1、随机变量随机变量2考虑投掷一颗均匀骰子,在各次试验中,会出现不同的点数,因此“出现的点数”是一个变量,它的可能取值为1,2,3,4,5,6中的一个值这说明可以用试验中“出现的点数”这个变量的所有可能取值以及取这些值的概率描述这个随机现象即可以用试验中用试验中“出现的点数出现的点数”这个变量的取值表这个变量的取值表示试验结果示试验结果,而这个变量是依试验结果而随机取值的随机变量随机变量3一般地,对于随机试验,若其试验结果可用一个变量的取值表示,这个变量取值带有随机性,并且取这些值的概率是确定的,则称这样的变量为随机变量随机变量,通常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量的取值随机变量的取值为具体数值
2、,可用小写字母x,y,z等表示离散型随机变量离散型随机变量4定义定义2 2.1.1若随机变量X的所有可能取值可以一一列举,即所有可能取值为有穷个或无穷可列个,则称随机变量X为离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量5描述离散型随机变量有两个要素,一个要素是它的所它的所有可能取值有可能取值,另一个要素是取这些值的概率取这些值的概率,这两个要素构成了离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,取这些值的概率依次为p1,p2,其概率分布的表示方法有两种其概率分布的表示方法有两种:1.列表法列表法 2.公式法公式法列表法列表法6概率分布列表如表Xx1x2Pp1
3、p2公式法公式法7概率分布用公式表示为PX=xi=pi(i=1,2,)离散型离散型随机变量性质随机变量性质8在离散型随机变量X的概率分布中,概率pi(i=1,2,)显然是非负的,又注意到事件X=x1,X=x2,构成一个完备事件组,当然其对应的概率之和应当等于1所以离散型随机变量所以离散型随机变量X X的概率分布具有下列性质的概率分布具有下列性质:性质性质1pi0(i=1,2,)性质性质2p1+p2+=1离散型随机变量离散型随机变量9离散型随机变量X在某范围内取值的概率,等于它在这个范围内一切可能取值对应的概率之和这个范围内一切可能取值对应的概率之和当离散型随机变量的概率分布被确定后,不仅知道它
4、取各个可能值的概率,而且还可以求出它在某范围内取值的概率,所以离散型随机变量的概率分布描述了相应的随机试验例例1 110投掷一枚均匀硬币投掷一枚均匀硬币1次次,求出现正面次数求出现正面次数X的的概率分布概率分布解:由于可能的试验结果只有出现反面与出现正面两种结果,因而离散型随机变量X的所有可能取值也只有0与1两个值例例1 111所以出现正面次数X的概率分布列表如表X01P两点两点分布分布12一般地,把只取0与1两个值且取值为1的概率等于p的离散型随机变量X所服从的概率分布称为参数为p的两点分布或两点分布或01分布分布.两点分布列表如表X01Pqp(0p1,p+q=1)例例2 213某商店销售某
5、种水果某商店销售某种水果,进货后第一天售出的概率为进货后第一天售出的概率为60%,每每500g的毛利为的毛利为6元元;第二天售出的概率为第二天售出的概率为30%,每每500g的毛利为的毛利为2元元;第三天售出的概率为第三天售出的概率为10%,每每500g的毛利为的毛利为-1元元.求销售此种水果每求销售此种水果每500g所得毛利所得毛利X元的概率分布元的概率分布解:离散型随机变量X的所有可能取值为-1,2及6,取这些值的概率依次为10%,30%及60%例例2 214所以销售此种水果每500g所得毛利X元的概率分布列表如表X-126P10%30%60%例例3 315某小组有某小组有6名男生与名男生
6、与4名女生名女生,任选任选3个人去参观个人去参观,求所求所选选3个人中男生数目个人中男生数目X的概率分布的概率分布解:离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,根据1.1古典概型计算概率的公式计算离散型随机变量X取这些值的概率例例3 316 事件X=0表示所选3个人中恰好有0名男生,即所选3个人中有0名男生与3名女生,其发生的概率为例例3 317 事件X=1表示所选3个人中恰好有1名男生,即所选3个人中有1名男生与2名女生,其发生的概率为例例3 318 事件X=2表示所选3个人中恰好有2名男生,即所选3个人中有2名男生与1名女生,其发生的概率为例例3 319 事件X=3表示所选3个人中恰
