1、第二十四章第二十四章 解直角三角形解直角三角形24.4 24.4 解直角三角形解直角三角形第第1 1课时课时 解直角三角形解直角三角形 及一般应用及一般应用1课堂讲解课堂讲解已知两边解直角三角形已知两边解直角三角形 已知一边及一已知一边及一锐角解直角三角形锐角解直角三角形 已知一边及一锐角已知一边及一锐角的三角函数值解直角三角形的三角函数值解直角三角形 方位角方位角2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面面1010米处折断倒下，树顶落在离树根米处折断倒下，树顶落在离树根2424
2、米处米处.大树在折大树在折断之前高多少？断之前高多少？1知识点知识点已知两边解直角三角形已知两边解直角三角形1.1.问：在三角形中共有几个元素？问：在三角形中共有几个元素？2.2.问：直角三角形问：直角三角形ABC中，中，C=90=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？这五个元素间有哪些等量关系呢？答：答：1.1.三个角，三条边，共六个元素。三个角，三条边，共六个元素。知知1 1导导2.(1)2.(1)三边之间关系：三边之间关系：a2 2 +b2 2 =c2 2(勾股定理勾股定理)(2)(2)锐角之间关系锐角之间关系A+B=90=90 (3)(3)边角之间关系边角之间关系 知知
3、1 1导导sincostanAAAAAAA 的的对对边边正正弦弦函函数数：斜斜边边的的邻邻边边余余弦弦函函数数：斜斜边边的的对对边边正正切切函函数数：的的邻邻边边1.在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形叫做解直角三角形2.直角三角形中的边角关系：在直角三角形中的边角关系：在RtABC中，中，a，b，c 分分 别是别是A，B，C的对边，的对边，C90.(1)三边关系：三边关系：a2b2c2；(2)两锐角关系：两锐角关系：AB90；(3)边角关系：边角关系：sin A ，cos A ，tan A ，sin B ，cos B ，
4、tan B .知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）cacbbaabcbca3.易错警示易错警示：解直角三角形除直角外共有：解直角三角形除直角外共有5个元素，已个元素，已 知其中的两个元素知其中的两个元素(至少有一边至少有一边)求另外的三个元素时，求另外的三个元素时，要尽可能地运用所给出的原始数据，以减少误差要尽可能地运用所给出的原始数据，以减少误差 知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）【例例1 1】在在RtABC中，中，a，b，c分别是分别是A，B，C 的对边，的对边，C90，a6，b ，解这个，解这个 直角三角形直角三角形知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）32导引：导引：先画出先画出RtA
5、BC，标注已知量，根据勾股定理，标注已知量，根据勾股定理 求出斜边长，然后根据正切的定义求出求出斜边长，然后根据正切的定义求出A的的 度数，再利用度数，再利用B90A求出求出B的度数的度数解：解：如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，C90，a6，b A60，B90A906030.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）22226(2 3)4 3.cab23，6tan3,2 3aAb总总 结结知知1 1讲讲 本题运用本题运用数形结合思想数形结合思想和和定义法定义法解题已知两条解题已知两条直角边，解直角三角形的一般步骤是：直角边，解直角三角形的一般步骤是：(1)根据根据 求出斜边的长；求出斜边的
6、长；(2)根据根据 求出求出A的度数；的度数；(3)利用利用B90A求出求出B的度数的度数22cabtanaAb 1 1如图，如图，ABC中，中，B90，BC2AB，则，则cos A()A B.C D知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）52122 55552知识点知识点已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形 知知2 2讲讲【例例2 2】如图如图24.4.2,在相距在相距2 000米的东、西两座炮台米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰处同时发现入侵敌舰C，在炮台在炮台A处测得敌舰处测得敌舰 C 在它的南偏东在它的南偏东40的方向，在炮台的方向，在炮台B处测得敌舰处测得
7、敌舰C 在它的正南方在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离试求敌舰与两炮台的距离.（精确精确 到到1米）米）（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲解：解：在在RtABC中，中，CAB90-DAC=50 答：答：敌舰与敌舰与A、B两炮台的距离分别约为两炮台的距离分别约为3111米和米和2384米米.ABACcos50。，tan,BCCABAB（来自教材）（来自教材）tan,BCABCAB 2000 tan502384 。（米米）20003111cos50cos50ABAC。（米米）.总总 结结知知2 2讲讲本题运用本题运用数形结合思想数形结合思想和和定义法定义法解题解题.已知斜边和一锐角已知斜边和
