1、第第4章章 流体动力学基础流体动力学基础u本章与上一章是整个流体力学的基础。本章与上一章是整个流体力学的基础。u第三章从几何上研究了流体的运动，但是这种研究并没第三章从几何上研究了流体的运动，但是这种研究并没有涉及到运动发生的原因。有涉及到运动发生的原因。u流体动力学的基本问题：流体与在其中运动着的物体之流体动力学的基本问题：流体与在其中运动着的物体之间的相互作用，以及由此物体运动而引起的流体运动规间的相互作用，以及由此物体运动而引起的流体运动规律。律。u要解决这一问题，必须研究流体运动与作用在流体上的要解决这一问题，必须研究流体运动与作用在流体上的力之间的关系。力之间的关系。u 流体也必须遵
2、循自然界中关于物质运动的普遍规律流体也必须遵循自然界中关于物质运动的普遍规律质质量守恒原理，牛顿第二定律，能量守恒原理，将这些普量守恒原理，牛顿第二定律，能量守恒原理，将这些普遍规律应用于流体运动这类物理现象，就可得到流体动遍规律应用于流体运动这类物理现象，就可得到流体动力学的基本方程。力学的基本方程。第第4章章 流体动力学基础流体动力学基础 质量守恒原理，牛顿第二定律，能量守恒原理的原始形式质量守恒原理，牛顿第二定律，能量守恒原理的原始形式都是对都是对“系统系统”写出来的，而在许多流体力学的实际问题中，写出来的，而在许多流体力学的实际问题中，采用采用“控制体控制体”的概念却方便得多。所以首先
3、要介绍的概念却方便得多。所以首先要介绍“系统系统”和和“控制体控制体”的概念。可先写出他们的基于的概念。可先写出他们的基于“系统系统”的表达式，的表达式，经过一定的变换，转化成基于经过一定的变换，转化成基于“控制体控制体”的规律。的规律。本章主要讲解上述基本定律在流体力学中的具体表达形式。本章主要讲解上述基本定律在流体力学中的具体表达形式。得到流体力学的基本方程，主要有：得到流体力学的基本方程，主要有：1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理 2 对控制体的流体力学积分方程对控制体的流体力学积分方程 3 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 4 粘性流体中的应力粘性流体中的应力
4、 5 微分形式的动量方程微分形式的动量方程Navier-Stokes方程方程1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理系统系统 包含着确定不变的物质的任何集合，称之为系统，系统包含着确定不变的物质的任何集合，称之为系统，系统以外的一切统称为外界。系统的边界是把系统和外界分开以外的一切统称为外界。系统的边界是把系统和外界分开的真实或假想的表面。的真实或假想的表面。在流体力学中，系统就是指由确定在流体力学中，系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团的流体质点所组成的流体团。流体力学中流体力学中“系统系统”的边界有如下特点：的边界有如下特点：（1）系统的边界随着流体一起运动。系统的边界
5、面形状系统的边界随着流体一起运动。系统的边界面形状和大小可以随时间变化。和大小可以随时间变化。（2）在系统的边界处没有质量交换，即没有流体进入或）在系统的边界处没有质量交换，即没有流体进入或跑出系统的边界。跑出系统的边界。（3）在系统的边界上，受到外界作用在系统的表面力。）在系统的边界上，受到外界作用在系统的表面力。（4）在系统边界上可以有能量交换。）在系统边界上可以有能量交换。1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理u只有有了严格而明确的只有有了严格而明确的“系统系统”的定义以后，诸如质量，的定义以后，诸如质量，力，热，功等概念才有确切的含义。例如将牛顿第二定律力，热，功等概
6、念才有确切的含义。例如将牛顿第二定律应用于系统：应用于系统：F=ma。u如果采用如果采用“系统系统”来研究连续介质的流动，那就意味着采来研究连续介质的流动，那就意味着采用用拉格朗日观点拉格朗日观点。即以确定的流体指点所组成的流体团作。即以确定的流体指点所组成的流体团作为研究的对象。为研究的对象。u对于流体力学问题来说，往往对各个流体质点在不同时刻对于流体力学问题来说，往往对各个流体质点在不同时刻所占据的位置，以及他们所具有的各物理量的值不感兴趣，所占据的位置，以及他们所具有的各物理量的值不感兴趣，而感兴趣的往往是流体流过坐标系中某些固定位置时的情而感兴趣的往往是流体流过坐标系中某些固定位置时的
