1、第八章算法、复数、推理与证明第一节算法与程序框图、基本算法语句(全国卷5年11考)【知识梳理知识梳理】1.1.算法算法算法通常是指算法通常是指按照一定按照一定_解决某一类问题的解决某一类问题的_这些步骤必须是这些步骤必须是_和和_的的,而且能够在有限步之内完成而且能够在有限步之内完成.规则规则明确和有限的步骤明确和有限的步骤.明确明确有效有效2.2.程序框图程序框图程序框图又称程序框图又称_,_,是一种用是一种用_、_及及_来表示算法的图形来表示算法的图形.通常通常,程序框图由程序程序框图由程序框和流程线组成框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算法中一个或几个程序框的组合表示算法中的一个
2、步骤的一个步骤;_;_带有方向箭头带有方向箭头,按照算法进行的顺按照算法进行的顺序将序将_连接起来连接起来.流程图流程图程序框程序框流程线流程线文字说明文字说明流程线流程线程序框程序框3.3.三种基本逻辑结构三种基本逻辑结构【常用结论常用结论】1.1.赋值号赋值号“=”=”的左、右两边不能对调的左、右两边不能对调,A=B,A=B和和B=AB=A的含的含义及运行结果是不同的义及运行结果是不同的.2.2.解决程序框图问题要注意的几个常用变量解决程序框图问题要注意的几个常用变量(1)(1)计数变量计数变量:用来记录某个事件发生的次数用来记录某个事件发生的次数,如如i=i+1.i=i+1.(2)(2)
3、累加变量累加变量:用来计算数据之和用来计算数据之和,如如S=S+i.S=S+i.(3)(3)累乘变量累乘变量:用来计算数据之积用来计算数据之积,如如p=pp=pi.i.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”错误的打错误的打“”)”)(1)(1)一个程序框图一定包含顺序结构一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条但不一定包含条件结构和循环结构件结构和循环结构.()(2)(2)算法可以无限操作下去算法可以无限操作下去.()(3)(3)条件结构的出口有两个条件结构的出口有两个,但在执行时但在执行时,只有一个出口只有一个出口是有效的是有
4、效的.()(4)(4)是赋值框是赋值框,有计算功能有计算功能.()提示提示:(1).(1).因为一个程序框图是按照一定的顺序执行因为一个程序框图是按照一定的顺序执行,所以它离不开顺序结构所以它离不开顺序结构,而有些问题可能不需要条件结而有些问题可能不需要条件结构与循环结构就可以完成构与循环结构就可以完成,所以此命题正确所以此命题正确.(2)(2).由算法的定义可知由算法的定义可知,算法必须在有限步内完成算法必须在有限步内完成,所以此命题错误所以此命题错误.(3).(3).因为条件结构中满足条件是一个出口因为条件结构中满足条件是一个出口,不满足条不满足条件是另一个出口件是另一个出口,所以条件结构
5、的出口有两个所以条件结构的出口有两个,但在执但在执行时行时,只有一个出口是有效的只有一个出口是有效的,是正确的是正确的,所以此命题正所以此命题正确确.(4)(4).是输入、输出框是输入、输出框,不是赋值框不是赋值框.所以此命所以此命题错误题错误.2.2.阅读如图所示的程序框图阅读如图所示的程序框图,运行相应的运行相应的程序程序,输出的输出的S S值等于值等于()A.18A.18B.20B.20C.21C.21D.40D.40【解析解析】选选B.B.由程序框图知由程序框图知,算法的功能是求满足算法的功能是求满足S15S15的最小的最小S,S,其中其中S=2S=21 1+2+22 2+2+2n n
6、+1+2+1+2+n,+n,因为因为S=2S=21 1+2+22 2+1+2=2+4+1+2=915,+1+2=2+4+1+2=915,S=2S=21 1+2+22 2+2+23 3+1+2+3=2+4+8+1+2+3+1+2+3=2+4+8+1+2+3=2015.=2015.所以输出所以输出S=20.S=20.题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修3P13 3P13 例例6 6 改编改编)要计算要计算1+1+的结果的结果,下面程序框图中的判断框内可以填下面程序框图中的判断框内可以填()111232 018 A.n2 018?A.n2 018?C.n2 018?D.n2 018?D