7、好有3名男生,即所选3个人中有3名男生与0名女生,其发生的概率为例例3 320所以所选3个人中男生数目X的概率分布列表如表X0123P例例4 421某人各次射击中靶与否互不影响某人各次射击中靶与否互不影响,且中靶的概率皆且中靶的概率皆为为p(0p1),现不停射击现不停射击,直至中靶为止直至中靶为止,求射击次求射击次数数X的概率分布的概率分布.解:离散型随机变量X的所有可能取值为全体正整数,即X=i(i=1,2,),根据1.3乘法公式的特殊情况及其推广计算离散型随机变量X取这些值的概率例例4 422 事件X=1表示第1次射击就中靶,其发生的概率为PX=1=p 事件X=2表示第1次射击脱靶且第2次
8、射击中靶,其发生的概率为PX=2=(1-p)p例例4 423 事件X=3表示第1次射击与第2次射击都脱靶且第3次射击中靶,其发生的概率为PX=3=(1-p)(1-p)p=(1-p)2p 例例4 424所以射击次数X的概率分布用公式表示为PX=i=(1-p)i-1p(i=1,2,)事件X=i表示前i-1次射击都脱靶且第i次射击中靶,其发生的概率为PX=i=(1-p)i-1p例例5 525设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布列表如表的概率分布列表如表X012P3c2cc则常数则常数c=解:根据离散型随机变量概率分布的性质2,有关系式3c+2c+c=1得到常数例例6 626设离散型随机变量设
9、离散型随机变量X服从参数为服从参数为p的两点分布的两点分布,且已且已知离散型随机变量知离散型随机变量X取取1的概率的概率p为它取为它取0的概率的概率q的的2倍倍,求参数求参数p的值的值解:根据离散型随机变量概率分布的性质2,有关系式p+q=1(0p1)又由题意得到关系式p=2q例例6 627解线性方程组所以参数分布列表的要求分布列表的要求28离散型随机变量的概率分布必须满足两个性质离散型随机变量的概率分布必须满足两个性质同时满足两个性质的表也一定可以作为某个离散型随机变量的概率分布当然,至少不满足一个性质的表不能作为离散型随机变量的概率分布例例7 729设设p为满足为满足0p1的常数的常数,则
10、表则表5-7表表5-10中中()可可以作为离散型随机变量以作为离散型随机变量X的的概率分布概率分布(a)X123Ppp-12-2pX123P(b)例例7 730X123P1-p(c)(d)X123Pp例例7 731首先考虑备选答案(a):由于事件X=2对应的p-10,说明不满足离散型随机变量概率分布的性质1,从而备选答案(a)落选例例7 732又由于说明还满足离散型随机变量概率分布的性质2从而备选答案(c)当选例例7 733更何况有说明还不满足离散型随机变量概率分布的性质2从而备选答案(d)当然更落选例例8 834已知离散型随机变量的概率分布列表如表已知离散型随机变量的概率分布列表如表X-40
11、367P试求试求:(1)概率概率P-1X6;(2)概率概率PX=1例例8 835解:(1)注意到在-1X6的范围内,离散型随机变量X的可能取值只有三个,即X=0,X=3及X=6,所以概率P-1X6=PX=0+PX=3+PX=6例例8 836(2)注意到离散型随机变量X的可能取值没有X=1,说明事件X=1是不可能事件,所以概率PX=1=0离散型离散型随机变量相互独立随机变量相互独立37最后给出离散型随机变量相互独立的概念最后给出离散型随机变量相互独立的概念:若离散型随机变量X,Y分别取任意实数所构成的两个事件相互独立,则称离散型随机变量离散型随机变量X,Y相互独相互独立立一般地,若n个离散型随机变量X1,X2,Xn分别取任意实数所构成的n个事件相互独立,则称n个离散型个离散型随机变量随机变量X1,X2,Xn相互独立相互独立38