7、情况。况。u由此可见，在处理流体力学问题时，采用由此可见，在处理流体力学问题时，采用欧拉法欧拉法更为方便，更为方便，与欧拉法对应的是与欧拉法对应的是“控制体控制体”的概念。的概念。1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理控制体控制体 被流体流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何被流体流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积，称之为控制体体积，称之为控制体（Control Volume)。控制体的边界面，。控制体的边界面，称为称为控制面控制面(Control Surface)，它总是封闭表面，占据控制，它总是封闭表面，占据控制体的流体质点是随着时间而改变的。体的流体
8、质点是随着时间而改变的。控制面有如下特点：控制面有如下特点：（1）控制体的边界（控制面）相对于坐标系是固定的。控制体的边界（控制面）相对于坐标系是固定的。（2）在控制面上可以有质量交换，既有流体跑进或跑出）在控制面上可以有质量交换，既有流体跑进或跑出控制面。控制面。（3）在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力。物体上的力。（4）在控制面上可以有能量交换。）在控制面上可以有能量交换。1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理 小结小结u系统对应拉格朗日方法，控制体对应欧拉法。系统对应拉格朗日方法，控制体对应欧拉法。u质量守恒定
9、律，动量守恒定律，能量守恒定律等物理质量守恒定律，动量守恒定律，能量守恒定律等物理规律定义在规律定义在“系统系统”上才有物理意义。上才有物理意义。u与与流体质点流体质点、“系统系统”对应的拉格朗日法所获得的物对应的拉格朗日法所获得的物理信息并不是流体力学感兴趣的，流体力学中普遍运理信息并不是流体力学感兴趣的，流体力学中普遍运用与用与空间点空间点、“控制体控制体”对应的欧拉法进行研究。对应的欧拉法进行研究。u解决问题的方法：运用基于解决问题的方法：运用基于“系统系统”的观点建立物理的观点建立物理规律，然后将建立的物理规律转化为基于规律，然后将建立的物理规律转化为基于“控制体控制体”物理规律表达式
10、。物理规律表达式。u转化的方法：转化的方法：雷诺输运定理雷诺输运定理1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理 雷诺输运定理雷诺输运定理u 在在t时刻，控制体和系统时刻，控制体和系统重合，重合，t 时间后系统运时间后系统运动到新位置，由图动到新位置，由图b的的II和和III两部分组成。而控两部分组成。而控制体不变，仍在原位置，制体不变，仍在原位置，由图由图b的的I和和II组成。组成。u 区域区域I中的流体可看作是中的流体可看作是在在t 时间内由控制体左时间内由控制体左半部分控制面半部分控制面CSI流入控流入控制体。制体。u 区域区域III中的流体可看作是在中的流体可看作是在t 时
11、间内由控制体右半部分控制面时间内由控制体右半部分控制面CSIII流出控制体。流出控制体。u 目标：目标：求系统内任意物理量随时间的变化情况。求系统内任意物理量随时间的变化情况。1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理u设设(r,t)是流场内定义的单位体积流体的物理分布函数。是流场内定义的单位体积流体的物理分布函数。在系统内所包含的总物理量为：在系统内所包含的总物理量为：式中，式中，可以代表不同的物理量。如可以代表不同的物理量。如表示密度，则表示密度，则N为为系统的总质量。如系统的总质量。如表示单位体积流体的动量表示单位体积流体的动量V或动能或动能V 2/2，则，则 N 分别表示
12、系统的总动量和总动能。分别表示系统的总动量和总动能。u根据物质导数的定义：根据物质导数的定义：Nd 0000limlimlimlimsyssystsysCVIIIIsysCVCVCVIIIItttNttNtDNDttNttNttNttNttNtNtNttNtNttNttDNDtttt建立系统与控制建立系统与控制体之间的联系体之间的联系1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理上式右边第一项：上式右边第一项：000limlimlimCVCVIIIItttNttNtNttNttDNDtttt 0limCVCVCVCVtNttNtNdttt 第二项第二项1()000 11limliml