7、.n2 018?【解析解析】选选B.B.题中所给的程序框图中的循环结构为当题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环型循环,累加变量初始值为累加变量初始值为0,0,计数变量初始值为计数变量初始值为1,1,要求要求S=0+1+S=0+1+的值的值,判断框中应为判断框中应为n2 018?.n2 018?.111232 018 2.(2.(必修必修3P50T13P50T1改编改编)如图为某一函数的求值程序框图如图为某一函数的求值程序框图,根据框图根据框图,如果输出如果输出y y的值为的值为3,3,那么应输入那么应输入x=(x=()A.1 A.1 B.2B.2C.3 C.3 D.6D.6【解析解析】选选
8、B.B.该程序的作用是计算分段函数该程序的作用是计算分段函数y=y=的函数值的函数值,由题意由题意,若若x6,x6,则当则当y=3y=3时时,x-3=3,x-3=3,解得解得x=6,x=6,舍去舍去;若若x2,x2,则当则当y=3y=3时时,5-x=3,5-x=3,解得解得x=2,x=2,故输入的故输入的x x值为值为2.2.x3x6 6 2x65xx2，考点一顺序结构与条件结构考点一顺序结构与条件结构【题组练透题组练透】1.1.如图是给出一个算法的程序框图如图是给出一个算法的程序框图,该程序框图的功能该程序框图的功能是是()A.A.输出输出a,b,ca,b,c三数的最小数三数的最小数B.B.
9、输出输出a,b,ca,b,c三数的最大数三数的最大数C.C.将将a,b,ca,b,c按从小到大排列按从小到大排列D.D.将将a,b,ca,b,c按从大到小排列按从大到小排列【解析解析】选选A.A.按照程序框图的流程按照程序框图的流程,依次进行下去依次进行下去,根根据输出的结果可知据输出的结果可知,该程序框图是输出三个数的最小值该程序框图是输出三个数的最小值.2.2.已知已知xx表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数,比如比如:0.4=0,:0.4=0,-0.6=-1.-0.6=-1.执行如图所示的程序框图执行如图所示的程序框图,若输入若输入x x的值的值为为2.4,2.4,则输出则输出
10、z z的值为的值为()A.1.2A.1.2B.0.6B.0.6C.0.4C.0.4D.-0.4D.-0.4【解析解析】选选D.D.输入输入x=2.4,x=2.4,则则y=2.4,x=2.4-1=10,y=2.4,x=2.4-1=10,所以所以x=1.2;y=1.2,x=1.2-1=0,x=1.2;y=1.2,x=1.2-1=0,所以所以x=0.6;y=0.6,x=0.6-1=-10,x=0.6;y=0.6,x=0.6-1=-13?A.x3?B.x4?B.x4?C.x4?C.x4?D.x5?D.x5?【解析解析】选选B.B.当当x=4x=4时时,若执行若执行“是是”,则则y=4+2=6,y=4+
11、2=6,与题与题意矛盾意矛盾;若执行若执行“否否”,则则y=logy=log2 24=2,4=2,满足题意满足题意,故应执故应执行行“否否”,故判断框中的条件可能为故判断框中的条件可能为x4?.x4?.5.5.如图是一个程序框图如图是一个程序框图.若输入若输入x x的值为的值为 ,则输出则输出y y的的值是值是_._.116【解析解析】由程序框图可知其功能是计算分段函数由程序框图可知其功能是计算分段函数y=y=的函数值的函数值,所以当输入的所以当输入的x x的值为的值为 时时,y=2+log,y=2+log2 2 =2-4=-2.=2-4=-2.答案答案:-2-2116x22x12log x
12、0 x1，1166.6.根据如图所示的程序框图根据如图所示的程序框图,对大于对大于2 2的整数的整数n,n,输出的输出的数列的通项公式是数列的通项公式是_._.【解析解析】由程序框图知由程序框图知,a,a1 1=2,a=2,ai+1i+1=2a=2ai i,故故aan n 是等比数是等比数列列,且首项为且首项为2,2,公比为公比为2,2,可知可知a an n=2=2n n.答案答案:a an n=2=2n n【规律方法规律方法】应用顺序结构与条件结构的注意点应用顺序结构与条件结构的注意点(1)(1)顺序结构顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构顺序结构是最简单的算法结构,语句与语语句与语句之间、
