1、00lim()()xxf xf x 微积分讲义微积分讲义设计制作设计制作王新心王新心12/5/2022习题课习题课无穷级数无穷级数一无穷级数的概念与性质一无穷级数的概念与性质二二常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法三三幂级数幂级数四四例题例题12/5/2022一、无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念与性质1.无穷级数的概念无穷级数的概念第七章第七章 无穷级数无穷级数121nnnuuuu （数列所有项的和）称为无穷级数（级数）无穷级数（级数），n前项的和称为部分和部分和。nS1nnu 收敛收敛limnnS存在存在12/5/20222.无穷级数的性质无穷级数的性质第七章第七章 无穷级数无穷级数一
2、个收敛级数与一个发散级数的和一个收敛级数与一个发散级数的和一定发散；一定发散；两个收敛级数的和两个收敛级数的和一定收敛；一定收敛；性质性质1两个发散级数的和两个发散级数的和可能收敛也可能发散。可能收敛也可能发散。级数的级数的每一项同乘以不为每一项同乘以不为0的常数的常数性质性质2后，后，其敛散性不变。其敛散性不变。12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数敛散性。敛散性。去掉或增加有限项去掉或增加有限项不影响级数的不影响级数的lim0nnu 性质性质3收敛级数加括号后收敛级数加括号后仍收敛，仍收敛，性质性质4不变。不变。其和其和1nnu 收敛收敛性质性质5（收敛级数的必要条件）（收敛级数
3、的必要条件）12/5/2022二、二、常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法1.正项级数的审敛法正项级数的审敛法第七章第七章 无穷级数无穷级数正项级数收敛的充分必要条件正项级数收敛的充分必要条件有界有界nS正项级数收敛正项级数收敛1nnu 12/5/2022正项级数正项级数第七章第七章 无穷级数无穷级数审敛法审敛法比较判别法比较判别法（极限形式极限形式）比值判别法比值判别法（dAlembert）根值判别法根值判别法（Cauchy）2.交错级数的审敛法交错级数的审敛法（Leibniz定理定理）10nnuu lim0nnu 11(1)nnnu 交错级数收敛12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷
4、级数3.任意项级数的审敛法任意项级数的审敛法1nnu 绝对收敛1nnu 收敛1nnu 发散1nnu 发散1nnu 条件收敛12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数4.常见级数的敛散性常见级数的敛散性11nnaq 1）几何级数）几何级数收敛和1aq(1)q 发散(1)q 11pnn 收敛(1)p 发散(1)p 11nn 2）调和级数）调和级数发散3）级数）级数p 12/5/2022三、三、幂级数幂级数1.幂级数的概念幂级数的概念第七章第七章 无穷级数无穷级数20010200()()()nnnaxxaa xxaxx 0()nnaxx称为的幂级数幂级数0()xx 20120nnnnna xa
5、a xa xa x 称为的幂级数幂级数x12/5/20222.Abel定理定理第七章第七章 无穷级数无穷级数1limnnnaRa 2）再讨论端点的情况（利用常数项级数）3.求求幂级数的收敛域幂级数的收敛域a.对标准型幂级数对标准型幂级数0(0)nnnna xa 1）先求收敛半径12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数直接用比值法或根值法比值法或根值法讨论收敛区间讨论收敛区间，4.求求幂级数的和函数幂级数的和函数b.对非标准型幂级数对非标准型幂级数（缺项或通项为复合式）或通过换元化为标准型再求。利用逐项求导或逐项积分的方法，为已知和函数的级数，将其化再去求和。12/5/2022第七章第七
6、章 无穷级数无穷级数2112!nxxexxn4.函数展开成函数展开成幂级数幂级数直接展开法直接展开法间接展开法间接展开法讨论余项利用已知级数5.常见函数的常见函数的幂级数幂级数展开式展开式0()!nnxxn 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数3521sin(1)3!5!(21)!kkxxxxxk 210(1)()(21)!kkkxxk 21111nxxxx 10(1)nnixx 12/5/2022【例例1】（P309第3题）判断级数的敛散性，若收敛求其和3(1)0.0010.0010.0010.001n解解（1）第七章第七章 无穷级数无穷级数111111(5)()()()2349
7、827311()10nn 原级数31lim()10,10nn而故原级数发散12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数111111()()()2349827112nn （5）而111()23nnn 12112 1,113nn 13113 12 故原级数收敛，其和13122S 12/5/2022【例例2】（P309第4题）用比较判别法判定下列级数的敛散性11(4)ln(1)nn 第七章第七章 无穷级数无穷级数2323222(5)1 33 35 31(6)()21nnnn 111(9)(1)nnnnn 12/5/2022解解11(4)ln(1)nn 第七章第七章 无穷级数无穷级数因为11ln(
8、1)nn ln(1),nn所以又因为调和级数发散，11nn 故发散11ln(1)nn 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数2323222(5)1 33 35 3因为故原级数收敛。12(21)3nnnn 2(21)3lim2()3nnnnn0 而几何级数收敛，12()3nn 解解12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数1(6)()21nnnn 因为故原级数收敛。()()212nnnnnn 而几何级数收敛，11()2nn 说明说明此题利用根值判别法更方便此题利用根值判别法更方便？解解1()2n 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数111(9)(1)nnnnn 因为故
