1、配合数学（下）使用微分方程、级数、空间解析几何、多元微分学和多元积分学20112011级高数（下）复习重点级高数（下）复习重点第第7章章 微分方程微分方程1.熟练掌握一阶微分方程的解法熟练掌握一阶微分方程的解法2.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程特解的结构掌握二阶常系数非齐次线性微分方程特解的结构0)3()23()1(222 dyexydxxexyy解：解：(1)xQxeyPy 2所以方程为全微分方程，于是有：所以方程为全微分方程，于是有：xyyCdyexydxxx00222)3()23(即即Cxexy
2、xxy 22323所以方程通解为：所以方程通解为：Cexyxy 2332.已知连续函数已知连续函数 f(x)满足满足,)3()(302 xxedttfxf求求 f(x)解：解：对所给方程两边求导，得对所给方程两边求导，得xxexfxfexfxf222)(3)(2)(3)(为一阶线性方程，其通解为：为一阶线性方程，其通解为：)2()(323Cdxeeexfxdxxxdx xxxxeCeCdxee2332)2(由所给方程可得由所给方程可得,31)0(Cf所以所以.23)(23xxeexf 【例例3】求解求解.0254 yyyy【解解】特征方程特征方程.0)2()1(254223 rrrrr通解为：
3、通解为：.)(2321xxeCexCCy 【例例4】求解求解.022)4()5(yyyyyy【解解】特征方程特征方程.0)1)(1(122222345 rrrrrrr特征根为：特征根为：irr ,1（二重根），通解为（二重根），通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 第第8章章 级数级数 20%1.熟练掌握判别常见级数的敛散性熟练掌握判别常见级数的敛散性2.熟练掌握常见幂级数的收敛域及和函数的求法熟练掌握常见幂级数的收敛域及和函数的求法3.准确理解狄里克雷定理的内涵准确理解狄里克雷定理的内涵4.准确理解正项级数判别法的内涵准确理解正项级数判别法的内涵级数绝对收敛级数绝对
4、收敛级数条件收敛级数条件收敛1.判别级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？判别级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？1211sin)1(nnn,11sin1sin)1(2221nnnn 且且 121nn收敛，所以原级数绝对收敛收敛，所以原级数绝对收敛2.级数级数 1)cos1()1(nnna（常数（常数 ）0 a(A)发散发散(B)条件收敛条件收敛(C)绝对收敛绝对收敛(D)收敛性与收敛性与a有关有关解：解：由由22cos1)cos1()1(nananan 而而收收敛敛 122nna所以原级数绝对收敛所以原级数绝对收敛).()(.)1()(21121nnnnnnuuCuA
5、3.3.设级数设级数 1nnu收敛，则必收敛的级数为收敛，则必收敛的级数为 .)(.)(1112 nnnnnuuDuB解：解：因为收敛的级数加括号后仍然收敛因为收敛的级数加括号后仍然收敛.4.设有下列命题：设有下列命题：(1)若若 收敛，则收敛，则 收敛收敛.1212)(nnnuu 1nnu(2)若若 收敛，则收敛，则 收敛收敛.1nnu 11000nnu(3)若若 ，则，则 发散发散.1lim1 nnnuu 1nnu(4)若若 收敛，则收敛，则 ，都收敛都收敛.1)(nnnvu 1nnu 1nnv则以上命题中正确的是则以上命题中正确的是 (A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(
6、4).(D)(1)(4)解：解：(1)是错误的，如令是错误的，如令,)1(nnu 则则 收敛，而收敛，而 发散发散.1212)(nnnuu 1nnu(4)是错误的，如令是错误的，如令.1,1nvnunn 解：解：5.求级数求级数()nnn n221211的和的和.()()()nnnnnnnnn2222221121111故部分和为故部分和为21111()nSnex.求级数求级数()nnnn n23313311的和的和.解：解：收敛半径收敛半径R=3，且，且x=3时时,3)1()(111 nnnnnxxs,0)0(s显显然然两边积分得两边积分得)3ln(3)(0 xdttsx 22331)(xxx