13、框与框之间是按从上到下的顺序进行的句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.(2)(2)条件结构条件结构:利用条件结构解决算法问题时利用条件结构解决算法问题时,重点是判重点是判断框断框,判断框内的条件不同判断框内的条件不同,对应的下一程序框中的内对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的故要重点分析判断框内的条件是否满足条件是否满足.考点二与循环结构有关的问题考点二与循环结构有关的问题【明考点明考点知考法知考法】因为循环结构是一类重要的结构因为循环结构是一类重要的结构,程序框图一般都程序框图一般都含有循环结构含有循环结构,因此高考常常以循环
14、结构为载体因此高考常常以循环结构为载体,考查考查程序框图程序框图,一般为选择题或填空题一般为选择题或填空题,考查三种结构考查三种结构,一般一般要求学生直接得出结果要求学生直接得出结果,有时补全框图有时补全框图,有时逆向求解有时逆向求解.解题过程中常常渗透数学运算的核心素养解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.命题角度命题角度1 1由框图直接得出结果由框图直接得出结果【典例典例】(2019(2019烟台模拟烟台模拟)执行如图所示的程序框图执行如图所示的程序框图,输出的输出的n n值为值为 ()A.6A.6B.7B.7C.8C.8D.12D.12【解析解析】选选C.S=0,n=1,S?C.S=0,
15、n=1,S?否否S=0+,n=1+1=2,S?S=0+,n=1+1=2,S?否否S=0+,n=2+1=3,S?S=0+,n=2+1=3,S?否否1 0092 0201 0092 02011()31211()()331 0092 020123mmm1111()()()()3333111()111 009331()1232 02013由，得 ,即即3 3m m1 010,m7,1 010,m7,由此可知由此可知S=0+S=0+n=7+1=8,S?n=7+1=8,S?是是,输出输出n=8.n=8.m1131 01012371111()()()()3333，1 0092 020【答题模板微课答题模板微
16、课】本例的求解过程可模板化为本例的求解过程可模板化为:建模板建模板:“S=0,n=1,S?:“S=0,n=1,S?否否S=0+,n=1+1=2,S?S=0+,n=1+1=2,S?否否S=0+,n=2+1=3,S?S=0+,n=2+1=3,S?否否”试运行试运行1 0092 0201 0092 02011()31211()()331 0092 020 ,即即3 3m m1 010,m7,”1 010,m7,”抓本质抓本质123mmm1111()()()()3333111()111 009331()1232 02013由，得m1131 010“由此可知由此可知S=0+S=0+n=7+1=8,S?n
17、=7+1=8,S?是是,输出输出n=8.”n=8.”看结果看结果12371111()()()()3333，1 0092 020套模板套模板:执行如图所示的程序执行如图所示的程序框图框图,则输出的结果是则输出的结果是()19202122A.B.C.D.20212223【解析解析】选选C.C.“S=0,n=1,S=0+,n20S=0,n=1,S=0+,n20是是,n=1+1=2,S=,n20n=1+1=2,S=,n20是是,n=2+1=3,n=2+1=3,S=n20S=n20是是,”试运行试运行11 2111 22 3111,1 22 33 4“该程序框图的作用是求该程序框图的作用是求 的值的值”
