等差数列、等差数列an的前三项和为的前三项
7、和为12，前三项积为前三项积为48，求，求an。三个数等差的设法：三个数等差的设法：a-d，a，a+d练习练习2、成等差数列的四个数之和为、成等差数列的四个数之和为26，第二个与，第二个与第三个数之积为第三个数之积为40，求这四个数。，求这四个数。四个数等差的设法：四个数等差的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3d 公差为公差为2d。设项技巧：设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为,a d a ad-+（2）若有四个数成等差数列，则可设为3,3ad a d ad ad-+（3）若有五个数成等差数列，则可设为2,2ad a d a ad ad-+公差为公差为d公差为公差为2d公差为公差
8、为d例例7 如图，三个正方形的边如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等的长组成等差数列，且差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求）求AB，BC，CD的长；的长；（2）以）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？项为边长的正方形的面积是多少？ADCB3，7，11a9=35S9=12258.等差数列的性质：已知数列已知数列 为等差数列，那么有为等差数列，那么有na 性质性质1：若：若 成等差数列，则成等差数列，则 成等差数列成等差数列.*m,p,n(m,p,n N)
9、mpna,a,a证明：根据等差数列的定义，证明：根据等差数列的定义，m,p,n,成成等等差差数数列列pmnp,(pm)d(np)d.pmnpaaaa.即即 成等差数列成等差数列.mpna,a,a如如 成等差数列，成等差数列，成等差数列成等差数列.1611a,a,a369a,a,a推广：推广：在等差数列在等差数列有规律有规律地取出若干项，所得新数列仍地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）的倍数的项）推广：推广：已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（1）将前）将前m项去掉，其余
10、各项组成的数列是等差数项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，an是等差数列是等差数列首项为首项为am+1，公差为，公差为d，项数为，项数为n-m已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，是等差数列是等差数列首项为首项为a1，公差为，公差为2d取出的是所有偶
11、数项呢？取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，是等差数列是等差数列首项为首项为a2，公差为，公差为2d已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（3）取出数列中所有项是）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？是多少？a7，a14，a21，是等差数列是等差数列首项为首项为a7，公差为，公差为7d取出的是所有取出的是所有k倍数的项呢？倍数的项呢？ak，a2k，a3k，是等差数列是等差数列首项为首项为ak，公差为，公差为kd
12、已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（4）数列）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差是等差数列吗？公差是多少？数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列，公差是等差数列，公差为为2d 数列数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是是等差数列吗？公差是多少？等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数是等差数列，公差为列，公差为3d。例：例：963852741aaa,13aaa19,aaa求等差数列中，性质性质2：设：设 若若 则则 *m,n,p,qN
13、mnpqaaaa.mnpq,1a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpq mnpqaaaa 证明：证明：设首项为设首项为，则，则111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd推论推论：在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和，在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和，等于首末两项的和，即等于首末两项的和，即123121knknnnaaaaaaaa2,2mnpmnpaaa若则有特别地，特别地，p=q时，即时，即注意：逆命题注意：逆命题是不一定成立是不一定成立的的；7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a3
