1、第一章第一章 向量与坐标向量与坐标 1.1 1.1 向量的概念向量的概念 1.2 1.2 向量的加法向量的加法 1.3 1.3 数量乘向量数量乘向量 1.4 1.4 向量的线性向量的线性 关系与分解关系与分解 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.10 1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积实例实例启示启示:两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果
2、是一个数量.Fs1M2M 一物体在常力一物体在常力 作用下沿直线从点作用下沿直线从点 移动移动到点到点 ,以表示位移以表示位移 ,则力所作的功为则力所作的功为 (其中其中 为为 与与 的夹角的夹角)|cosWFsF1M2MsFs 定义定义1.7.11.7.1 两向量两向量 和和 的模和它们夹角的模和它们夹角的余弦的乘积叫做的余弦的乘积叫做 和和 的数量积的数量积,记为记为 或或 ,即即 注注1 1 由定理由定理1.6.1,1.6.1,=射影射影 ,=,=射影射影 ,则则 射影射影 射影射影 .ababa b ab|cos(,).a ba ba b|cos(,)ba b ab|cos(,)aa
3、b ba|a ba|abbba 注注2 2 由注由注1 1有有,=,=射影射影 .注注3 3 定理定理1.7.11.7.1 证明证明:若若 ,则则 .如果如果 或或 ,则则 .如果如果a e ea22|.a aaa 0.aba b()cos(,)00.aba ba b ()0a b|cos(,)0a ba b|00a ba|0cos(,)0(,).2a ba ba bab 0b ab数量积的运算律数量积的运算律 定理定理1.7.21.7.2 数量积满足下面的运算规律数量积满足下面的运算规律 (1)(1)交换律交换律 (2)(2)结合律结合律 (3)(3)分配律分配律 (4)(4);a bb a
4、()()(),ababa b();abca cb c 20a aa(0)a 证明证明:若若 中有中有 ,则则(1)(4)(1)(4)显然成立显然成立.若若 中没有中没有 ,则则(1)(1)和和(4)(4)显然成立显然成立.(2)(2)若若 ,则等式成立则等式成立.若若 ,则则 射影射影 (射影射影 )(射影射影 ).).又又 所以所以,a b 0,a b 000()|abb()|babba|bba()a b()()()(),abbab aa b ()()().ababa b (3)(3)射影射影 (射影射影 射影射影 )射影射影 射影射影 推论推论 这说明向量的数量积遵循多项式乘法这说明向量的
5、数量积遵循多项式乘法.()|abcc()cab|ccacb|caccb|c.a cb c()()().abca cb c 例例1 1 证明证明:平行四边形对角线的平方和等平行四边形对角线的平方和等于各边平方和于各边平方和.证明证明:如图如图,中中,设设 ,则有则有 ,所以所以所以所以 ,即即OACBOACB,OAa OBb OCm BAn,mab nab 2222,maa bb 2222.naa bb 222222mnab2222|2|2|mnab 例例2 2 证明证明:如果一条直线与一个平面内的如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直两条相交直线都垂直,那么它和平面内的任那么它和平面内的
6、任何直线都垂直何直线都垂直,即垂直平面即垂直平面.证明证明:设直线设直线 与面与面 内的两相交直线内的两相交直线 垂直垂直,为面为面 内的任一直线内的任一直线,如图如图.下证下证 .在在 上分上分别取非零向量别取非零向量 ,则则n,a bcabcnnc,n a b c,n a b c 由于由于 相交相交,即即 不共线不共线,由由 共面共面,知存在知存在 ,使使则则所以所以 ,即即 .abcn,nanb0,n a 0.n b,a b,a b,a b c ,cab()()()0.n cnabn an b ncnc 例例3 3 证明证明:三角形的三高交于一点三角形的三高交于一点.证明证明:中中,高高