9、原级数收敛。112(1)lim1nnnnnn 11lim(1)nnnnn 11lim1(1)nnn 1e 而级数收敛，211nn p 解解12/5/2022【例例3】（P310第5题）用比值判别法判定下列级数的敛散性21(!)(7)(2)!nnn 第七章第七章 无穷级数无穷级数23555(6)12!3!4!2342222(8)1 22 33 44 51(9)2 sin3nnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数23555(6)12!3!4!115!nnn 由于115(1)!limlim5!nnnnnnunun 5lim1nn 01故原级数收敛。12/5/2022解解第七章第七
10、章 无穷级数无穷级数21(!)(7)(2)!nnn 由于212(1)!(22)!limlim(!)(2)!nnnnnunnun 114故原级数收敛。2(1)lim(22)(21)nnnn 一般项中含有一般项中含有阶乘阶乘时要用时要用比比值判别法值判别法讨论讨论级数的敛散性级数的敛散性12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数2342222(8)1 22 33 44 512(1)nnn n 由于112(1)(2)limlim2(1)nnnnnnunnun n 2lim2nnn 21故原级数发散。12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数1(9)2 sin3nnn 由于1112
11、sin3limlim2 sin3nnnnnnnnuu 213故原级数收敛。123lim3nnn 12/5/2022【例例4】（P310第6题）用根值判别法判定下列级数的敛散性13(2)2(arctan)nnnn 第七章第七章 无穷级数无穷级数221(4)1(1)nnnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数13(2)2(arctan)nnnn 由于3limlim2(arctan)nnnnnnnun 11 故原级数收敛。3lim2arctannnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数221(4)1(1)nnnn 由于22limlim1(1)nnnnnnnun 1
12、1e故原级数收敛。2lim1(1)nnnnn 12/5/2022【例例5】（P310第8题）判定下列级数哪些是绝对收敛，哪些是21sin(4)(1)nnan 第七章第七章 无穷级数无穷级数2233131313(5)210210210条件收敛19254981121(5)248163264(1)22111(21)(1)22n nnnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数21sin(4)(1)nnan 由于故原级数绝对收敛。22sin1(1)(1)nann 而收敛211(1)nn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数2233131313(5)210210210故原级
13、数绝对收敛。各项取绝对值得2233131313210210210113()210nnn 由于都收敛，1113,210nnnn所以收敛113()210nnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数19254981121(5)248163264故原级数绝对收敛。各项取绝对值得级数(1)22111(21)(1)22n nnnn 2111(21)22nnn 由比值判别法知级数收敛211(21)2nnn 所以收敛，2111(21)22nnn？12/5/2022【例例6】（P311第9题）求下列幂级数的收敛半径和收敛域15(3)(9)nnnnxn 第七章第七章 无穷级数无穷级数2342342
14、4816(7)15 59 513 517 5xxxx 1(1)(10)32nnnnnnxx 12/5/202221(12)(1)2nnnnnx 第七章第七章 无穷级数无穷级数11(23)(14)(1)21nnnxn 21(13)2(3)nnnx 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数23423424816(7)15 59 513 517 5xxxx 02(41)5nnnnxn 112(41)5lim2(45)5nnnnnnRn 收敛半径52 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数故收敛域为当时，52x 级数发散；0141nn 当时，52x 级数收敛0(1)41nnn 5
15、5,)22 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数15(3)(9)nnnnxn 115(3)lim5(3)1nnnnnnRn 收敛半径15 当时，15x 发散，11nn 1(3)5nnnn 收敛，12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数所以级数发散；11(3)5nnnnn 当时，15x 收敛，1(1)nnn 135nnnn 收敛，1(1)35nnnnnn 所以级数收敛故收敛域为1 1,)5 5 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数1(1)(10)32nnnnnnxx 111(1)32lim(1)32nnnnnnnR 收敛半径13 当时，13x 收敛，1(1
