1、第 1 页 共 19 页 2019 届上海市控江中学高三上学期届上海市控江中学高三上学期 12 月月考数学试题月月考数学试题 一、单选题一、单选题 1若函数若函数( )sin()f xx是偶函数，则是偶函数，则的一个值可能是（的一个值可能是（ ） A0 B 2 C D2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由函数的奇偶性的定义可得需满足的条件为 2 k ，kZ，结合选项 可得答案 【详解】 函数( )sin()f xx是偶函数， ()( )fxf x，即sin()sin()xx ， 2xxk 或2xxk ，kZ， 当2xxk 时，可得xk，不满足偶函数定义中的任意性； 当2xxk 时， 2 k
2、 ，kZ， 当0k 时， 2 . 故选：B. 【点睛】 本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，求解过程中也可以采用代入法求解，即直 接把四个选项代入一一进行验证求得的值 2已知数列已知数列 n a的通项公式为的通项公式为 * 1 1 n anN n n ，其前，其前n项和项和 9 10 n S ，则双曲，则双曲 线线 22 1 1 xy nn 的渐近线方程为（的渐近线方程为（ ） A 2 2 3 yx B 3 2 4 yx C 3 10 10 yx D 10 3 yx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先利用 * 1 1 n anN n n 与 9 10 n S 求得n,再根据 22 1
3、1 xy nn 渐近线 第 2 页 共 19 页 方程为 1 n yx n 求解即可. 【详解】 由 111 11 n a n nnn 得 1111111 .1 1223111 n n S nnnn . 又 9 10 n S 即 9 110 n n ,故9n ,故双曲线 22 1 109 xy 渐近线为 93 10 1010 yxx 故选：C 【点睛】 本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型. 3 ( )f x是定义在 是定义在D上的函数，且上的函数，且3D，若，若 ( )f x的图像绕原点逆时针旋转 的图像绕原点逆时针旋转 6 后与后与 原图像重合，则在以下各项中，原
4、图像重合，则在以下各项中，( 3)f的可能取值只能是（的可能取值只能是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】直接利用定义函数的应用求出结果 【详解】 由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 6 个单位后与 下一个 点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当 f（3）=0，1，3 时， 此时得到的圆心角为0， 6 ， 3 ， 然而此时 x=0 或者 x= 3时，都有 2 个 y 与之对应， 而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y， 因此只有当3f=2，此时旋转 6 ， 此时满足一个 x 只会对应一个 y， 故答案为：C 第
5、 3 页 共 19 页 【点睛】 本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4如图所示，已知如图所示，已知 01 0,0 ,4,0AA，对任何，对任何nN，点，点 2n A 按照如下方式生成：按照如下方式生成： 12121 1 , 32 nnnnnnn A AAAAA A ， 且， 且 12 , nnn A AA 按逆时针排列， 记点按逆时针排列， 记点 n A的的 坐标为坐标为, nn a bnN，则，则(lim ,lim) nn nn ab 为（为（ ） A 20 4 3 77 ， B 4 3 3 7 ， C 5 3 3 8 ， D 20 5 3 78 ，
6、 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用向量的定义，推导知 112231nnn OAOAA AA AAA 的向量坐 标，然后求出 an，bn的表达式，然后进行计算即可 【详解】 由题意可知， 1,4731 , k A A AA （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标 发生变化，纵坐标不变. 25832 , k A A AA （k 0）都是在上一个点的基础 上横坐标减小，纵坐标增加. 36933 , k A A AA （k 0）都是在上一个点的 基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又 112231nnn OAOAA AA AAA ，所以 123n aaaa =4- 1111 2cos601 cos