13、imIIII ttCSCStttdV n S tNttdV ndS tV ndSttt 注意负号注意负号 第三项第三项2()000 11limlimlimIIIIIIIIIIII ttCSCStttdV n StNttdV ndS tV ndSttt 1 系统和控制体，雷诺输运定理系统和控制体，雷诺输运定理雷诺输运公式雷诺输运公式 表示某物理量的系统导数，等于单位时间内，控制体中所含表示某物理量的系统导数，等于单位时间内，控制体中所含物理量的增量与通过控制面流出的相应物理量之和。物理量的增量与通过控制面流出的相应物理量之和。物理意义：物理意义：u 左边代表定义在系统上的变量左边代表定义在系统上
14、的变量 N 对时间的变化率。对时间的变化率。u 右边第一项表示定义在固定控制体内的变量右边第一项表示定义在固定控制体内的变量 N 对时间的变化对时间的变化率。它是由于率。它是由于分布函数分布函数的不定常性的不定常性引起的；引起的；u 右边第二项表示变量右边第二项表示变量 N 流出控制体的净流率，积分在整个控流出控制体的净流率，积分在整个控制面上进行，此项是制面上进行，此项是由于由于的不均匀性、系统的空间位置和体积的不均匀性、系统的空间位置和体积随时间改变随时间改变而引起的。而引起的。u 它把定义在系统上的物质导数和控制体联系起来。它把定义在系统上的物质导数和控制体联系起来。IIIICVCSCS
15、CVCSDNdV ndSV ndSdV ndSDttt 2 对控制体的流体力学积分方程对控制体的流体力学积分方程 本节将运用雷诺输运定理推导基于控制体的本节将运用雷诺输运定理推导基于控制体的连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。2.1 连续方程连续方程2.2 动量方程动量方程2.3 动量矩方程动量矩方程2.4 能量方程能量方程2.1 连续方程连续方程 在流场内取一系统，其体积为在流场内取一系统，其体积为，则系统内的流体质量为则系统内的流体质量为 Md 根据质量守恒定律根据质量守恒定律 此式即为拉格此式即为拉格朗日型的积分形式的连续性方程朗日型的积分
16、形式的连续性方程。运用雷诺输运定理，此时运用雷诺输运定理，此时N=M,=于是有：于是有：此式即为欧拉型的积分形式的连续性方程此式即为欧拉型的积分形式的连续性方程。第一项表示控制。第一项表示控制体内的流体质量变化率，第二项表示流出控制体的质量流率。体内的流体质量变化率，第二项表示流出控制体的质量流率。上述公式表示上述公式表示单位时间内控制体内流体质量的增加与流出流单位时间内控制体内流体质量的增加与流出流体质量之和等于零体质量之和等于零。0DMDdDtDt 0CVCSdV ndSt sysCVCSDddV ndSDtt 2.1 连续方程连续方程 公式应用公式应用u 对于均质不可压缩流体，对于均质不
17、可压缩流体，为常数，式中第一项：为常数，式中第一项：0CVCSdV ndSt 0CVCVVddttt 公式简化为：公式简化为：定常与非定常均可定常与非定常均可0CSV ndSu 对于定常流动，式中第一项：对于定常流动，式中第一项：此时此时0CVdt 0CSV ndS上述情况如果仅在有限区域流入或流出上述情况如果仅在有限区域流入或流出0CSV ndSmn的方向为垂直与控制面向外为正，故流入为负，流出为正。的方向为垂直与控制面向外为正，故流入为负，流出为正。2.1 连续方程连续方程 例题例题4-1221122111122112200CVCSwaCVwwwwCSwwwwwwdV ndStdShS H
18、httthdhSStdtV ndSV SV SdhSV SV SdtdhSV SV SdtV SV SdhdtS 空气质量恒定，空气质量恒定，此项为零此项为零 0 02.2 动量方程动量方程u即牛顿第二定律在流体力学中的应用即牛顿第二定律在流体力学中的应用u动量定理：系统的动量动量定理：系统的动量 k 对于时间的变化率等于外界作对于时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力（体积力和表面力），即用在该系统上的合力（体积力和表面力），即,BSCVBSCVDkFkVdFFFDtDVdFFDtu上式即为拉格朗日型的积分形式的动量方程。上式即为拉格朗日型的积分形式的动量方程。u运用雷诺输运定理，此时运用
