1、一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点第三章导数的应用第三章导数的应用第四节曲线的凹凸性与拐点第四节曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘函数图形的描绘二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘如图所示，凡呈凸形的弧段，如图所示，凡呈凸形的弧段，当自变量当自变量 x 由由 x1 增大到增大到 x2 时，时，其上的切线斜率是递减的其上的切线斜率是递减的(如图如图(a)左，左，(b)左左)，凡呈凹形的弧段，凡呈凹形的弧段，当当 x 由由 x1 增大到增大到 x2 时，时，其上的切线斜率是递增的其上的切线斜率是递增的(如图如图(a)右，右，(b)(b)右右)，我们将我们将以这个明显的几何特征来规定曲线的
2、凹凸性以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性.x1x3x4x2OyABCDx一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点xyOABDCx1x3x4x2(a)(b)定义定义 1设函数设函数 y=f(x)在某区间在某区间 I 内可内可导，导，如果如果 f (x)在在 I 内是递增的内是递增的，则称曲线则称曲线 y=f(x)在在区间区间 I 内是凹的内是凹的，I 区间称为凹区间区间称为凹区间；如果如果 f (x)在在 I 内是递减的内是递减的，则称曲线则称曲线 y=f(x)在区间在区间 I 内内是凸的是凸的，I 区间称为区间称为凸凸区间区间.定义定义 2设函数设函数 y=f(x)在区间在区间 I 内
3、连续内连续，则则 y=f(x)在区间在区间 I 内的凹内的凹凸分界点凸分界点，叫做曲叫做曲线线 y=f(x)的拐点的拐点.定理定理 1设函数设函数 y=f(x)在区间在区间 I 内的二阶导内的二阶导数数 f (x)0，则曲线则曲线 y=f(x)在区间在区间 I 内是凹内是凹的的；若若 f (x)0，则在此区间则在此区间 I 内曲线内曲线 y=f(x)是凸的是凸的.定理定理 2(拐点的必要条件拐点的必要条件)且点且点(x0,f(x0)为曲线为曲线 y=f(x)的拐点的拐点，则则 f (x0)=0.若函数若函数 y=f(x)在在 x0 处二阶导数处二阶导数 f (x0)存在存在，注意注意f (x0
4、)=0 是点是点(x0，f(x0)为拐点必为拐点必要条件，要条件，而非充分条件而非充分条件.例如例如 y=x4，则，则 y =12x2，当当 x=0 时，时，y (0)=0，但但(0,0)不是曲线不是曲线 y=x4 的的拐点，拐点，因为点因为点(0,0)两侧二阶导数不变号两侧二阶导数不变号.定理定理 3若若 f (x0)=0，且在且在 x0 两侧两侧 f (x)变号变号，则点则点(x0,f(x0)是曲线是曲线 y=f(x)的拐点的拐点.例例 1讨论曲线讨论曲线 f(x)=x3-6x2+9x+1 的的凹凹凸凸区间与拐点区间与拐点解解定义域为定义域为(,).因为因为f (x)=3x2-12x+9，
5、f (x)=6x -12=6(x -2)，令令 f (x)=0，可得，可得 x=2.当当 x (,2)时，时，f (x)0，此区间是凹此区间是凹区间区间当当 x=2 时，时，f (x)=0，因因 f (x)在在 x=2 的两的两侧变号，而侧变号，而 f(2)=3，所以所以(2,3)是该曲线的拐点是该曲线的拐点.本题也可以下表给出解答：本题也可以下表给出解答：x(,2)2(2,+)f (x)0+f(x)拐点拐点(2,3)其中其中 ，分别表示曲线凸和凹分别表示曲线凸和凹.例例 2讨论曲线讨论曲线 y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点的凹凸区间与拐点.解解定义域为定义域为(,).因为因为,122xx
6、y .)1()1(2222xxy 令令 y =0 得得 x=-1，x=1.当当 x (,-1)时，时，y 0，此区间是凹区间；此区间是凹区间；当当 x (1,+)时，时，y 0，y|x=1 1=-6 0，所以所以 y(-1)=-2 为极小值为极小值，y(1)=2 为极大值为极大值；令令 y =0，得，得 x=0，因为因为 x 0，x 0 时，时，y 0，所以所以 x 0 时，曲线时，曲线 y=f(x)是凸的，是凸的，且且(0,0)为拐点为拐点.将上述讨论列为下表：将上述讨论列为下表：xy(x)y(x)(,1)+0+1(1,0)0+0(0,1)+10(1,+)y极小值极小值f(-1)=-2拐点拐
7、点(0,0)极大值极大值f(1)=2凹而减凹而减凹而增凹而增凸而增凸而增凸而减凸而减曲线曲线 y=3x x3 无水平渐近线和垂直渐近线无水平渐近线和垂直渐近线.综合上述结论，综合上述结论，即可描出所给函数的图形即可描出所给函数的图形.yxO1-1y=3x x333 令令 y=0，可知曲线可知曲线 y=3x x3 与与 x 轴交在轴交在.3处处 x例例 5描绘函数描绘函数 的图形的图形.)1ln(2 xy解解该该函数的定义域为函数的定义域为(-(-,-1)(1,)且为偶函数，即图形对称于且为偶函数，即图形对称于 y 轴轴.求该函数的一阶导数和二阶导数，得求该函数的一阶导数和二阶导数，得和和122
8、 xxy.)1()1(2222 xxy 不难发现，该函数在定义域内无驻点，也不难发现，该函数在定义域内无驻点，也没有极值点没有极值点.凹凹凸凸区区间间和和拐拐点点的的增增、减减区区间间和和极极值值，函函数数正正负负情情况况的的讨讨论论，确确定定和和通通过过对对yy 将上述结果归结下表：将上述结果归结下表：xy y y-1,1,1 ,1+凸而减凸而减凹而减凹而减无意义无意义,)1ln(lim21 xx因为因为,)1ln(lim21 xx,)1ln(lim2 xx所以无水平渐近线，垂直渐近线为所以无水平渐近线，垂直渐近线为x=1和和 x=-1.本题也可以利用图形关于本题也可以利用图形关于y 轴对称
9、轴对称,仅在仅在(1,)上讨论，然后描出上讨论，然后描出(-,-1-1)上的图形上的图形.yxO 1-1y=ln(x2 1)22.2,02处处轴轴交交于于因因此此该该图图形形与与时时，当当 xxyx根据以上信息，即可描出该函数的图形根据以上信息，即可描出该函数的图形.例例 6描绘函数描绘函数 的图形的图形.2exy 解解该该函数的定义域为函数的定义域为(-(-,).该该函数为偶函数，函数为偶函数，因此因此,只要作出它在只要作出它在 (0,)内的图形，内的图形，即可根据其对称性得到它的全部图形即可根据其对称性得到它的全部图形求其一、二阶导数，得求其一、二阶导数，得和和2e2xxy ，)12(e222 xyx令令 y =0.令令 y =0，得驻点得驻点 x=0，.22 x得得当当 x 时时 y 0，所以所以 y=0 为该函数图形为该函数图形的水平渐近线的水平渐近线.讨论讨论 y，y 的正负情况，的正负情况，确定函数确定函数 的增减区间和极值，的增减区间和极值，2exy 凹凸区间和拐点，凹凸区间和拐点，将上述结将上述结果归结下表：果归结下表：xy y 0y极大值极大值f(0)=1 10+22,0 022 ,22 凸而减凸而减凹而减凹而减 21e,22拐拐点点根据以上讨论，即可描绘所给函数的图形根据以上讨论，即可描绘所给函数的图形.2exy yOx