7、60cos60cos60 24816 = 344 111111 421 222222 = 369 111 3 222 =3- 11 1 12088 3 1 77 1 8 n 第 4 页 共 19 页 123n bbbb = 11 02sin601 sin600sin60sin600 48 + = 31111 2 1 2483264 311 1 2864 1 1 1 38 1 2 1 8 38 27 4 3 7 n 所以选 A. 【点睛】 本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解 决本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大 二、填空题二、填空题 5已知集合已知集合，
8、则，则_ 【答案】【答案】 【解析】【解析】求出集合 A,B，即可得到. 【详解】 由题集合 集合 故. 故答案为. 【点睛】 本题考查集合的交集运算，属基础题 6如果如果 5 sin 13 ，且，且为第四象限角，则为第四象限角，则tan的值是的值是_ 【答案】【答案】 5 12 【解析】【解析】为第四象限角，所以可算出cos为正值，即可算出tan。 第 5 页 共 19 页 【详解】 因为 22 sincos1，又为第四象限角，所以 2 12 cos1 sin 13 即 sin5 tan cos12 。 故答案为： 5 12 【点睛】 此题考查三角函数值，记住两个基本公式和每个象限三角函数正
9、负值即可，属于简单题 目。 7若线性方程组的增广矩阵是若线性方程组的增广矩阵是 1 2 23 01 c c ，其解为，其解为 1 1 x y ，则，则 12 cc_ 【答案】【答案】6 【解析】【解析】 本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组， 然后将解 1 1 x y 代入线性方 程组即可得到 1 c、 2 c的值，最终可得出结果 【详解】 解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为： 1 2 23xyc yc ， 将解 1 1 x y 代入上面方程组，可得： 1 2 5 1 c c 12 6cc 故答案为：6 【点睛】 本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组
10、的解求参数本 题属基础题 8函数函数 a yx x 在在(1,2)上单调递增，则实数上单调递增，则实数a的取值范围为的取值范围为_ 【答案】【答案】1a 【解析】【解析】先对函数求导得 2 10 a y x 在（1,2）上恒成立，再分离参数求出 a 的范围. 【详解】 第 6 页 共 19 页 由题得 2 10 a y x 在（1,2）上恒成立，所以 2, 1axa. 故答案为：1a 【点睛】 (1)本题主要考查利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题， 意在考查学生对这些知识 的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般地，函数 ( )f x在某个区间可导 ，( )f x在某个区间 是增函数 ( )
11、 fx0 . 9函数函数 2 ( )4 (0)f xxx x的反函数为的反函数为_； 【答案】【答案】24(0)xx 【解析】【解析】利用函数表达式解得240xyy，得到反函数. 【详解】 2 2 ( )424(0)240yf xxxxxxyy 故函数的反函数为 1( ) 24(0)fxxx 故答案为：24(0)xx 【点睛】 本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误. 10已知圆已知圆 22 :25C xy，过定点，过定点 P（3，0）的直线）的直线 l 交圆交圆 C 于于 AB，则，则AOB面积面积 的最大值为的最大值为_. 【答案】【答案】12 【解析】【解析】 设直线l的解