16、)6nnn 11n 发散，方法方法11(1)32nnnnnnxx 1(1)3 2nnnnnx 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数所以级数发散；1(1)16nnn 当时，13x 收敛，116nn 1(1)nn 发散，11(1)6nnn 所以级数发散故收敛域为1 1(,)3 3 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数1(1)(10)32nnnnnnxx 11(1)2lim(1)2nnnnnR 收敛半径2 先讨论级数方法方法2利用幂级数的性质讨论1(1)2nnnnx 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数113lim3nnnnnxRx 收敛半径13 再讨论级数1
17、3nnnx 1(1)32nnnnnnxx 所以级数收敛半径13R 又因为在级数的收敛区间内，13x 1(1)2nnnnx 所以级数收敛，故只需讨论级数即可，13nnnx 方法同1。12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数21(12)(1)2nnnnnx 1limnnnuu 利用比值判别法级数收敛；此级数缺奇数幂项，此级数缺奇数幂项，不能直接用公式求半径不能直接用公式求半径1222(21)2lim(1)2nnnnnnnxnnx 22x 当即时，221x 12x 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数所以收敛半径为级数发散当即时，221x 12x 12R 当时，12x 1(1
18、)nnn 级数为发散故级数的收敛域为11(,)22 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数21(13)2(3)nnnx 1limnnnuu 利用比值判别法此级数是非标准型级数且缺奇数幂项此级数是非标准型级数且缺奇数幂项12222lim2nnnnntt 22t 讨论级数令，3tx212nnnt 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数所以收敛半径为级数收敛；当即时，221t 12t 12R 当时，12t 11n 级数为发散11(,)22 级数发散当即时，221t 12t 故级数的收敛域为212nnnt 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数又因为3tx当时，113
19、22x原级数收敛，故原级数的收敛域为212(3)nnnx 解得113322x 11(3,3)22 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数11(23)(14)(1)21nnnxn 11(1)221lim(1)221nnnnnnRn 收敛半径12 当时，12t 收敛；11(1)21nnn 令，32tx讨论级数11(1)221nnnntn 1132()2(1)21nnnnxn 注意：此处要令注意：此处要令若令若令则原级数的收敛半则原级数的收敛半径与新级数的收敛径与新级数的收敛半径会不相同半径会不相同32tx 23tx 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数故原级数的收敛域为1
20、 1(,2 2 当时，12t 发散1121nn 又，32tx11(1)221nnnntn 所以级数的收敛域为当时，原级数收敛131222x解得12x(1,212/5/2022【例例7】（P311第10题）求下列级数的收敛域，并求和函数1(3)(1)nnn nx 第七章第七章 无穷级数无穷级数111(4)2nnnxn 12/5/2022解解1(3)(1)nnn nx 第七章第七章 无穷级数无穷级数11(1)nnxn nx 令11()(1),nnf xn nx 两边积分1001()(1)xxnnf x dxn nxdx 1(1)nnnx 收敛半径(1)lim(1)(2)nn nRnn 1 当时，级
21、数发散，1x 故收敛域为(1,1)1(1)nnn nx 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数故2()()1xg xx 1(1)nnn nx 222(1)xxx 222()(1)xxf xx 32(1)x ()xf x 32(1)xx 001()(1)xxnng x dxnxdx 11nnx 21xx 令1()(1)nng xnx 两边积分(1,1)x 12/5/2022解解111(4)2nnnxn 第七章第七章 无穷级数无穷级数111()(0)2nnxxxn 收敛半径112lim1(1)2nnnnRn 2 当时，级数发散；2x 当时，级数收敛2x 收敛域为。2,2)1112nnnx
22、n 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数还原变量，得x()ln 1f tt 11()ln 122nnxxn ()(0)f tf001()1ttft dtdtt ln 1t 11()nnftt 再两边积分11t 令,2xt 11()nnf ttn 两边求导(0)0f 12/5/20221112nnnxn 第七章第七章 无穷级数无穷级数故1ln 1(0,2,2)2xxxx 1(0)2x 1ln(1)(0,2,2)2xxxx 1(0)2x 12/5/2022【例例8】（P312第12题）2(2)()cosf xx 第七章第七章 无穷级数无穷级数2(6)()23xf xxx 级数，并确定收
23、敛域利用已知展开式把下列函数展开为的幂x12/5/2022解解2(2)()cosf xx 第七章第七章 无穷级数无穷级数242cos1(1)2!4!(2)!kkxxxxk 又因为1cos22x cos2x242(2)(2)(2)1(1)2!4!(2)!kkxxxk 故2()cosf xx 21(2)1(1)2(2)!kkkxk (,)x (,)x 12/5/2022解解2(6)()23xf xxx 第七章第七章 无穷级数无穷级数211(1)1kkxxxx 又因为故2()23xf xxx 111(1)43kkkkx (1)x 111()4 113xx 211()()33313kxxxx(1)3x