19、雷诺输运定理，此时N=k,=V于是有：于是有：BSCVCSDkVdVV ndSFFFDttu上式即为欧拉型的积分形式的动量方程上式即为欧拉型的积分形式的动量方程.sysCVCSDddV ndSDtt 2.2 动量方程动量方程nCVCSFfdp dSu作用在系统上的外力主要有作用在系统上的外力主要有质量力质量力和和表面力表面力。质量力主要。质量力主要考虑重力，其他质量力还有磁场力，电场力。表面力主要考虑重力，其他质量力还有磁场力，电场力。表面力主要有正应力和切应力。有正应力和切应力。uV是相对于控制体的速度。是相对于控制体的速度。是通过面积微元是通过面积微元dS的动量流率，是矢量。在整个控制面上
20、积分表示通过控制的动量流率，是矢量。在整个控制面上积分表示通过控制面的净动量流率。面的净动量流率。u在直角坐标系三个坐标方向的分量分别为：在直角坐标系三个坐标方向的分量分别为：VV ndSxBxSxCVCSyBySyCVCSzBzSzCVCSFFFuduV ndStFFFvdvV ndStFFFwdwV ndStBSCVCSVdVV ndSFFt2.2 动量方程动量方程应用动量方程的基本步骤：应用动量方程的基本步骤：u 画出合理的控制体。画出合理的控制体。u 建立合理的坐标系建立合理的坐标系，由坐标方向来判断由坐标方向来判断Fx、Fy、Fz 以及以及u、v、w的的正负。正负。的正负由矢量点积的
21、正负由矢量点积它们的夹角是否它们的夹角是否大于大于90度进行判断，度进行判断，n 的方向为垂直于控制面向外为的方向为垂直于控制面向外为正，一般流入为负，流出为正。正，一般流入为负，流出为正。V ndS2.2 动量方程的应用动量方程的应用u例题例题4-2已知：已知：，Q0，V1=V2=V0，定常定常，均匀流动均匀流动，不计质不计质量力量力。求求Q1，Q2及挡板所受及挡板所受的作用力。的作用力。BSCVCSVdVV ndSFFt01200001 12201220000000sinsin:CSCSCSCSSSSySSCSCV ndSS VSVS VQQQFVV ndSVV ndSvV ndSvV n
22、dSvV ndSvV ndSvV ndSVVdSV SFVyV ndSuVdSxn方向方向0120001112220100112201202120cos01 coscos0201 cos2SSSSxVVVuV ndSuV ndSuV ndSVVSV VSVV SFQQV QVQV QQQQQQ 连续方程连续方程动量方程动量方程2.2 动量方程动量方程u例题例题4-3水流过一段水流过一段90o的渐缩弯的渐缩弯头，进口截面绝对压强头，进口截面绝对压强P1=221 KPa,横截面积横截面积S1=0.01 m2，出口截面积，出口截面积S2=0.0025 m2，速度，速度V2=16 m/s，压强则为大，
23、压强则为大气压强气压强pa=101 KPa。流流动是定常的动是定常的，忽略质量忽略质量力和摩擦力力和摩擦力，求对弯头，求对弯头的支撑力。水的密度的支撑力。水的密度=999 kg/m311122212111112211111 00.0025164/0.01 ,00CSxxaxCCSCSCSSSCSV ndSV SV SSVVm sSFu V ndSFppSRuVuV V ndSu V ndSV ndSFV V ndSxVV dSV Sp 方向：121112311111222222223221.36 10 ,0,0.639 10axxayyyCSCSCSSypSRV SRppSV SNFv V n
24、dSFRvvVV V ndSv V ndSVVdSV SRV SyN 方向：运用连续方程求出口速度运用连续方程求出口速度 动量方程，投影到动量方程，投影到X，Y方向求解方向求解2.2 动量方程动量方程u例题例题4-4通过一漏斗将砂子装上一水通过一漏斗将砂子装上一水平传送带，传送带的水平速平传送带，传送带的水平速度为速度为度为速度为Vb=0.9 m/s。砂。砂子从漏斗垂直下落的速度为子从漏斗垂直下落的速度为Vs=1.5 m/s，其质量为，其质量为230 kg/s。初始时刻传送带是空初始时刻传送带是空载的载的，忽略驱动系统和滚子忽略驱动系统和滚子的摩擦力的摩擦力，求，求当开始装砂当开始装砂时，时，
25、传送带所受的拉力传送带所受的拉力T.11122212 0,0,0 Continum Eq.xCVCSCVbbsCVCVsbsbsbsbCVCSsCVCSFu du V ndStTu duV SuV Stuuu dVdV MMVMTV MVMVttttdV ndStMdV ndStt 111211 207 SSSsbbSySSSCVCSCSV dSV SMTVVV SNtFv dv V ndSv V ndSVV SV St 2.2 动量方程动量方程伯努利方程的推导伯努利方程的推导n从流场中取一段长为从流场中取一段长为l 的的流管元。取流管侧面和两流管元。取流管侧面和两端面所包围的空间为控制端面所