12、析式,再求弦长与圆心到直线的距离进而求得面积的表达式再分析 最值即可. 【详解】 显然直线l斜率不为 0,故设:3l xty,即30xty,故O到直线l的距离 2 3 3 1 d t ,弦长 2 2 25ABd . 2 2 9 9 1 d t 故 242 1 2525 2 AOB SAB ddddd ,又关于 2 d的二次方程对称轴为 2525 9 212 .故当 2 2 9 9 1 d t 时AOB面积取最大值 2 2512 AOB Sdd . 第 7 页 共 19 页 故答案为：12 【点睛】 本题主要考查了直线与圆相交求面积的方法,需要根据题意设直线的方程再求得面积的 表达式,再求范围即
13、可.属于中等题型. 11设设2019ab，0b ，则当，则当a _时，时， 1 2019 a ab 取得最小值取得最小值. 【答案】【答案】 2019 2018 【解析】【解析】利用已知条件，将 1 2019 a ab 转化为 22 20192019 aab aab ，然后利用 绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a的值. 【详解】 2 1 20192019 aaab abab 222 12 2019201920192019 aab aab ，当且 仅当 2 2019 ab ab 且0a 时等号成立，即 2019 2018 a . 故答案为： 2019 2018 【点睛】 本小题
14、主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学 思想方法，属于中档题. 12若任意若任意,2018xt时，关于时，关于 x 的不等式的不等式 43 3 2 xx x 恒成立，则实数恒成立，则实数 t 的取值的取值 范围是范围是_ 【答案】【答案】4,2018 【解析】【解析】设 4 f xx x ， 3 3 2 g xx，通过讨论 x 的范围，根据函数的单调性 判断即可 【详解】 设 4 f xx x ， 3 3 2 g xx，则对任意的,2018xt时， f xg x恒成 立， 第 8 页 共 19 页 当0x时，由 4(2)(2)xx f xx xx 知， 当2x时
15、， 44 f xxx xx ，显然单调递减，故( )( 2)0f xf ； 当2x 时， 44 f xxx xx 单调递增，故( )( 2)0f xf， 所以当0x时， f x的值域是0,， g x的值域是, 3，不可能成立； 当0x 时，由 4(2)(2)xx f xx xx 知， 当2x 时， 44 f xxx xx ，显然单调递增； 当02x时， 44 f xxx xx 单调递减， g x递增， 当 f xg x时， 43 2,3 2 xxx x 令，解得：2x 或4x ， 由函数的单调性得：4,2018t时， 43 3 2 xx x 恒成立， 故答案为：4,2018 【点睛】 本题考查
16、了函数的单调性问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题 13已知定义域为已知定义域为0,的函数的函数 f x满足满足 22f xf x，当，当0,2x时，时， 2 24f xxx ， 设， 设 f x在在22,2nn上的最大值为上的最大值为 * n anN， 且数列， 且数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S，则，则 n S _ 【答案】【答案】 2 1 4 2n 【解析】【解析】当0,2x时，函数对称轴为1x ，开口向下，故最大值为 12f.由于 1 2 2 f xf x，即从2,4起，每隔两个单位长度的图像就是前一个区间图像的 一 半 ， 故 最 大 值 是 以2为 首 项
17、， 公 比 为 1 2 的 等 比 数 列 ， 其 前n项 和 第 9 页 共 19 页 2 1 2 1 12 4 1 2 1 2 n n n S . 点睛： 本题主要考查抽象函数关系求解函数解析式的问题， 考查二次函数求最值的方法， 考查等比数列的前n项和公式.由于题设函数给出一个抽象的关系式， 理解这个关系式是 本题的关键，将关系式改写成 1 2 2 f xf x，即可得到每隔两个单位，图像就是 原来的一半，故最大值也是原来的一半，形成一个等比数列，由此可求得最大值的前n 项和. 14正方体正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为的棱长为 1，在正方体的表面上与点，在正方体的表面上与点