8、一锐角解直角三角形的一般步骤是：解直角三角形的一般步骤是：（1 1）根据）根据A+B=90=90求出另一锐角；求出另一锐角；（2 2）根据）根据 求出求出a的值；的值；（3 3）根据）根据 求出求出b的值或根据勾股定理求出的值或根据勾股定理求出b的值的值.caA sincbA cos3知识点知识点已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形 知知3 3讲讲【例例3 3】如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BC边上的边上的 高高，AE是是BC边上的中线，边上的中线，C45，sin B ，AD1.求求BC的长的长.13知知3 3讲讲解：解：在在ABC中，中，AD是
9、是BC边上的高，边上的高，ADBADC90.在在ADC中，中，ADC90，C45，AD1，DCAD1.在在ADB中，中，ADB90，sin B ，AD1，BCBDDC 1.133,sinADABB 2222BDABAD 2 24知识点知识点方位角方位角知知4 4讲讲【例例3 3】浙江温州浙江温州某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线l (如图如图)救生员甲在救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正处的瞭望台上观察海面情况，发现其正 北方向的北方向的B处有人发出求救信号他立即沿处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直前往方向径直前往 救援，同时通知正
10、在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处处 入海，径直向入海，径直向B处游去甲在乙入海处游去甲在乙入海10 s后赶到海后赶到海 岸线上的岸线上的D处处，再向再向B处游去若处游去若CD40 m，B在在 C的北偏东的北偏东35方向上，甲方向上，甲、乙的游泳速度都是乙的游泳速度都是2 m/s.谁先到达谁先到达B处？请说明理由处？请说明理由(参考数据：参考数据：sin 550.82，cos 550.57，tan 551.43)知知4 4讲讲（来自（来自典中点典中点）导引：导引：在在RtBCD中，求出中，求出BC与与BD的长，再求出甲、乙所的长，再求出甲、乙所
11、 用的时间，比较其大小即可知道谁先到达用的时间，比较其大小即可知道谁先到达B处处解：解：乙先到达乙先到达B处理由：由题意得处理由：由题意得BCD55，BDC90，tanBCD BDCDtanBCD40tan 5557.2(m)，又又cosBCD BC 70.2(m)，40coscos 55CDBCD 。,BDCD,CDBC知知4 4讲讲（来自（来自典中点典中点）t甲甲 1038.6(s)，t乙乙 35.1(s)，t甲甲t乙乙，乙先到达乙先到达B处处57.2270.22总总 结结知知4 4讲讲 本题是利用解直角三角形解决实际问题中的方向本题是利用解直角三角形解决实际问题中的方向角问题，运用角问题
12、，运用建模思想建模思想和和数形结合思想数形结合思想解题解答的解题解答的关键是在直角三角形中根据已知条件选择恰当的三角关键是在直角三角形中根据已知条件选择恰当的三角函数关系式解题，同时对于方向角问题，还运用了函数关系式解题，同时对于方向角问题，还运用了转转化思想化思想，即利用互余关系将方向角转化为直角三角形，即利用互余关系将方向角转化为直角三角形的内角的内角知知4 4练练（来自（来自典中点典中点）如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东55方向，距离灯方向，距离灯塔塔2海里的海里的A处如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正处如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离
13、东位置，则海轮航行的距离AB是是()A2海里海里 B2sin 55海里海里 C2cos 55海里海里 D2tan 55海里海里1 1知知4 4练练（来自（来自典中点典中点）如图，一只船以每小时如图，一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起千米的速度向正东航行，起初船在初船在A处看见一灯塔处看见一灯塔B在船的北偏东在船的北偏东60方向上，方向上，2小小时后，船在时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东处看见这个灯塔在船的北偏东45方向上，方向上，则灯塔则灯塔B到船所在的航线到船所在的航线AC的距离是的距离是()A(1816 )千米千米 B(1918 )千米千米C(2020 )千米千米 D(2122 )千米千米2 23333解直角三角形解直角三角形直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系解直角三角形解直角三角形 直角三角形直角三角形添设辅助线解添设辅助线解知两边解直角三角形知两边解直角三角形解直角三角形解直角三角形知一边一锐角知一边一锐角 角角三三角角形形知知一一直直角角边边一一锐锐角角解解直直解解直直角角三三角角形形知知斜斜边边一一锐锐角角 解解直直角角三三角角形形知知一一斜斜边边一一直直角角边边解解直直角角三三角角形形知知两两直直角角边边