7、s,33x )33(x)3ln(3)0()(xsxs 即即),3ln(3)(xxs ).3ln(33)1(111xnxnnnn )33(x6.求级数求级数 1113)1(nnnnnx的收敛域及和函数的收敛域及和函数.111113)3()1(nnnnnnn发散，发散，,3时时又又 x.1)1(11收收敛敛 nnn收敛域收敛域(3,3.ex.求级数求级数113()nnnxn的收敛域及和函数的收敛域及和函数.第第9章章 空间解析几何空间解析几何 15%1.二次曲面的特性及其作图：二次曲面的特性及其作图：,22yxz ,22yxz ,222ayx 2222Rzyx 2222)(RRzyx 2.常见的直
8、线和平面方程常见的直线和平面方程特殊位置的平面方程：与坐标轴平行；与坐标面平行特殊位置的平面方程：与坐标轴平行；与坐标面平行特殊位置的直线方程：与坐标轴平行，与坐标面垂直特殊位置的直线方程：与坐标轴平行，与坐标面垂直3.求下列曲面在指定点的切平面和法线方程：求下列曲面在指定点的切平面和法线方程：2211 2,(,)zxy2222111222,(,)xyzR4.求下列曲面与指定直线的位置关系：求下列曲面与指定直线的位置关系：3250 xy与与y轴轴223250 xy与与z轴轴第第10章章 多元微分学多元微分学 30%1.多元函数重点概念之间个关系多元函数重点概念之间个关系2.全微分的计算；全微分
9、的计算；3.会描绘多元复合函数符合关系图会描绘多元复合函数符合关系图4.一阶复合函数偏导数的计算一阶复合函数偏导数的计算5.极值、最值和条件极值极值、最值和条件极值;实际应用问题实际应用问题函数连续函数连续函数偏导存在函数偏导存在函数可微函数可微函数偏导连续函数偏导连续 ,),(yxuz dyyudxxudz P20),(,),(,),(yxvvyxuuvufz zvuyx),(,),(,),(yxvvyxuuvuxfz zvuxyxP251.求下列极限：求下列极限：0(,)(,)limhf ah bf ah bh0 011(,)(,)lim(sinsin)x yxyyx2.求偏导数：求偏导数
10、：lnzxzy1，求，求321sin()zxy（2，1）的方向导数的方向导数.220 0(,)(,)limx yxyxy220 0(,)(,)limx yxyxy2,zzxx y3.求方向导数：求方向导数：在在(1,-1)处指向处指向4.求下列函数的一阶偏导数：求下列函数的一阶偏导数：xzuv uvxyy2ln,320 011(,)(,)lim(sinsin)x yxyyx5.求求zxy22，在，在(1,1)处的梯度处的梯度gradient。3221Fisin()jkxyz在（在（1，1，1）处）处的的求求散度散度divergence。6.求求2245zxy在限制条件在限制条件2221xy时的
11、最大值时的最大值和最小值。和最小值。第第11章章 重积分重积分 20%1.熟练掌握二重积分的极坐标熟练掌握二重积分的极坐标2.会改变二重积分的积分次序会改变二重积分的积分次序3.熟练掌握用对称性计算重积分熟练掌握用对称性计算重积分4.熟练掌握三重积分柱坐标熟练掌握三重积分柱坐标 1.设设f(x)在在0,4上连续，且上连续，且D：x2+y24,则则 Ddxdyyxf)(22在极坐标系下先对在极坐标系下先对r积分的二次积分为积分的二次积分为_ .20220)(4rdrrfd 2.若区域若区域D为为(x1)2+y21,则二重积分则二重积分 的值为（的值为（）22(,)sinDf xyydxdy 计算
12、计算.)43sin2(2222 ayxdxdyyxxI积分区域关于积分区域关于 x,y 轴及原点对称，所以轴及原点对称，所以.0)3sin2(222 ayxdxdyyx 222222222)(212222ayxayxayxdxdyyxdxdyydxdyx又又.42140320adrrda .442222adxdyayx .4424aaI 故故解解由由 zzryrx sincos,zrzr34222,3,1 rz知交线为知交线为面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy.20,3043:22 rrzr，22432030rrzdzrdrdI .413 解解：采用柱面坐标采用柱面坐标 ,