18、 A 距离为距离为 2 3 3 的点的点 形成一条曲线，这条曲线的长度为形成一条曲线，这条曲线的长度为_. 【答案】【答案】 5 3 6 【解析】【解析】 由题意,此问题的实质是以 A 为球心、 2 3 3 为半径的球在正方体 ABCD-A1B1C1D1各个 面上交线的长度计算， 正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的 截面，截痕为大圆弧， 各弧圆心角为 6 、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为 1 的截面， 截痕为小圆弧,由于截面圆半径为 3 3 r ,故各段弧圆心角为 2 . 这条曲线长度为 2 335 3 33 6
19、3236 . 故答案为 5 3 6 . 第 10 页 共 19 页 点睛：在平面中，到定点的距离等于定值的动点形成的轨迹为圆； 在空间中，到定点的距离为定值的动点形成的轨迹为球. 在圆中，弧长等于圆心角乘以半径. 15如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD，AC 是是 BD 的垂直平分线，垂足为的垂直平分线，垂足为 E，O 为直线为直线 BD 外外 一点，已知向量一点，已知向量5OB ，3OD ，则，则 OAOCOBOD_. 【答案】【答案】16 【解析】【解析】根据向量的线性运算,结合 AC 是 BD 的垂直平分线,垂足为 E,将OAOC用 关于 E 点有关的向量表示,再求解即可. 【详解
20、】 OAOCOBODOEEAOEECOBOD 2OEOBODEAECOBOD 又 AC 是 BD 的垂直平分线,垂足为 E,故 OBODOBODEAECDB 22 25 916OBOD . 故答案为：16 【点睛】 本题主要考查了平面向量的线性运算等,需要结合题意将向量转化为跟E点有关的向量 再进行数量积的求解,属于中等题型. 16 n a为等差数列，则使等式为等差数列，则使等式 12n aaa 12 111 n aaa 12 33aa 12 35552019 nn aaaa能成立的数列能成立的数列 n a的项数的项数 n 的最大值的最大值 是是_. 【答案】【答案】40 第 11 页 共 1
21、9 页 【解析】【解析】易得 n a中有正有负,再设 1 , kk a a 分别为由正变负或由负变正的临界两项,再 去绝对值分析即可. 【详解】 易得 n a中有正有负,则数列 n a中的项一定满足 1 0 0 k k a a 或 1 0 0 k k a a ,且项数为偶 数. 不妨设 1 0 0 k k a a ,设公差为d,则此时 1 0,0ad,且 2nk.kZ 又 12n aaa 12 111 n aaa 12 33aa 12 35552019 nn aaaa.故5d . 故 12 2019 n aaa有 123122 kkkk aaaaaaa 123123212 2 kkk aaaa
22、aaaaa 2 11 (1)2 (21) 222019 22 k kkk kadkadk d . 因为5d ,故 222 2019 20195403.8 5 k dkk.因为kZ 故20k ,40n 故答案为：40 【点睛】 本题主要考查了数列的求和以及性质的分析,需要根据题意分析出公差满足的条件,再根 据条件列出对应的表达式求范围即可.属于难题. 三、解答题三、解答题 17如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA 平面平面ABCD，PB、 PD与平面与平面ABCD所成的角依次是所成的角依次是 4 和和 1 arctan 2 ，2AP ，E、F依次是依
23、次是PB、PC 的中点；的中点； （1）求异面直线）求异面直线EC与与PD所成角的大小； （结果用反三角函数值表示）所成角的大小； （结果用反三角函数值表示） 第 12 页 共 19 页 （2）求三棱锥）求三棱锥PAFD的体积；的体积； 【答案】【答案】 （1） 3 10 arccos 10 ； （2） 4 3 ； 【解析】【解析】 （1）分别以 AB，AD，AP 所在直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，利用向 量,EC PD所成角求得异面直线 EC 和 PD 所成角的大小； （2）直接利用 P AFDP ACDFACD VVV 求解。 【详解】 （1）分别以 AB，AD，AP 所在
24、直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 因为 1 2,arctan 42 APPBAPDA ， 所以 2,4ABAD ，则(0,0,2),(0,4,0),(1,0,1),(2,4,0)PDEC, (1,4, 1),(0,4, 2)ECPD 所以 183 10 cos, 10182 5 EC PD EC PD EC PD 所以异面直线 EC 和 PD 所成角的大小为 3 10 arccos 10 ； （2） 11114 4 2 24 2 1 32323 P AFDP ACDFACD VVV 【点睛】 此题考查立体几何异面直线所成夹角，一般情况建系比较简单，算体积注意使用体积间 的关系，属