18、抓本质抓本质“n=2020n=2020是是,n=20+1=21,n=20+1=21,S=S=n=2120n=2120否否,输出输出S=S=”看结果看结果11111 22 33 421 2211111 22 33 421 22111111121(1)()()()22334212222，2122【状元笔记状元笔记】程序框图求输出问题程序框图求输出问题由程序框图求解问题由程序框图求解问题,首先要明确输出的是什么量首先要明确输出的是什么量,然然后再依据框图结构后再依据框图结构,一步一步求解一步一步求解,即可得出结论即可得出结论.命题角度命题角度2 2完善程序框图完善程序框图【典例典例】(2018(20
19、18全国卷全国卷)为计算为计算S=1-S=1-设计了如图的程序框图设计了如图的程序框图,则在空白框中应填则在空白框中应填入入 ()1111234991100，A.i=i+1A.i=i+1 B.i=i+2 B.i=i+2 C.i=i+3 C.i=i+3 D.i=i+4D.i=i+4【解析解析】选选B.B.由题意由题意N=1+N=1+T=,T=,相邻两项分母相差相邻两项分母相差2.2.1113599，11124100【状元笔记状元笔记】程序框图中填空白问题程序框图中填空白问题在解决完善程序框图的题目中在解决完善程序框图的题目中,一定要先阅读程序框图一定要先阅读程序框图,读懂该框图是解决什么问题读懂
20、该框图是解决什么问题,计数变量是如何计数的计数变量是如何计数的,输出的是哪个量输出的是哪个量.命题角度命题角度3 3逆向思维求解逆向思维求解【典例典例】(2017(2017全国卷全国卷)执行如图所示的程序框图执行如图所示的程序框图,为使输出为使输出S S的值小于的值小于91,91,则输入的正整数则输入的正整数N N的最小值为的最小值为 ()A.5A.5B.4B.4C.3C.3D.2D.2【解析解析】选选D.D.若若N=2,N=2,第一次进入循环第一次进入循环,12,12成立成立,S=100,S=100,M=-=-10,M=-=-10,i=22,i=22,成立成立,第二次进入循环第二次进入循环,
21、此时此时S=100-10=90,S=100-10=90,M=-=1,M=-=1,i=32i=32不成立不成立,所以输出所以输出S=9091,S=9091,成立成立,所以输入的所以输入的正整数正整数N N的最小值是的最小值是2.2.100101010【状元笔记状元笔记】确定循环变量的思路确定循环变量的思路结合初始条件和输出结果结合初始条件和输出结果,分析循环体分析循环体,根据条件或累根据条件或累加、累乘的变量表达式判断加、累乘的变量表达式判断.【对点练对点练找规律找规律】1.(20161.(2016全国卷全国卷)中国古代有计算多项式值的秦九中国古代有计算多项式值的秦九韶算法韶算法,如图是实现该算
22、法的程序框图如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框执行该程序框图图,若输入的若输入的x=2,n=2,x=2,n=2,依次输入的依次输入的a a为为2,2,5,2,2,5,则输出的则输出的s=s=()A.7A.7B.12B.12C.17C.17D.34D.34【解析解析】选选C.C.第一次运算第一次运算:s=0:s=02+2=2,k=1;2+2=2,k=1;第二次运算第二次运算:s=2:s=22+2=6,k=2;2+2=6,k=2;第三次运算第三次运算:s=6:s=62+5=17,k=3,2+5=17,k=3,结束循环结束循环.2.2.如果执行如图所示的程序框图如果执行如图所示的程序框图,输出
23、的输出的S=110,S=110,则判断则判断框内应填入的条件是框内应填入的条件是()A.k10?A.k11?D.k11?【解析解析】选选C.C.由程序框图可知该程序是计算由程序框图可知该程序是计算S=2+4+S=2+4+2k=k(k+1),+2k=k(k+1),由由S=k(k+1)=110S=k(k+1)=110得得k=10,k=10,则当则当k=10k=10时时,k=k+1=10+1=11,k=k+1=10+1=11不满足条件不满足条件,所以条件所以条件为为k10?.k10?.k22k2（）3.3.已知实数已知实数x0,8,x0,8,执行如图所示的程序框图执行如图所示的程序框图,则输则输出的