14、5434aaa(5)a判断：判断：可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：等式两注意：等式两边作和的项数边作和的项数必须一样多必须一样多练习练习.在等差数列在等差数列an中，中，(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求：，求：a1+a20(2)已知已知 a3+a11=10，求：，求：a6+a7+a8(3)已知已知 a2+a14=10，能求出，能求出a16吗？吗？1015例例3.在等差数列在等差数列an中，中，a619,a15=46，求，求a4+a17的值的值不能不能(4)(4)在等差数列在等差数列aan n 中中a a1 1-a-a5 5+a+a9 9-a-a1313+a+a
15、1717=117,=117,则则a a3 3+a+a1515=（）234若数列若数列an是等差数列，公差为是等差数列，公差为d，设，设c,k为常数，为常数，则则an+k _等差数列，公差为等差数列，公差为_；则则can+k_等差数列，公差为等差数列，公差为_.若数列若数列aan n 为等差数列，公差为为等差数列，公差为d d，则，则kakan n_等等差数列，公差为差数列，公差为_.(k_.(k是常数是常数)若数列若数列aan n 与与bbn n 都为等差数列，公差分别为都为等差数列，公差分别为d d1 1,d,d2 2，则则aan n+b+bn n _等差数列等差数列,公差为公差为_;_;则
16、则aan n-b-bn n _等差数列等差数列,公差为公差为_，也是也是kdkd性质性质3 3.也是也是也是也是d dcdcd性质性质4 4.性质性质5 5.papan n+qb+qbn n _等差数列等差数列,公差为公差为_.(_.(p,qp,q为常数为常数)也是也是也是也是也是也是d d1 1+d+d2 2d d1 1-d-d2 2pdpd1 1+qd+qd2 220082008989811nnba,15b,85a,66b,34aba1求中，和：等差数列例 2.若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+qd=-1,ap+q=0.0),(,qpqpnaqppaqaa则中，若等差数列性质性质
17、6 6.例2(1)(1)已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a3 3 a a1515=30,=30,求求a a9 9，a a7 7a a1111解：（1 1）a9是a3和a15的等差中项(2)(2)已知等差数列已知等差数列aan n 中，中，a a3 3 a a4 4a a5 5 a a6 6 a a7 7=150=150，求，求a a2 2a a8 8的值的值1523021539aaa7+11=3+15（2 2）3+7=4+6=5+5 a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150即a5=30故a2a8=2 a5=60 a7a11=a3 a15=30 a3a7=a4 a6=2 a5
18、(1)等差数列等差数列an中，中，a3 a9a15a21=8，则，则a12=(2)已知等差数列已知等差数列an中，中，a3 和和a15是方程是方程x26x1=0的两的两个根，则个根，则a7 a8 a9a10a11=215(3)已知等差数列已知等差数列an中，中，a3 a5=14,2a2a6=15，则则a8=跟踪训练2-19(4)已知已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.d=_2a14=_3d=2a14=31或或1.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a-5-5，-3-3a+2 2，则则 a 等于（等于（)A.-
19、1 .-1 B.1 .1 C.-2 .-2 D.2B2.在数列在数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=4-353.在等差数列在等差数列an中中 (1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0本节练习2A BC D1-nnnnnnnnnnabbabababa思考：已知数列是等差数列，则数列为等差数列的是（）、D练习练习已知已知 ，求，求 的值。的值。*2f(n)+1f(1)=2,f(n
20、+1)=(nN)2)2007(f100523200721)2007(2321)(212)(21)()1(1)(2)1(2fnnfnfnfnfnfnf即的等差数列，公差为是首项为解解:五、小结五、小结1.定义：定义：an-an-1=d（n2）或）或 an+1-an=d(nN*)2.通项公式通项公式 an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)dan为等差数列为等差数列 3.3.等差数列的性质等差数列的性质an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn +b（k、b为常数）为常数）212nnnaaamnaadnaadaadmnnnn )()()(3121114.d的计算
21、方法5.判断等差数列的方法:为等差数列常数定义法：)1)()1(1nnnandaa为等差数列常数：中项公式法递推法)1n)(2)()2(21nnnnaaaa为等差数列的一次函数为一次函数法：)3(nnana课后作业：课后作业：1.11618，求这三个数，平方和为它们的和为并且数列是递增的，已知三个数成等差数列2.,4,61)2(1061aaaan求是等差数列，且已知.2310,5)1(1的范围，求公差项大于第等差数列da.14416，求这四个数且四数的平方和为，四个数的和为已知四个数成等差数列3.在等差数列在等差数列an中中(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=40，求，求a1+a20(2)已知已知 a3+a11=20，求，求 a6+a7+a8.4,126473求数列通项公式，满足等差数列aaaaan5.4.6.,66,33352515的值求在等差数列中，aaa