24、(1)x 12/5/2022【例例9】（P312第13题）(2)()lnf xx 第七章第七章 无穷级数无穷级数21(6)()ln54f xxx 幂级数，并确定收敛域利用已知展开式把下列函数展开为的2x 12/5/2022解解(2)()lnf xx 第七章第七章 无穷级数无穷级数21111(1)1kkxxxx 又因为ln(22)x(11)x 2ln2(1)2x 2ln2ln(1)2x 231(1)ln(1)23kkxxxxxk (11)x 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数故2(11)2x 2ln(1)2x 231222()()(1)()2222223kkxxxxk ()lnf
25、xx 231232(2)(2)(1)(2)ln2222232kkkxxxxk(04)x12/5/2022解解21(6)()ln54f xxx 第七章第七章 无穷级数无穷级数2(1(2)1)x 2ln1(2)x 462(2)(2)(2)23xxx 2ln(54)xx 2(1)(2)kkxk(13)x12/5/2022【例例10】证明下列级数收敛，并求和第七章第七章 无穷级数无穷级数11(1)(32)(31)nnn 1(2)(221)nnnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数11(1)(32)(31)nnn 11111 44 77 10(32)(31)nSnn11111111(
26、1)()()()34477103231nn11(1)331n 11limlim(1)331nnnSn 因为13 故级数收敛，且和为。1312/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数1(2)(221)nnnn (32 21)(42 32)(52 43)nS 1221nn1limlim(12)21nnnSnn因为12(221)nnn11221nn故级数收敛，且和为。12 12/5/2022【例例11】判定下列级数的敛散性第七章第七章 无穷级数无穷级数12!(1)nnnnn 13!(2)nnnnn 35211(3)(22)(22)(22)nn 21(4)1(2)nnnn 11(5)1()nn
27、nnnnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数12!(1)nnnnn 利用比值判别法1112(1)!(1)limlim2!nnnnnnnnnunnun 2lim()1nnnn 12lim1(1)nnn 21e故级数收敛。级数一般项中含级数一般项中含有时，一般要有时，一般要用用比值判别法比值判别法判判断敛散性断敛散性!n12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数13!(2)nnnnn 利用比值判别法1113(1)!(1)limlim3!nnnnnnnnnunnun 3lim()1nnnn 13lim1(1)nnn 31e故级数发散。12/5/2022解解第七章第七章
28、无穷级数无穷级数35211(3)(22)(22)(22)nn 利用比值判别法3521233521(22)(22)(22)(22)lim(22)(22)(22)nnnn 故级数收敛。1limnnnuu 23lim(22)nn 21112/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数21(4)1(2)nnnn 利用根值判别法2limlim1(2)nnnnnnnun 112故级数收敛。级数一般项中含级数一般项中含有时，一般要有时，一般要用用根值判别法根值判别法判判断敛散性断敛散性nn2lim12nnnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数11(5)1()nnnnnnn 原级数发散
29、。111(1)()nnnnnnnnnnnn 1(1)nnnn 1en 0 知，所以级数发散，11(1)nnnnn 由比较判别法12/5/2022练习练习第七章第七章 无穷级数无穷级数11122(2)(21)nnnnnn 提示提示11(1)lnnnnn 1n 0 发散21(1)lnnnn 1111222221(2)0(21)()nnnnnnnnnn收敛（2）也可用比值判别法12/5/2022【例例12】判定下列级数的敛散性第七章第七章 无穷级数无穷级数12(1)(1)2nnn 31 2(1)(2)3n nnnn 222(3)nnnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数12(1)
30、(1)2nnn 故原级数收敛。思考思考：是否还有其它方法？比值、根值？2(1)2nn 而级数收敛，1131322nnnn 21322nn 0 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数31 2(1)(2)3n nnnn 故原级数收敛。3 2(1)3n nnn 31113(1)213limlim 213nnnnnnnnnuun 对级数31 213nnnn 213 1 所以收敛，31 213nnnn 3 213nnn 0 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数222(3)nnnn 22nnn 1241lim(22)nnnnn 2 而级数仅当收敛，1121nn 111()22
31、故其它情况均发散。原级数当时收敛，12 4(22)nnn 0 12/5/2022【例例13】求下列函数项级数的收敛域第七章第七章 无穷级数无穷级数1(1)nnnx 1(1)1(2)()21 1nnnxnx 1(3)()1 21nnnxnx 213(4)(1)2nnnnnnxx 212 sin(5)nnnxn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数1nnnt 收敛半径令，1tx 则1nnnx 1(1)nnnx lim1nnRn 1,当时级数发散1t 级数的收敛域为1nnnt 1,t 则11x 1x 故原级数收敛域为。1x 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数收敛半径