24、出的x x不小于不小于5555的概率为的概率为()1131ABC.D4243【解析解析】选选A.A.由题意由题意,得得2 222(2x+1)+1+155,(2x+1)+1+155,解得解得x6,x6,所以输出的所以输出的x x不小于不小于5555的概率为的概率为 861.84思想方法系列思想方法系列1515程序框图中的分类讨论思想程序框图中的分类讨论思想【思想诠释思想诠释】每个数学结论都有其成立的条件每个数学结论都有其成立的条件,每一种每一种数学方法的使用也往往有其适用范围数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的在我们所遇到的数学问题中数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的有些问题的
25、结论不是唯一确定的,有些问有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些还有些问题的已知量是用字母的形式给出的问题的已知量是用字母的形式给出的,这样字母的取值这样字母的取值不同也会影响问题的解决不同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知由上述几类问题可知,就其就其解题方法及转化手段而言都是一致的解题方法及转化手段而言都是一致的,即把所有研究的即把所有研究的问题根据题目的特点和要求问题根据题目的特点和要求,分成若干类分成若干类,转化成若干转化成若干个小问题来解决个小问题来解决,这种按不同情况分类这种按不同情况分类,然后再逐一研然后再逐一研究解决的数
26、学思想究解决的数学思想,称之为分类讨论思想称之为分类讨论思想.分类讨论的原则分类讨论的原则(1)(1)每级分类按同一标准进行每级分类按同一标准进行.(2)(2)分类要逐级进行分类要逐级进行.(3)(3)同级互斥、不得越级同级互斥、不得越级.【典例典例】执行如图所示的程序框图执行如图所示的程序框图,若要使输入若要使输入x x的值的值与输出与输出y y的值相等的值相等,则满足条件的则满足条件的x x的个数为的个数为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知,该程序框图的功能是计算并输该程序框图的功能是计算并输出分段函数出分段函数y=y=的值的值,若
27、输入若输入x x的值与的值与输出输出y y的值相等的值相等,则当则当x2x2时时,x=x,x=x2 2,解得解得x=0 x=0或或x=1,x=1,当当2x525x5时时,x=,x=,解得解得x=x=1(1(舍去舍去),),故满足条件的故满足条件的x x的个数为的个数为3.3.2xx22x4 2x5 1x5x，1x【技法点拨技法点拨】分类讨论的步骤分类讨论的步骤(1)(1)明确分类对象明确分类对象,确定分类标准确定分类标准.(2)(2)逐类分类逐类分类,分级得到阶段性结果分级得到阶段性结果.(3)(3)用该级标准进行检验筛选结果用该级标准进行检验筛选结果.(4)(4)归纳得出结论归纳得出结论.【
28、即时训练即时训练】阅读如图所示的程序框图阅读如图所示的程序框图,如果输出如果输出i=1 008,i=1 008,那么空白的判断框中应填入那么空白的判断框中应填入的条件是的条件是()A.S2 014?A.S2 014?B.S2 015?B.S2 015?C.S2 016?C.S2 016?D.S2 017?D.S2 017?【解析解析】选选D.D.运行程序运行程序:i=2,i:i=2,i是奇数不成立是奇数不成立,S=2,S=22+1=5;2+1=5;i=3,ii=3,i是奇数成立是奇数成立,S=2,S=23+2=8;3+2=8;i=4,ii=4,i是奇数不成立是奇数不成立,S=2,S=24+1=
29、9;4+1=9;所以当所以当i=1 008i=1 008时时,i,i是奇数不成立是奇数不成立,S=2,S=21 008+1=2 017.1 008+1=2 017.所以若输出所以若输出i=1 008,i=1 008,则空白的判断框中应填入的条件是则空白的判断框中应填入的条件是S2 017?S2 017?第二节复数(全国卷5年13考)【知识梳理知识梳理】1.1.复数的有关概念复数的有关概念(1)(1)定义定义:形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数,其中其中a a叫叫做复数做复数z z的的_,b_,b叫做复数叫做复数z z的的_(i_(i为虚数单位为虚数单位).
