1、第四节幂函数与二次函数第四节幂函数与二次函数1二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质(1)二次函数解析式的三种形式二次函数解析式的三种形式一般式：一般式：f(x)_；顶点式：顶点式：f(x)_；零点式：零点式：f(x)_ax2bxc(a0)a(xh)2k(a0)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质函数函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象图象减减 增增 增增 减减 2.幂函数幂函数形如形如 _(R)的函数叫幂函数，其中的函数叫幂函数，其中x是是_，是常数是常数 yx自变量自变量3幂函数的性质幂函数的性质函数函数特征特征性质性质yxyx2y
2、x3yx1定义域定义域RRR0，)_值域值域R_R0，)_(0，)奇偶性奇偶性_偶偶奇奇/奇奇单调性单调性增增在在_上增上增在在(，0)上减上减_在在_上减上减在在(，0)上减上减定点定点(1,1)(，0)(0，)0，)(，0)奇奇(0，)(0，)增增增增1二次函数二次函数f(x)ax2bxc(a0)会是奇函数吗？会是奇函数吗？【提示【提示】不会当不会当b0时，时，f(x)为偶函数；当为偶函数；当b0时，时，f(x)是是非奇非偶函数非奇非偶函数2幂函数与指数函数有什么不同？幂函数与指数函数有什么不同？【提示【提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量本质区别在于自变量的位置不同，幂函数
3、的自变量在底数位置；而指数函数的自变量在指数位置在底数位置；而指数函数的自变量在指数位置【答案【答案】B2(2012银川调研银川调研)函数函数f(x)x2mx1的图象关于直线的图象关于直线x1对称的充要条件是对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1【答案【答案】A【答案【答案】B4函数函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则为偶函数，则f(x)在区间在区间(5，3)上上()A先减后增先减后增 B先增后减先增后减C单调递减单调递减 D单调递增单调递增【解析【解析】f(x)(m1)x22mx3为偶函数，为偶函数，2m0，m0.则则f(x)x23在在(5，3)上是增函数上是增函数【答案【
4、答案】D 求下列二次函数的解析式：求下列二次函数的解析式：(1)图象顶点坐标为图象顶点坐标为(2，1)，与，与y轴交点坐标为轴交点坐标为(0,11)；(2)已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(0)1且且f(x1)f(x)2x.【思路点拨【思路点拨】根据函数图象的特征及题设的条件构造方程组，根据函数图象的特征及题设的条件构造方程组，利用待定系数法求函数的解析式利用待定系数法求函数的解析式求二次函数的解析式求二次函数的解析式(2)设二次函数设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，由由f(0)1可知可知c1.又又f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)c(ax2bxc)2axab，由由f(x
5、1)f(x)2x，可得，可得2a2，ab0.因而因而a1，b1.所以所以f(x)x2x1.1二次函数的解析式有三种形式：二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；(3)两根式：两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2已知函数的类型，求其解析式，用待定系数已知函数的类型，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷捷 已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(2)1，f(1)1，且且f(x)的最大值是的最大值是8
6、，试确定此二次函数，试确定此二次函数函数函数f(x)x22ax1在闭区间在闭区间1,1上的最小值记为上的最小值记为g(a)(1)求求g(a)的解析式；的解析式；(2)求求g(a)的最大值的最大值【思路点拨【思路点拨】画出草图，借助几何直观，分画出草图，借助几何直观，分a1，1a1，a1三种情况讨论三种情况讨论求二次函数的最值求二次函数的最值【尝试解答【尝试解答】(1)函数函数f(x)可化为可化为f(x)(xa)21a2，其图，其图象的对称轴象的对称轴xa与所给区间与所给区间1,1呈现出如下图所示的三种位呈现出如下图所示的三种位置关系置关系结合图形分析如下：结合图形分析如下：当当a1时，时，f(
7、x)在在1,1上为减函数，上为减函数，故故g(a)f(1)22a.(2012中山模拟中山模拟)若二次函数若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足满足f(x1)f(x)2x，且，且f(0)1.(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)若在区间若在区间1,1上，不等式上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围【解【解】(1)由由f(0)1，得，得c1.因此因此f(x)ax2bx1.又又f(x1)f(x)2x.2axab2x.xR.二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思路点拨【思路点拨】(1)由条件，寻找由条件，寻找a，b，c满足的方程，从而满足的方程，
8、从而求出函数求出函数f(x)的解析式；的解析式；(2)根据绝对值定义，将根据绝对值定义，将g(x)转化二次转化二次函数函数(分段分段)，根据二次函数的图象和性质，利用零点存在定，根据二次函数的图象和性质，利用零点存在定理判定理判定幂函数及其性质幂函数及其性质 【解【解】由由f(x)在在(0，)上是减函数上是减函数m2m20，解之得，解之得2m1，又又mZ，m1,0，此时，均有此时，均有f(x)x2，图象关于，图象关于y轴对称轴对称因此因此f(x)x2(x0)，g(x)2xx2(x1)21(x0)，故函数故函数g(x)的最小值为的最小值为1.从从2011年全国各省市命题看，对二次函数、幂函数的考
9、年全国各省市命题看，对二次函数、幂函数的考查多以客观题为主，重点考查二次函数的应用，方程根的分布，查多以客观题为主，重点考查二次函数的应用，方程根的分布，并且蕴含分类讨论和转化化归等数学思想方法并且蕴含分类讨论和转化化归等数学思想方法思想方法之二分类讨论在二次函数中的应用思想方法之二分类讨论在二次函数中的应用(2012韶关调研韶关调研)设设a为实数，函数为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若若f(0)1，求，求a的取值范围；的取值范围；(2)求求f(x)的最小值的最小值【规范解答【规范解答】(1)f(0)a|a|1，a0，即，即a0.由由a21，知，知a1.则则a的取值范围是的取
10、值范围是(，1易错提示：易错提示：(1)讨论的过程中，忽视实数讨论的过程中，忽视实数a自身范围，导致自身范围，导致出错出错(2)求函数的最值时，找不到分类的标准：求函数的最值时，找不到分类的标准：a与与0的大小的大小(对对称轴与区间端点值的大小称轴与区间端点值的大小)，无从入手，无从入手(3)书写格式不规范，分类讨论的结果不能写在一起书写格式不规范，分类讨论的结果不能写在一起防范措施：防范措施：(1)将将f(x)化为分段函数，化为分段函数，f(x)的最小值分段求的最小值分段求解，最后要综合在一起解，最后要综合在一起(2)理解好二次函数的性质，是恰当确定分类标准的关理解好二次函数的性质，是恰当确定分类标准的关键键【解析【解析】B、D中不是偶函数，排除中不是偶函数，排除B、D，又，又yx2在在(0，)上增，上增，yx2在在(0，)上减，上减，函数函数yx2满足题意满足题意【答案【答案】A知知f(x)在在R上为增函数，上为增函数，f(2a2)f(a)，2a2a.解得解得2a1.【答案【答案】C