7、 交交于点于点 ,下证下证 .设设 ,.则则由于由于 ,则则ABC,AP BPPPCABPAa,PBb PCc ,.ABba BCcb CAac ,PABC PBCA ()0,acb()0.bacABCPabc所以所以即即 .所以所以所以三高交于一点所以三高交于一点.a ca bb ab c ()0bac ABCPabcABPC 直角坐标系下数量积的坐标运算直角坐标系下数量积的坐标运算 定理定理1.7.31.7.3 设设 则则 证明证明:111222,aX iY jZ k bX iY jZ k 121 212.a bX XYYZ Z 111222()()a bX iY jZ kX iY jZ
8、k 2121 211X X iX Y i jX Z i k 2121 212Y X j iYY jYZ j k 2121 212.Z X k iZ Y k jZ Z k 而而 是两两垂直的单位向量是两两垂直的单位向量,则有则有所以所以 推论推论 设设 ,则则,i j k 0,i jj i 0,i kk i 0,j kk j 22|1,ii22|1,jj22|1.kk121 212.a bX XYYZ Z aXiY jZk,.Xa i Ya j Za k 空间两点距离空间两点距离 由由 ,这样有这样有 定理定理1.7.4 1.7.4 设设 ,则则 证明证明:由定理由定理1.7.3,1.7.3,有
9、有所以所以222|aaaaaXiY jZk2222|.aaXYZ2222.aXYZ2222|.aaXYZ 定理定理1.7.51.7.5 空间两点空间两点 间的距离为间的距离为 证明证明:因为因为所以所以11112222(,),(,)P x y zP xy z222212121()()().dxxyyzz12212121,PPxx yy zz22212212121|()()().dPPxxyyzz向量的方向余弦向量的方向余弦 向量的方向角向量的方向角:向量与坐标轴所成的角向量与坐标轴所成的角.向量的方向余弦向量的方向余弦:方向角的余弦方向角的余弦.定理定理1.7.61.7.6 非零向量非零向量
10、的方的方向余弦是向余弦是aXiY jZk222cos,XXYZ222cos,YXYZ且且 ,其中其中 分别为分别为向量向量 与与 轴轴,轴轴,轴的交角轴的交角.证明证明:因为因为 ,且且 ,则则同理可证其余两式同理可证其余两式.注注:由该定理知模和方向余弦可决定向量由该定理知模和方向余弦可决定向量.,axyz222coscoscos1|cosa ia a iZ 222cos.XXYZ222cos.ZXYZ两向量的交角两向量的交角 定理定理1.7.7 1.7.7 设非零向量设非零向量 ,则则111aX iY jZ k222bX iY jZ kcos(,)|a ba ba b 121 212222
11、222111222X XYYZ ZXYZXYZ 证明证明:由由 立得结论立得结论.推论推论 与与 互互相垂直的充要条件是相垂直的充要条件是|cos(,),a ba ba b 121 212,a bX XYYZ Z 222111|,aXYZ222222|,bXYZ111aX iY jZ k222bX iY jZ k121 2120.X XYYZ Z 例例4 4 已经三点已经三点 ,且且 ,求求(1)(1)与与 的夹角的夹角,(2),(2)在在 上的射影上的射影.解解:(1):(1)由由 ,则则所以所以 (1,0,0),(3,1,1),(2,0,1)ABC,BCa CAb ABc abac 1,1
12、,0,1,0,1aBCbCA 1,|2,|2.a bab 1cos(,)2|a ba ba b (,).3a b (2)(2)由射影由射影 ,而而所以所以 射影射影|ca cac 2222,1,1|2116.cABc 1,1,0 2,1,13.a c 36.2|6ca cac 例例5 5 利用两向量的数量积证明柯西利用两向量的数量积证明柯西-施瓦施瓦茨茨(Cauchy-Schwarz)(Cauchy-Schwarz)不等式不等式 证明证明:令令 ,由由即得结论即得结论.333222111().iiiiiiiabab123123,aa a abb b b|cos(,)|a ba ba ba b