25、于较易题目。 18己知函数己知函数 sinf xAx （0A，0， 2 ）的图像与）的图像与y轴交于点轴交于点 3 0, 2 ，它在，它在y轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 0,3 M x 、 0 2 , 3N x ，点，点P是是 f x图像上任意一点图像上任意一点. （1）求函数）求函数 f x的解析式；的解析式； （2）己知）己知0,1j ，求，求 jMPNP 的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1） 1 3sin 26 f xx ； （2）6,6 第 13 页 共 19 页 【解析】【解析】 （1）显然 A=3，最大值点与最小值点的横
26、坐标相隔半个周期，由此可求，再 代入点 3 0, 2 即可求出 f x的解析式； （2）结合（1）求出 0 2 3 x ，从而可得 2 ,3 3 M ， 8 , 3 3 N ，设点 1 3sin 26 , xxP ，则 101 (2,6sin() 326 MPNPxx ，所以 1 6sin 26 jMPNPx ，再根据正弦函数的最值即可求得结果. 【详解】 （1）显然 A=3，根据正弦函数的图象与性质， 00 2(2)4Txx， 则 221 42T ，所以 1 3sin 2 yx ，将点 3 0, 2 代入该式， 得 3 3sin 2 ，又 2 ，故解得 6 ，所以 1 3sin 26 yx
27、； （2）由（1） ，令 1 3sin3 26 x ，解得 2 4() 3 xkkZ ， 依题意， 0 2 3 x ，则 2 ,3 3 M ， 8 , 3 3 N ， 设点 1 3sin 26 , xxP ，则 101 (2,6sin() 326 MPNPxx ， 所以 1 6sin 6,6 26 jMPNPx ， 故 jMPNP 的取值范围为 6,6. 【点睛】 本题考查正弦函数的图象和性质，以及平面向量的坐标运算和数量积，正确求出函数 f x的解析式是解题的关键，属中档题. 19 大数据时代对于现代人的数据分析能力要求越来越高， 数据拟合是一种把现有数据 大数据时代对于现代人的数据分析能力
28、要求越来越高， 数据拟合是一种把现有数据 通过数学方法来代入某条数式的表示方式，比如通过数学方法来代入某条数式的表示方式，比如, iii A a b，i 1，2，n 是平面是平面 直角坐标系上的一系列点，用函数直角坐标系上的一系列点，用函数 yf x来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与 点列点列, iii A a b比较接近其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差比较接近其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差 越小越好，定义函数越小越好，定义函数 yf x的拟合误差为：的拟合误差为： 第 14 页 共 19 页 222 1122 (
29、)()() nn f xf abf abf ab已知平面直角坐标系已知平面直角坐标系 上上 5 个点的坐标数据如表：个点的坐标数据如表： x 1 3 5 7 9 y 12 6.2 4 5.8 12 1若用一次函数若用一次函数 1 50 f xxm 来拟合上述表格中的数据，求该函数的拟合误差来拟合上述表格中的数据，求该函数的拟合误差 f x的最小值，并求出此时的函数解析式的最小值，并求出此时的函数解析式 1 yfx； 2 若用二次函数若用二次函数 2 2 1 (5)4 2 fxx来拟合题干表格中的数据，求来拟合题干表格中的数据，求 2 fx； 请比较第请比较第 1问中的问中的 1 fx和第和第
30、2问中的问中的 2 fx， 用哪一个函数拟合题目中给出的， 用哪一个函数拟合题目中给出的 数据更好？数据更好？(请至少写出三条理由请至少写出三条理由) 【答案】【答案】 （1）函数 f x的拟合误差取最小值为56.064，此时 1 8.1 50 f xx （2） 2 0.08fx， 2 yfx更好，详见解析 【解析】【解析】(1)把图表中的数据代入拟合误差 222 1122 ()()() nn f xf abf abf ab，得到关于 m 的二次函 数，利用二次函数求最值，进一步得到函数解析式 1 yfx； 2 在拟合误差中以 2 fx替换 f x，求得 2 fx； 通过数据分析可知， 2 y