13、:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx ,rz ,20,0,:arazr*6.计算二重积分计算二重积分 其中其中,122 dyxD .10,10),(yxyxD(05数二、三数二、三)解：解：如图如图,将将D分成分成D1与与D2两部分两部分.21)1()1(1222222DDDdyxdyxdyx 1020228)1()1(21 rdrrddyxD 1011222222)1()1(dyyxdxdyxxD 10113223dxyyyxx 1022)1(323223dxxx 102102)1(32)
14、32(23dxxdxxI3231 1004sin216322143cos)1(223 tdtdxxItx*7.求求,)(22 Ddyyx 422 yx1)1(22 yx和和其中其中D是由圆是由圆所围成的平面区域所围成的平面区域(如图如图).解解:令令 1)1(|),(,4|),(222221 yxyxDyxyxD由对称性由对称性.0 Dyd 21222222DDDdyxdyxdyx cos20223220220drrddrrd.)23(916932316 注注:对于二重积分，经常利用对称性对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为及将一个复杂区域划分为 两个或三个简单区域来简化计算两个
15、或三个简单区域来简化计算.(04数三数三)*8.设设f(x)为连续函数，为连续函数，,)()(1 ttydxxfdytF )2(F则则(A)2f(2).(B)f(2).(C)f(2).(D)0.(04数一数一)解：解：交换积分次序，得交换积分次序，得 ttydxxfdytF1)()(txtdxxxfdxdyxf111)1)()(,)1)()(ttftF从而有从而有.)2()2(fF 故应选故应选(B)*9.计算二重积分计算二重积分 242212sin2sinxxxdyyxdxdyyxdxI 解：解：22sin21yydxyxdyI 212cos2ydyy .)2(43 第第12章章 曲线积分与
16、曲面积分曲线积分与曲面积分 15%1.熟练掌握格林公式及其常规题型熟练掌握格林公式及其常规题型2.熟练掌握高斯公式及其常规题型熟练掌握高斯公式及其常规题型 1.计算计算 其中其中ABCD为：为：ABCDyxdydx,1 yx取逆时针方向。取逆时针方向。解：解：LDdxdydydx00 注注:(1)(1)第一步利用了边界方程化简被积函数；第一步利用了边界方程化简被积函数；(2)第二步用格林公式。第二步用格林公式。xoy11ABCD2.设曲线积分设曲线积分 Ldyxydxyx)(2 与路径无关，其中与路径无关，其中 具有连续导数，且具有连续导数，且(0)=0,计算计算.)()1,1()0,0(2
17、dyxydxyx 解：解：,)(,2xyxQxyyP Ldyxydxyx)(2 与路径无关，所以与路径无关，所以,)(2)(2Cxxxyxy 又又(0)=0，所以，所以 C=0，故，故 (x)=x2.)1,1()0,0(2)(dyxydxyx 10102.2110dyydx3.已知已知 21)()()(,21)0(pPxdyxfydxxfexff使使确定确定与路径无关，并求当与路径无关，并求当P1，P2分别为分别为(0,0),(1,1)时此积分的值时此积分的值.解：解：,)(),(,)(),(xfyxQyxfeyxPx 令令要曲线积分与路径无关，必须要曲线积分与路径无关，必须,xQyP .)(
18、)(xfxfex 即即由此得由此得 f(x)满足的微分方程：满足的微分方程：.)()(xexfxf 解得解得.21)(xxdxxdxceecdxeeexf xexfcf21)(,021)0(由由 )1,1()0,0(21)21(dyeydxeexxx 1010.21210eedydx4.计算曲面积分计算曲面积分 dxdyzyzdzdxzdydzxI22其中其中 是由曲面是由曲面22222yxzyxz 与与所围立体所围立体 表面外侧表面外侧.解解:dxdydzzRyQxPI )(dxdydzzzz )22(dxdydzz 2024020cossindrrrdd 20340cossin2drrd .2 5.计算曲面积分计算曲面积分22ddLx yy xxy 其中其中L是圆周是圆周221xy按逆时针转一周按逆时针转一周 6.计算曲面积分计算曲面积分d dd dSx z yy z x 其中其中S是曲面是曲面2221xyz外侧外侧7.计算曲线积分计算曲线积分2223(2)d(2)dLxxyxx yyy其中其中L是沿曲线是沿曲线sinxye从从（0，1）到）到,2e