30、).实部实部虚部虚部(2)(2)复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)的分类的分类:(3)(3)复数相等复数相等:a+bi=c+di:a+bi=c+di_(a,b,c,dR)._(a,b,c,dR).(4)(4)共轭复数共轭复数:a+bi:a+bi与与c+dic+di共轭共轭_(a,b,c,dR).(a,b,c,dR).(5)(5)模模:若复数若复数z z在复平面内对应的向量为在复平面内对应的向量为 ,则向量则向量 的模叫做复数的模叫做复数z=a+biz=a+bi的模的模,记作记作_或或_,_,即即|z|=|a+bi|=(a,bR).|z|=|a+bi|=(a,bR).a=c
31、a=c且且b=db=da=c,b=-da=c,b=-dOZuurOZuur|a+bi|a+bi|z|z|22ab2.2.复数的几何意义复数的几何意义3.3.复数的四则运算复数的四则运算设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,a,b,c,dR.=c+di,a,b,c,dR.【常用结论常用结论】(1)(1(1)(1i)i)2 2=2i;=i;=-i.2i;=i;=-i.(2)i(2)i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-i,nN=-i,nN*.(3)i(3)i4n4n+i+i4n+14n+1+i+i4
32、n+24n+2+i+i4n+34n+3=0,nN=0,nN*.(4)|z|(4)|z|2 2=|=|2 2=z =|z=z =|z2 2|=|.|=|.1i1i1i1izz2z【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)方程方程x x2 2-x+1=0-x+1=0没有解没有解.()(2)(2)复数复数z=3-2iz=3-2i中中,虚部为虚部为-2i.-2i.()(3)(3)复数中有相等复数的概念复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较因此复数可以比较大小大小.()(4)(4)若若aC,aC,则则|a
33、|a|2 2=a=a2 2.()提示提示:(1)(1).方程方程x x2 2-x+1=0-x+1=0有复数解有复数解.(2)(2).复数复数z=3-2iz=3-2i中中,虚部为虚部为-2.-2.(3)(3).虚数不能比较大小虚数不能比较大小.(4)(4).若若aC,aC,则则|a|a|2 2是实数是实数,但但a a2 2未必是实数未必是实数,所以所以|a|a|2 2与与a a2 2不一定相等不一定相等.2.2.复数复数 的共轭复数是的共轭复数是()A.2-iA.2-iB.2+iB.2+iC.3-4iC.3-4iD.3+4iD.3+4i25()2i【解析解析】选选C.C.因为因为 =(2+i)=
34、(2+i)2 2=3+4i,=3+4i,所以复数所以复数 的共轭复数是的共轭复数是3-4i.3-4i.5 2i52i2i5，25()2i25()2i3.i3.i为虚数单位为虚数单位,若复数若复数(1+mi)(i+2)(1+mi)(i+2)是纯虚数是纯虚数,则实数则实数m m等于等于_._.【解析解析】因为因为(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i是纯虚数是纯虚数,所所以以2-m=0,2-m=0,且且1+2m0,1+2m0,解得解得m=2.m=2.答案答案:2 2题组二题组二:走进教材走进教材1.(20181.(2018全国卷全国卷)(1+i
35、)(2-i)=)(1+i)(2-i)=()(源于选修源于选修2-2P1102-2P110例例3)3)A.-3-iA.-3-iB.-3+iB.-3+iC.3-iC.3-iD.3+iD.3+i【解析解析】选选D.(1+i)(2-i)=2-iD.(1+i)(2-i)=2-i2 2-i+2i=3+i.-i+2i=3+i.2.(2.(选修选修2-2P106A2-2P106A组组T5T5改编改编 )复数复数z=(x+1)+(x-2)i z=(x+1)+(x-2)i(xR)(xR)在复平面内所对应的点在第四象限在复平面内所对应的点在第四象限,则则x x的取值的取值范围为范围为_._.【解析解析】由题意可得由
36、题意可得 所以所以-1x2.-1xaf(b)+bf(a),+bf(b)af(b)+bf(a),试证明试证明:f(x):f(x)为为R R上的单调递增函上的单调递增函数数.【证明证明】设设x x1 1,x,x2 2R,R,取取x x1 1xx)x1 1f(xf(x2 2)+x)+x2 2f(xf(x1 1),),所以所以x x1 1f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)+x)+x2 2f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0,)0,f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)(x)(x2 2-x-x1 1)0,)0,因为因为x x1 1x0,f(x)0,f(x2 2)f(x)f