32、令1,1xtx 则1(1)1(2)()21 1nnnxnx 11(1)1(1)()21 121nnnnnnxtnxn 121lim1121nnRn 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数111,1xx 即11t 1(1)21nnntn 级数的收敛域为0 x 解得故原级数收敛域为。0 x 当时级数收敛；1t 当时级数发散1t 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数收敛半径令,21xtx 则1(3)()1 21nnnxnx 1lim112nnnRnn 11()1 211nnnnnxntnxn 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数11,21xx 即11t 故原级数
33、收敛域为。1132xx 或11nnntn 级数的收敛域为当时级数均发散1t 解得1132xx 或12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数收敛半径令(1),txx则213(4)(1)2nnnnnnxx 222132lim(1)32nnnnnnRn 221133(1)22nnnnnnnnnnnxxt29 当时级数均发散29t 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数故原级数收敛域为22(1),99xx即2132nnnnnt 级数的收敛域为解得2299t317123176336xx或317123176336xx或12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数收敛半径令sin
34、,tx 则212 sin(5)nnnxn 2122lim2(1)nnnnRn 12 当时级数均收敛12t 22112 sin2nnnnnnxtnn 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数故原级数收敛域为11sin,22x即212nnntn 级数的收敛域为解得1122t(0,1,2,)66kxkk(0,1,2,)66kxkk12/5/2022【例例14】求下列幂级数的收敛域第七章第七章 无穷级数无穷级数13(2)(1)(1)nnnnxn 211(2)(1)nnnxn 21(3)()(0)nnnnabxabnn 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数收敛半径13(2)(1)
35、(1)nnnnxn 113(2)lim3(2)1nnnnnnRn 13 当时，13t 令，1tx113(2)3(2)(1)nnnnnnnnxtnn 13(2)nnnntn 111(1)2()3nnnnnn 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数1limnnnuu 213当时，13t 1(1)2()3nnnn 考虑级数11(1)2()13lim(1)2()3nnnnnnn 所以级数收敛，1(1)2()3nnnn 11nn 而级数发散，13(2)nnnntn 发散；12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数当时，13t 1133t两级数均收敛，原级数的收敛域为13(2)nnnntn
36、 收敛当时，13t 13(2)nnnntn 11(1)1 2()3nnnnnn 所以级数收敛域为13(2)nnnntn 11133x4233x 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数收敛半径211(2)(1)nnnxn 21lim1(1)nnnRn 1e 当时，1xe 10 211(1)(1)()nnnnen 级数发散，收敛域为1 1(,)e e 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数21(3)()(0)nnnnabxabnn 考虑两个级数和1nnnaxn 21nnnbxn 收敛半径分别为和11Ra 21Rb 所以原级数的收敛半径为121min(,)RR Rb1nn
37、naxn 收敛当时，xR 1b Why?12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数所以原级数收敛21nnnbxn 1nnnaxn 收敛当时，xR 1b 211()nnnbnb 21(1)nnn 收敛21nnnbxn 211()nnnbnb 211nn 收敛故原级数收敛域为。1 1,b b 12/5/2022【例例15】求下列幂级数的和函数第七章第七章 无穷级数无穷级数24(1)12!4!xx23(2)1 22 33 4xxx12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数由于24(1)12!4!xx222(22)!lim(2)!nnnxnxn 0 设20(2)!nnxn 收敛域为(,
38、)24()1,2!4!xxS x 35()3!5!xxS xx 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数两式相加得2412!4!xx234512!3!4!5!xxxxx()()S xS x xe 234512!3!4!5!xxxxx()()S xS x xe()2xxeeS x 即20(2)!nnxn 2xxee 12/5/2022解解第七章第七章 无穷级数无穷级数由于23(2)1 22 33 4xxx1(1)lim1(1)(2)nn nRnn 1 1(1)nnxn n 故收敛域为 1,1 1x 当级数均收敛，12/5/2022令第七章第七章 无穷级数无穷级数23()1 22 33 4