31、fx更好，由表中数据结合 2 yfx图象写出理由 【详解】 解： 1根据题意得： 22222 13579 (12)(6.2)(4)(5.8)(12) 5050505050 f xmmmmm 2 581384.114mm， 则当8.1m时， f x取最小值为56.064，此时 1 8.1 50 f xx ； 第 15 页 共 19 页 2 若用二次函数 2 2 1 (5)4 2 fxx来拟合题干表格中的数据， 则 22 2 00.200.200.08fx； 2 yfx更好 理由如下： 21 1)fxfx； 2 2)yfx图象上有更多的点与原点列重合(三个)； 2 3)yfx的图象更能反映原来点列
32、的对称性 【点睛】 本题考查函数解析式的求解及常用方法，正确理解题意是关键，是中档题 20已知椭圆已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为的右焦点为 1,0F，且点，且点 3 1, 2 P 在椭圆在椭圆 C 上上. （1）求椭圆）求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； （2）过椭圆）过椭圆 22 1 2 2 :1 5 3 xy C a b 上异于其顶点的任意一点上异于其顶点的任意一点 Q 作圆作圆 22 4 : 3 O xy的两的两 条切线，切点分别为条切线，切点分别为,(,M N M N不在坐标轴上） ，若直线不在坐标轴上） ，若直线MN在在 x 轴，轴，y 轴上的截距
33、轴上的截距 分别为分别为 ,m n，证明： ，证明： 22 11 3mn 为定值；为定值； （3）若）若 12 ,P P是椭圆是椭圆 22 2 22 3 :1 xy C ab 上不同两点，上不同两点， 12 PPx轴，圆轴，圆 E 过过 12 ,P P，且椭，且椭 圆圆 2 C上任意一点都不在圆上任意一点都不在圆 E 内，则称圆内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆 2 C是是 否存在过焦点否存在过焦点 F 的内切圆？若存在，求出圆心的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】【答案】 （1） 22
34、 1 43 xy ； （2）证明见解析； （3） 3 ,0 2 . 【解析】【解析】 （1）由焦点坐标确定出 c 的值，根据椭圆的性质列出 a 与 b 的方程，再将 P 点 坐标代入椭圆方程列出关于 a 与 b 的方程， 联立求出 a 与 b 的值， 确定出椭圆方程即可 （2）由题意：确定出 C1的方程，设点 P（x1，y1） ，M（x2，y2） ，N（x3，y3） ，根据 M， N 不在坐标轴上，得到直线 PM 与直线 OM 斜率乘积为1，确定出直线 PM 的方程， 同理可得直线 PN 的方程，进而确定出直线 MN 方程，求出直线 MN 与 x 轴，y 轴截距 第 16 页 共 19 页 m
35、 与 n，即可确定出所求式子的值为定值 （3）依题意可得符合要求的圆 E，即为过点 F，P1，P2的三角形的外接圆所以圆心 在 x 轴上根据题意写出圆 E 的方程由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆 E 距离的最小值是|P1E|，结合图形可得圆心 E 在线段 P1P2上，半径最小又由于点 F 已 知，即可求得结论 【详解】 （1）椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 F（1，0） ，且点 P（1, 3 2 ）在椭圆 C 上； 22 222 1 19 1 4 c ab abc ，解得 a2，b 3， 椭圆 C 的标准方程为 22 1 43 xy （2）由题意：C1：
36、22 3 1 44 xy ， 设点 P（x1，y1） ，M（x2，y2） ，N（x3，y3） ， M，N 不在坐标轴上，kPM OM 1 k 2 2 x y ， 直线 PM 的方程为 yy2 2 2 x y （xx2） ， 化简得：x2x+y2y 4 3 ， 同理可得直线 PN 的方程为 x3x+y3y 4 3 ， 把 P 点的坐标代入、得 2121 3 131 4 3 4 3 x xy y x xy y ， 直线 MN 的方程为 x1x+y1y 4 3 ， 令 y0，得 m 1 4 3x ，令 x0 得 n 1 4 3y ， x1 4 3m ，y1 4 3n ， 第 17 页 共 19 页