26、包围的空间为控制体。体。n假设流动假设流动是定常和无摩擦是定常和无摩擦的，流体均质不可压缩的，流体均质不可压缩，进出口端参数如图所示。进出口端参数如图所示。n质量守恒，由于流动是定常的。连续方程为：质量守恒，由于流动是定常的。连续方程为：00CSV ndSVSVVSS2.2 动量方程动量方程伯努利方程的推导伯努利方程的推导u沿流线方向定常流动的动量方程为沿流线方向定常流动的动量方程为 122S lBllCSS lFFVV ndSpFpSppSSpSS pp S sin220BlllCSlCSSSFg VgSlg SzgS zVV ndSVVSVVSSVV ndSVVVSVVVSSVVSSV V
27、S 流管侧表面所受压力在流线流管侧表面所受压力在流线方向分量，压强取平均值方向分量，压强取平均值连续方程连续方程2.2 动量方程动量方程伯努利方程的推导伯努利方程的推导Spg SzV V S22 022ppVg zV Vg zpVgzC为常数，可直接积分为常数，可直接积分上式即为著名的伯努利方程。它的上式即为著名的伯努利方程。它的适用条件适用条件是：是：定常流动，无粘性摩擦，均质不可压缩流体，定常流动，无粘性摩擦，均质不可压缩流体，沿流线方向沿流线方向。2.2 动量方程动量方程伯努利方程的应用伯努利方程的应用例题例题4-5 P65 试利用伯努利方程计算例试利用伯努利方程计算例4-3中弯中弯管的
28、进口压强（绝对）管的进口压强（绝对）对弯管两端面写出伯努利方程：对弯管两端面写出伯努利方程：2211221222251212212.21 102aaapVpVgzgzppppVVP忽略质量力的影响忽略质量力的影响2.2 动量方程动量方程相对坐标系情况相对坐标系情况 前面推导雷诺输运定理时，假设控制体是静止的，如果控制前面推导雷诺输运定理时，假设控制体是静止的，如果控制体是运动的，可以选参考坐标系固连在这一运动控制体上，体是运动的，可以选参考坐标系固连在这一运动控制体上，流流体速度相对于运动坐标系测量。此时的雷诺输运定理为：体速度相对于运动坐标系测量。此时的雷诺输运定理为：sysrCVCSCVr
29、DNdVndSDttVVV 相应的连续方程和动量方程为：相应的连续方程和动量方程为：0rCVCSrrrBSCVCSdVndStV dVVndSFFFt 把原先流体的绝把原先流体的绝对速度用流体相对速度用流体相对于控制体的相对于控制体的相对速度代替即可。对速度代替即可。选用运动控制体在某些场合可以大大简化问题的求解过程。选用运动控制体在某些场合可以大大简化问题的求解过程。2.2 动量方程动量方程相对坐标系情况相对坐标系情况例题例题4-6速度为速度为V=30 m/s的射流从的射流从出口截面为出口截面为0.003 m2的固的固定喷嘴流出，冲击一转角定喷嘴流出，冲击一转角为为60o的光滑叶片使其沿的光
30、滑叶片使其沿水平方向以恒定速度水平方向以恒定速度U=10 m/s运动。试求保持叶运动。试求保持叶片作匀速运动所需作用于片作匀速运动所需作用于叶片上的力。叶片上的力。忽略质量力忽略质量力和粘性摩擦力和粘性摩擦力，流体密度，流体密度=999 kg/m3。已知流体。已知流体沿叶片表面运动时沿叶片表面运动时相对于相对于叶片的速度大小恒定不变叶片的速度大小恒定不变。rCSVndS 11rV S 2212121112222111121122211110,cos cos1599rrrrrCSxrrrrrrrrrCSrrrrrrxrrryrrCSV SVVSSFVVndSRuVndSuV SuV SuuV S
31、VVVUuVuVRuuV SVUVU SNRvVndSxyv 已知方向：已知方向：11122212122232222,0,sinsin1.04 10rrrrrrrrryrrV SvV SVVVUvvVRvV SVUSN已知连续方程连续方程动量方程动量方程2.3 动量矩方程动量矩方程u动量矩定理：系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外动量矩定理：系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用在系统上所有外力对于同一点的力矩之和。界作用在系统上所有外力对于同一点的力矩之和。SaxisDHTHrV dDtTrFrg dT 在雷诺输运方程中取：在雷诺输运方程中取：则则 =NHrV CVCSDHrV dr