37、(x1 1).).所以所以y=f(x)y=f(x)为为R R上的单调递增函数上的单调递增函数.【变式备选变式备选】设各项均为正数的数列设各项均为正数的数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,满足满足4S4Sn n=-4n-1,nN=-4n-1,nN*,且且a a2 2,a,a5 5,a,a1414构成等比数构成等比数列列.(1)(1)证明证明:a:a2 2=(2)(2)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(3)(3)证明证明:对一切正整数对一切正整数n,n,有有 2n1a14a5.1223nn11111.a aa aa a2【解析解析】(1)(1)当当n=1n=1时时
38、,4a,4a1 1=-5,=4a=-5,=4a1 1+5,+5,又因为又因为a an n0,0,所以所以a a2 2=14a5.22a22a(2)(2)当当n2n2时时,4S,4Sn-1n-1=-4(n-1)-1,=-4(n-1)-1,所以所以4S4Sn n-4S-4Sn-1n-1=4a=4an n=-4,=-4,即即 =+4a=+4an n+4=(a+4=(an n+2)+2)2 2,又因为又因为a an n0,0,所以所以a an+1n+1=a=an n+2,+2,所以当所以当n2n2时时,a,an n 是公差为是公差为2 2的等差数列的等差数列.又因为又因为a a2 2,a,a5 5,a
39、,a1414成等比数列成等比数列,2na2n 1a2na2n 1a2na所以所以 =a=a2 2a a1414,即即(a(a2 2+6)+6)2 2=a=a2 2(a(a2 2+24),+24),解得解得a a2 2=3.=3.结合结合(1)(1)知知a a1 1=1,=1,又因为又因为a a2 2-a-a1 1=3-1=2,=3-1=2,所以数列所以数列aan n 是首项是首项a a1 1=1,=1,公差公差d=2d=2的等差数列的等差数列.所以所以a an n=2n-1.=2n-1.25a 1223nn11113 a aa aa a11111 33 55 72n1(2n 1)111111(
40、1)23352n12n 1111(1).22n 12 )()(考点三归纳推理考点三归纳推理【明考点明考点知考法知考法】归纳推理是每年高考的常考内容归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题题型多为选择题或填空题或填空题,难度稍大难度稍大,属中高档题属中高档题.高考常考与数字高考常考与数字(数数列列)有关的等式的推理有关的等式的推理,与不等式与不等式(式子式子)有关的推理有关的推理,与与图形变化有关的推理等问题图形变化有关的推理等问题.命题角度命题角度1 1与数字有关的等式的归纳推理与数字有关的等式的归纳推理【典例典例】由一个奇数组成的数阵排列如下由一个奇数组成的数阵排列如下:1 13 37
41、7131321215 59 915152323111117172525191927272929则第则第3030行从左到右第行从左到右第3 3个数是个数是_._.【解析解析】观察每一行的第一个数观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第由归纳推理可得第3030行的第行的第1 1个数是个数是1+4+6+8+10+1+4+6+8+10+60=-1=929.+60=-1=929.又第又第n n行从左到右的第行从左到右的第2 2个数比第个数比第1 1个数大个数大2n,2n,第第3 3个数比个数比第第2 2个数大个数大2n+2,2n+2,所以第所以第3030行从左到右的第行从左到右的第2 2个数比第个数比第1
42、 1个数大个数大60,60,第第3 3个数比第个数比第2 2个数大个数大62,62,故第故第3030行从左到右行从左到右第第3 3个数是个数是929+60+62=1 051.929+60+62=1 051.答案答案:1 0511 051302602（）【状元笔记状元笔记】数字排列问题的解题方法数字排列问题的解题方法:先从行的规律归纳开头与末先从行的规律归纳开头与末尾的数与所在行的关系式尾的数与所在行的关系式,再从列的规律归纳数与所在再从列的规律归纳数与所在行的关系式行的关系式,最后归纳表中各个数与行列的关系式最后归纳表中各个数与行列的关系式命题角度命题角度2 2与式子有关的归纳推理与式子有关的
43、归纳推理【典例典例】(2016(2016山东高考山东高考)观察下列等式观察下列等式:22222224(sin)sin)1 23332344(sin)sin)sin)sin)2 355553 (；(；222222222364(sin)sin)sin)sin)3 4 777732384(sin)sin)sin)sin)4 599993 (；(；照此规律照此规律,=_.=_.2222232n(sin)sin)sin)sin)2n12n12n12n1(【解析解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和整数因数的和.因此答案为因此答案为 n(n+1).n(n+1