37、又点 P 在椭圆 C1上， （ 4 3m ）2+3（ 4 3n ）24， 则 22 11 + 3mn 3 4 为定值 （3）由椭圆的对称性，可以设 P1（m，n） ，P2（m，n） ，点 E 在 x 轴上，设点 E（t， 0） ， 则圆 E 的方程为： （xt）2+y2（mt）2+n2， 由内切圆定义知道，椭圆上的点到点 E 距离的最小值是|P1E|， 设点 M（x，y）是椭圆 C 上任意一点，则|ME|2（xt）2+y2 22 3 21 4 xtxt， 当 xm 时，|ME|2最小，m 24 33 tt ， 又圆 E 过点 F，（3t）2（mt）2+n2， 点 P1在椭圆上， 2 2 1 4
38、 m n ， 由，解得：t 3 2 或 t3， 又 t3时，m 4 3 3 2，不合题意， 综上：椭圆 C 存在符合条件的内切圆，点 E 的坐标是（ 3 2 ，0） 【点睛】 本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单 性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键 21 设数列 设数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 对任意， 对任意 * nN， 点， 点 , n S n n 都在函数都在函数 2 n a f xx x 的图象上的图象上. (1)求求 123 ,a a a，归纳数列，归纳数列 n a的通项公式的通项公式(不必证明不必证明). (2)将数列
39、将数列 n a依次按依次按1项、项、2项、项、3项、项、4项、项、5项循环地分为项循环地分为 412356 ,aaa aa a， 78910 ,a a a a 111213141515 ,aaaaaa， 1718 ,aa， 192021 ,aaa，各个括号内，各个括号内 各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 n b，求，求 6100 bb的值的值. 第 18 页 共 19 页 (3)设设 n A为数列为数列 1 n n a a 的前的前n项积，若不等式项积，若不等式 3 1 2 n nn a Aaf a a 对一切对一切 *
40、nN 都成立，其中都成立，其中0a ，求，求a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】（1）12a ， 2 4a ， 3 6a ， * 2 , n an nN （2） 3012 （3）,()3a 【解析】【解析】 （1）求得 2 1 2 nn Sna，分别令1n ，2，3，进而归纳出数列 n a的通项 公式； （2）写出几个循环数，可得每一次循环记为一组，由每一个循环含有 5 个括号，故 100 b 是第 20 组中第 5 个括号内的数之和，每一个循环中含有 15 个数，20 个循环具有 300 个数，计算可得所求和； （3） 由题意可得原不等式即为 12 1113 (1)(1)(1) 21
41、2 n na aaaa 对一切 * nN都 成立， 设 12 111 ( )(1)(1)(1) 21 n g nn aaa ，则只需 3 ( ) 2 max g na a ，判断数列( )g n的单 调性，可得最大值，解不等式即可得到所求a的范围 【详解】 1 因为点, n S n n 在函数 2 n a f xx x 的图象上，故 2 nn Sa n nn 所以 2 1 2 nn Sna 令1n ，得 11 1 1 2 aa ，所以 1 2a ； 令2n ，得 122 1 4 2 aaa，所以 2 4a ； 令3n ，得 1233 1 9 2 aaaa，所以 3 6a ； 由此猜想: * 2 , n an nN. 2因为 * 2 , n an nN，所以数列 n a依次按1项、2项、3项、4项、5项循环地 分为 2 , 4,6 , 8,10,12， 14,16,18,20 , 22,24,26,28,30， ()32 , 3436 , 38,40,42， 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有5个括号，故 100 b是第20组中第5个括号内 各数之和，每个循环中有15个数， 20个循环共有300个数. 100 2460024590b5925945965986002980 第 19 页 共 19 页 又 6 32b ，所以 1006