32、V V ndSDtt SaxisCVCSrV drV V ndSrFrg dTt sysCVCSDddV ndSDtt 2.3 动量动量矩方程矩方程如果如果忽略表面力和对称质量力忽略表面力和对称质量力所产生的力矩，并且是所产生的力矩，并且是定常定常流动流动，动量矩方程可简化为：，动量矩方程可简化为：axisCSTrV V ndS在分析旋转流体机械时，往往仅应用上式沿转轴方向的分量在分析旋转流体机械时，往往仅应用上式沿转轴方向的分量方程，取方程，取Z轴与流体机械的转轴相重合。如果叶轮进出口截轴与流体机械的转轴相重合。如果叶轮进出口截面处面处流动是均匀流动是均匀的，并考虑到只有与旋转半径的，并考虑
33、到只有与旋转半径r垂直的速度垂直的速度分量才会产生转矩，于是沿转轴的标量形式的动量矩方程可分量才会产生转矩，于是沿转轴的标量形式的动量矩方程可写成：写成：为通过进口或出口截面的质量流量；为通过进口或出口截面的质量流量；V1和和V2分别为流体在进出口截面处的绝对速度沿叶轮切向分别为流体在进出口截面处的绝对速度沿叶轮切向的分量；的分量；r1和和r2分别为分别为V1和和V2 至转轴的距离。至转轴的距离。2211 axisTrVrVmm SaxisCVCSrV drV V ndSrFrg dTt 2.3 动量矩方程动量矩方程 各量的正负确定方法如下：各量的正负确定方法如下：u V1和和V2，当它们和叶
34、轮转动方向相同时为正，反之为负。，当它们和叶轮转动方向相同时为正，反之为负。2211 axisTrVrVm axisTu ，与叶轮转动方向相同时为正，反之为负。与叶轮转动方向相同时为正，反之为负。传递给叶轮的功率等于转矩与叶轮旋转角速度的乘积。传递给叶轮的功率等于转矩与叶轮旋转角速度的乘积。221122112211 1axisWTrVrVmU VU VmWhU VU Vgmg 表示单位重量流体通过叶轮后获得的能量，即增加的能表示单位重量流体通过叶轮后获得的能量，即增加的能量头。量头。h2.3 动量矩方程动量矩方程例题例题4-7一空气扇叶轮内外半径分别为一空气扇叶轮内外半径分别为r1和和r2，叶
35、片高叶片高h，空气以绝对速度，空气以绝对速度V1沿半径沿半径方向进入叶片方向进入叶片，而，而沿叶片切向离开沿叶片切向离开风扇转子风扇转子，其对叶轮的相对速度方，其对叶轮的相对速度方向和圆周切向成向和圆周切向成30o角。假设空气流角。假设空气流量量Q恒定，风扇以恒定角速度恒定，风扇以恒定角速度旋转，旋转，试求驱动此风扇所需的电机功率。试求驱动此风扇所需的电机功率。速度三角形旋转速度三角形旋转90度度22112222222222222222222222222222 (.434)cos302sin30cot302cot302cot302rrRRrWU VU VmU VmEqmQUrVVUVUVQr
36、hVVVQVUr hQWU VmQU VQ UUr hQQ rh 质量流量质量流量出口叶片端部的线速度出口叶片端部的线速度速度三角形速度三角形气流出口速度的切向分量气流出口速度的切向分量连续性方程连续性方程气流出口的径向速度气流出口的径向速度2.3 动量矩方程动量矩方程例题例题4-8一混流式水泵，其进口与出口一混流式水泵，其进口与出口直径分别为直径分别为R1和和R2，流体，流体轴向轴向进入进入水泵后，沿叶片流动，水泵后，沿叶片流动，并并逐渐地改变为沿径向流出逐渐地改变为沿径向流出，进，进口处的速度为口处的速度为V1，出口处相对，出口处相对于叶片的径向速度于叶片的径向速度Vr 2，流体，流体的体
37、积流量为的体积流量为Q，叶片出口处，叶片出口处的宽度为的宽度为b2，叶轮的旋转角速，叶轮的旋转角速度为度为，忽略质量力和摩擦力，忽略质量力和摩擦力的作用，并假定流动是定常的，的作用，并假定流动是定常的，试求：试求：（1）出口处相对于叶片的径）出口处相对于叶片的径向速度向速度Vr 2;（2）输入叶轮的转矩；）输入叶轮的转矩；（3）输入叶轮的功率。）输入叶轮的功率。211222222222 2122221122220,=02 2 2 rrraxisaxisaxisVVRmQVRVR bQVR bQVR bTR VRVmTRQWTRQ 2.3 动量矩方程动量矩方程例题例题4-8连续性方程连续性方程2