39、xxxS x 1(1)nnxn n 逐项求导再积分得111nnnnxxnn 1111(0)1nnnnxxxnxn 23()1 22 33 4xxxS x 11ln(1)xxx(11,0)xx 0(0)x (1)x 112/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数考研真题部分考研真题部分12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数敛，（2012）解解级数 条件收敛，21(1)nnn 11()0()122AB则 的范围为（）33()1()222CD11(1)sinnnnn 绝对收敛 【例例16】已知级数 绝对收11(1)sinnnnn 32 21(1)nnn 条件收敛12 322 故选DD1
40、2/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数域及和函数。（2012）解解 【例例17】求幂级数 的收敛22044321nnnnxn 1limnnnuu 2x 2224(1)4(1)32(1)1lim44321nnnnxnnn 1x 时，级数发散，故收敛域为(1,1)级数收敛；当 时，211xx当 时，1x 级数发散，12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数设220443()21nnnnS xxn (0)x 202(21)21nnnxn 2210021(21)21nnnnnxxxn 2120002xnnnnxxdxx 22021()11xxdxxxx 222111ln(1)1xxxxx
41、12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数故级数的和函数为222111ln,0()(1)13,0 xxxS xxxxx 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数（2011）解解1(1)nnnax 则幂级数()(1,1()1,1)()0,2)()(0,2ABCD 【例例18】设数列 单调减少，na无界，1(1,2,)nnkkSan Clim0nna 的收敛域为（）部分和数列 无界1nnkkSa 1nna 发散1t 因此当 时，1nnna t 收敛；12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数级数收敛，0,2)1(1)nnnax 的收敛域为 ，1nnna t 是交错级数，1t 当
42、 时，条件和莱布尼茨定理知，由已知由阿贝尔定理得，则原级1nnna t 级数 的收敛域为 ，1,1)故选 。C12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数的是（）（2011）【例例19】设 是数列，nuA则下列结论正确若 收敛，1()nnAu 2121()nnnuu 则 收敛1nnu 则 收敛若 收敛，2121()()nnnBuu 若 收敛，1()nnCu 2121()nnnuu 则 收敛1nnu 则 收敛若 收敛，2121()()nnnDuu 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数解解2121()nnnuu 所以 收敛。结论的逆命题不一定正确，A故选 。若 收敛，1nnu 则任
43、意加括号后所得的级数一定收敛，但此12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数和函数。（2010）解解 【例例20】求幂级数 的收敛域及121(1)21nnnxn 1limnnnuu 22121lim121nnxxn 1x 时，级数收敛，级数收敛；当 时，211xx当 时，1x 级数发散，故收敛域为 1,1 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数121(1)()21nnnS xxn 设1211(1)21nnnxxn 12201(1)xnnnxxdx 2011xxdxx arctanxx 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数（2009）解解半径为【例例21】幂级数的收敛
44、21(1)nnnnexn 2112(1)lim(1)(1)nnnnnenRen 11(1)lim(1)nnnnnee 1111()lim11()nnneeee 1e 1e12/5/2022【例例22】已知连续复利为0.05，第七章第七章 无穷级数无穷级数现存入a（2008）解解由题意得万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，109n n，第 年取出万元，问至少为多a少时，可以一直取下去？连续复利公式连续复利公式0.05tPae a 0.0519e 0.05 228e 0.05(109)nn e0.05110nne 0.0519nnne 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数0.
45、05110nne 0.050.05101ee 令0.051()9nxnf xne 0.050.05119()xxnnen e 0.0519()xnnet 0.059()1xtet 0.05219(1)xet 0.050.0529(1)xxee 0.05xte 12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数a 0.050.10.0521910(1)eee 0.0519nnne 0.050.05101ee (1)f 所以0.050.0529(1)ee 0.050.0529(1)ee 3794.29（万元）因此至少要存入3794.29万元。12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数【例例23】将函数展开成21()34f xxx 的幂级数，1x （2007）解解21()34f xxx 111()541xx11153(1)2(1)xx11111115101132xx 并求出其收敛区间12/5/2022第七章第七章 无穷级数无穷级数01(1)153nnnx 01(1)(1)102nnnnx 111,132xx12x 由即收敛区间13x 12/5/2022
