1、线性代数与空间解析几何7-2二次型及其矩阵表示1TfX AX ,TfX AX 将将其其代代入入有有 .TTYC AC Y TCYA CY TC ACB 记记则则 为对称矩阵为对称矩阵.B设设,为阶方阵，若存在阶可逆阵为阶方阵，若存在阶可逆阵C C，使得，使得,TC ACB 则称则称合同于合同于反身性反身性对称性对称性传递性传递性 等价等价希望希望B阵的形式是最简单的。阵的形式是最简单的。合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩.与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.,1 ,nijijijjii jfa x xaaXQYf 任任给给二二次次型型总总有有正正交交变变换换
2、使使化化为为标标准准形形,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 主轴定理主轴定理3 3、正交变换法、正交变换法1 定定理理解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值2221A 2221AE 230 22121 2 22 2.fxxx x 将将二二次次型型化化成成标标准准形形,并并求求所所用用正正交交变变换换矩矩阵阵例例2 2得特征值得特征值120,3.10X0,A 将将代代入入得得基基础础解解系系2 2求特征向量求特征向量 233X0,AE 将将代代入入得得基基础础解解系系22322,311单单位位化化得得
3、11113322 ，单单位位化化得得 12123 ,.321Q 所所以以0003TQ AQ 且且有有,223.fy 即即解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值122224242A 122224242AE 227 222123121323 22448.fxxxx xx xx x将将二二次次型型化化成成标标准准形形，求求所所用用正正交交变变换换矩矩阵阵例例3 3从而得特征值从而得特征值1237,2.170,AE X 将将代代入入得得基基础础解解系系2 2求特征向量求特征向量 2320,AE X 将将代代入入得得基基础础解解系系,)0,1,2(2 T 3.(2
4、,0,1)T 1,(1,2,2)T 22,取取 3233222,(2 5,4 5,1)T 11=(1,2,2).3T 1 1将将 单单位位化化，得得将将 正交化正交化23,得得22515,0 3245445.545 1 325245 2 315445.2 30545Q 所所以以再单位化，再单位化，于是所求正交变换为于是所求正交变换为1122331 3252452 315445,2 30545xyxyxy 222123722.fyyy 且且有有2 2、配方法、配方法222123121323 22448,.fxxxx xx xx x 用用配配方方法法化化二二次次型型为为标标准准形形 并并求求所所用
5、用的的变变换换矩矩阵阵例例4 4解解22212312132322448fxxxx xx xx x 211213-44xx xx x 222323228xxx x 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2123-22xxx 222323228xxx x 22232344+8xxx x 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 2221232323226616xxxxxx x 222123233414226.33xxxxxx 1123223332243yxxxyxxyx 令令11232233322343xyyyxyyxy 112233122/3014/3001xyxyxy 222123
6、22338226()63xxxxx xx 222123121323 22448fxxxx xx xx x 222123146.3yyy所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代入代入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例5 5由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C 123221353 5142,353 552033 5Q 令令111.10TQQ AQQ AQ 则则为为正正交交矩矩阵阵且且：