38、.3 动量矩方程动量矩方程例题例题4-102.3 动量矩方程动量矩方程例题例题4-10从洒水器的下方注入一股高压水流，上行至旋转管处分为两从洒水器的下方注入一股高压水流，上行至旋转管处分为两股，各沿旋转臂流动，至末端后经喷嘴沿切向喷出。设水流股，各沿旋转臂流动，至末端后经喷嘴沿切向喷出。设水流量为量为Q=1000 mL/s，并保持恒定，每个喷嘴出口面积都是，并保持恒定，每个喷嘴出口面积都是S2=30 mm2，旋转轴到喷嘴中心的半径是，旋转轴到喷嘴中心的半径是r2=200 mm。（1）求需施加多大的阻力矩方能保持洒水器不转；）求需施加多大的阻力矩方能保持洒水器不转；（2）求当洒水器以恒定角速度）
39、求当洒水器以恒定角速度500 rpm旋转时的阻力矩；旋转时的阻力矩；（3）设阻力矩为零，求洒水器的旋转角速度。）设阻力矩为零，求洒水器的旋转角速度。22222222222222222,00,216.7 m/s2(1)3.34 N m(2)rCVCSrinoutCSinoutrraxisaxisaxisrVVVmQrVVVrdVVndStVndSmmmQmSVQVSTrV mTrVQTrV m -222122222 1.25 N m(3)0 83.5()797 rpmaxisrrrmQTr VrQVr VrQsr -先用连续性方程先用连续性方程求出流体离开喷求出流体离开喷嘴的速度嘴的速度2.4
40、能量方程能量方程 根据能量守恒定理根据能量守恒定理2 2CVCSDEQWDtVEedeugzDEedeV ndSQWDtt 外界导入热量、对系外界导入热量、对系统做功时统做功时Q和和W取正取正值。值。根据雷诺输运方程，根据雷诺输运方程，此时此时N=E,=e W包括轴功和表面力包括轴功和表面力所作的功。表面力又所作的功。表面力又包括正应力和切向力。包括正应力和切向力。它们的做功功率分别它们的做功功率分别为：为：CSCSCSCSV ndSpV ndSdS VVdS其面积分可分以下三种情况来考虑：其面积分可分以下三种情况来考虑：1）如果控制面的部分表面为旋转轴表面，）如果控制面的部分表面为旋转轴表面
41、，则这部分表面上的切应力所作的共已归入则这部分表面上的切应力所作的共已归入轴功之中。轴功之中。2）部分控制面可能为静止固体表面，此）部分控制面可能为静止固体表面，此时时V=0,在这部分控制面上的积分为零。在这部分控制面上的积分为零。3）控制面表面是流体流进或流出控制体）控制面表面是流体流进或流出控制体的通道，此时可以通过恰当选择控制面方的通道，此时可以通过恰当选择控制面方位和形状使控制面和流体速度相互垂直，位和形状使控制面和流体速度相互垂直，即即与与V垂直，使其为零。垂直，使其为零。sysCVCSDddV ndSDtt 2.4 能量方程能量方程综上所述，外界对控制体做功功率可表示为：综上所述，
42、外界对控制体做功功率可表示为：2222axisCSaxisCVCSCSaxisCVCSaxisCSWWpV ndSedeV ndSQWpV ndStVpedugzV ndSQWtVpugzV ndSQW定常流动定常流动2.4 能量方程能量方程当流体速度当流体速度V和流动参数在进出口截面上均匀分布，且控和流动参数在进出口截面上均匀分布，且控制体只有一个进口和一个出口时。上式可简化为：制体只有一个进口和一个出口时。上式可简化为：22axisCSVpugzV ndSQW2222112211222122112222axisaxispVpVmugzugzQWVVmhgzhgzQWphu2.4 能量方程能
43、量方程例题例题4-10蒸汽进入汽轮机前速蒸汽进入汽轮机前速度为度为30 m/s，焓为，焓为3348 kJ/kg，离开汽，离开汽轮机时速度为轮机时速度为60 m/s，焓为焓为2550 kJ/kg，设，设汽轮机是绝热的，高汽轮机是绝热的，高度的变化可以忽略。度的变化可以忽略。求求1 kg蒸汽流过汽轮蒸汽流过汽轮机时所输出的功。机时所输出的功。2222112211222122112222axisaxispVpVmugzugzQWVVmhgzhgzQW0Q 绝热，绝热，忽略高度变化，可取忽略高度变化，可取Z1=Z22232121797 10/22axisWVVhhJ kgm 3 微分形式的连续方程微分
44、形式的连续方程u积分形式的连续方程、动量方程、动量矩方程和积分形式的连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。能量方程。u积分形式的流体力学方程对解决有关工程实际问积分形式的流体力学方程对解决有关工程实际问题非常有用。一般的工程问题只需知道界面上的题非常有用。一般的工程问题只需知道界面上的物理量如速度、温度、压强等的数值即可。物理量如速度、温度、压强等的数值即可。u针对有限大小控制体体积的积分方程不能提供控针对有限大小控制体体积的积分方程不能提供控制体内详细的物理量信息。制体内详细的物理量信息。u微分形式的流体力学方程微分形式的流体力学方程 针对空间某一点或某一微元控制体的。针对空间某一点或某