44、).答案答案:n(n+1)n(n+1)4343【状元笔记状元笔记】与式子有关的推理与式子有关的推理(1)(1)与不等式有关的归纳推理与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两观察所给几个不等式两边式子的特点边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律注意纵向看、找出隐含规律.(2)(2)与数列有关的归纳推理与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特殊项通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系找出数列的项与项数的关系,列出列出式子即可式子即可.命题角度命题角度3 3与图形变化有关的归纳推理与图形变化有关的归纳推理【典例典例】我国的刺绣有着悠久的历史我国的刺绣有
45、着悠久的历史,如图所示的如图所示的(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是这些图案都是由小正方形构成由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按现按同样的规律刺绣同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同小正方形的摆放规律相同),),设第设第n n个个图形包含图形包含f(n)f(n)个小正方形个小正方形,则则f(n)f(n)的表达式为的表达式为()A.f(n)=2n-1A.f(n)=2n-1B.f(n)=2nB.f(n)=2n2 2C.f(n)=2nC.f(n)=2n2 2-2n-2nD.f(n)=2n
46、D.f(n)=2n2 2-2n+1-2n+1【解析解析】选选D.D.我们考虑我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,f(4)-f(3)=12,结合图形不难得到结合图形不难得到f(n)-f(n-1)f(n)-f(n-1)=4(n-1),=4(n-1),累加得累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2nf(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2 2-2n,-2n,故故f(n)=2nf(n)=2n2 2-2n+1.-2n+1.【状元笔记状元笔记】图形问题的解法图形问题的解法:与图形变化有关的归纳推理与图形变化
47、有关的归纳推理,合理利合理利用特殊图形归纳推理得出结论用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其并用赋值检验法验证其真伪性真伪性.【对点练对点练找规律找规律】1.(20181.(2018晋江模拟晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法详解九章算法(1261(1261年年)一书中一书中,用如图用如图1 1所示的三所示的三角形角形,解释二项和的乘方规律解释二项和的乘方规律.在欧洲直到在欧洲直到16231623年以后年以后,法国数学家布莱士法国数学家布莱士帕斯卡的著作帕斯卡的著作(1655(1655年年)介绍了这介绍了这个三角形个三角形.近年来国外也逐渐承认这
48、项成果属于中国近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是所以有些书上称这是“中国三角形中国三角形”(Chinese(Chinese triangle),17triangle),17世纪德国数学家莱布尼茨发现了世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布莱布尼茨三角形尼茨三角形”,如图如图2.2.在杨辉三角中相邻两行满足关系在杨辉三角中相邻两行满足关系式式:,:,其中其中n n是行数是行数,rN.,rN.类比上式类比上式,在莱在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是_._.rr1r1nnn1CCC【解析解析】类比观察得类比观察得,莱布尼茨三角形的每一行都能
49、莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数提出倍数 而相邻两项之和是上一行的两者相拱而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数之数,所以类比式子所以类比式子 有有 答案答案:1n11C，rr1r1nnn1CCC,1r1r1r1n1nn2n1n2n1111.CCCCCC1r1r1r1n1nn2n1n2n1111CCCCCC2.2.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数形数,如三角形数如三角形数1,3,6,10,1,3,6,10,第第n n个三角形数为个三角形数为 记第记第n n个个k k边形数为边形数为N(n,k)(k3),N(n,k)(k3),以下列出了部分
50、以下列出了部分k k边形数中第边形数中第n n个数的表达式个数的表达式:三角形数三角形数N(n,3)=nN(n,3)=n2 2+n,+n,正方形数正方形数N(n,4)=nN(n,4)=n2 2,2nn 111nn222（），1212五边形数五边形数N(n,5)=nN(n,5)=n2 2-n,-n,六边形数六边形数N(n,6)=2nN(n,6)=2n2 2-n,-n,可以推测可以推测N(n,k)N(n,k)的表达式的表达式,由此计算由此计算N(10,24)=_.N(10,24)=_.1232【解析解析】由由N(n,4)=nN(n,4)=n2 2,N(n,6)=2n,N(n,6)=2n2 2-n,