45、一微元控制体的。3 微分形式的连续方程微分形式的连续方程欧拉法推导欧拉法推导 平行六面体微元控制体平行六面体微元控制体 x 方向流入控制体的净质量流量方向流入控制体的净质量流量 =左端面左端面-右端面右端面 ux y zx 控制体内流体质量增长率控制体内流体质量增长率=通过界面流入控制体的质量流量通过界面流入控制体的质量流量u y z l 中间端面中间端面l 左端面左端面 x 向各端面的质量流量向各端面的质量流量l 右端面右端面2u y zu y zxx 2u y zu y zxx mx y ztt 控制体内流体质量增长率控制体内流体质量增长率vx y zy wx y zz x y zt 0
46、0uvwVxyz定常定常不可压缩不可压缩3 微分形式的连续方程微分形式的连续方程欧拉法推导欧拉法推导0DVDt ux y zx vx y zy wx y zz x y zt 0uvwtxyz0Vt0uvwuvwtxyzxyz0 0 uvwVxyz3 微分形式的连续方程微分形式的连续方程拉格朗日法推导拉格朗日法推导10dVdt0dmdtm0ddt0dddtdt110dddtdt3 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 由积分方程直接推导由积分方程直接推导0Vt0CVCSdV ndSt 0CVCVdV dt0CVVdt奥高公式奥高公式3 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 曲线坐标曲线坐标23
47、11321231231231H H VH H VH H VVH H Hxxx柱坐标：柱坐标：1231,1HHr H10rzrVVVrrrz11rzrzrVrVrVVVVVrrzrrrz10rzr VVVtrrrz10rzr VVVrrrz3 微分形式的连续方程微分形式的连续方程曲线坐标曲线坐标球坐标：球坐标：1231,sinHHr Hr22sin1110sinsinrr VVVrrrr22sinsin1sinrrVrVrVVrr22sin111sinsinrr VVVrrrr22sin1110sinsinrrVVVtrrrr22sin1110sinsinrrVVVrrrrH1,H2,H3的求法
48、的求法 2223H00 11xyzzzz cos,sin,xryrzz222221Hcossin01xyzrrr22222222Hcossin0 xyzrrr2223222222H sinsinsincos1sinxyzrrr H1,H2,H3的求法的求法sincos,sinsin,cosxryrzr222122222H sincossinsincos1xyzrrr22222222222H coscoscossinsinxyzrrrr4 粘性流体中粘性流体中的应力的应力 xxxyxzyxyyyzzxzyzz任意一点的应力任意一点的应力下标含义下标含义曲面上的应力曲面上的应力 直角坐标系中平面上
49、的应力直角坐标系中平面上的应力xxxyxz4 粘性粘性流体中流体中的应力的应力2xxxxxx2xxxxxx2yxyxyy2yxyxyy2zxzxzz2zxzxzz22 22 22xxxxSxxxxxyxyxyxyxzxzxzxzxxxFy zy zxxyyx zx zyyzzx yx yzz yxxxzxx y zxyz 微元控制体微元控制体上上 x 方向表面方向表面力的合力力的合力u左右面正应力左右面正应力u上下面切应力上下面切应力u前后面切应力前后面切应力4 粘性流体中的应力粘性流体中的应力微元控制体上微元控制体上x，y，z 方向表面力的合力：方向表面力的合力：xyyyzySyyzxzzz
50、SzFx y zxyzFx y zxyz yxxxzxSxFx y zxyz 5 微分形式的动量方程微分形式的动量方程N-S方程方程u将动量定理应用于流体微团。将动量定理应用于流体微团。xyyyzyyyzxzzzzdvfdtxyzdwfdtxyzdV mFdtmx y z SBFFFBFfx y z SdVx y zfx y zFdt SBdVx y zFFdt x y z xdufx y zdt yxxxzxx y zxyz yxxxzxxdufdtxyzduuuuuuvwdttxyz5 微分形式的动量方程微分形式的动量方程N-S方程方程本构本构方程方程2222332222332222332
