1、一、向量的数量积（内积）一、向量的数量积（内积）二、向量的向量积（外积）二、向量的向量积（外积）三、向量的混合积三、向量的混合积第三节第三节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为沿与力夹角为的直线移动的直线移动,W1.定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作数量积数量积(点积点积).引例引例.设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下,F位移为位移为 s,则力则力F 所做的功为所做的功为cossFWFs2Mbacosba的与为baba,s(scalar product)功的数量由功的数量由F与与s所唯一确定所唯一确定.数
2、数学上把这种运算抽象为数量积学上把这种运算抽象为数量积运算运算.ab cos|baba|cosPr j,abb|cosPr j,baa|Pr jba bba|Pr j.aab 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.数量积的性质：数量积的性质：0)2(ba.ba)(,0 ba,0|a,0|b,0cos .ba.|)1(2aaa )(,ba ,0cos .0cos|baba,0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2,2 数
3、量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数：),()()(bababa 若若 、为数为数：).()()(baba 问题问题：设设，0a若若caba则是否必有则是否必有.cb成立，成立，注意：注意：数与向量之间只有数乘运算数与向量之间只有数乘运算,没有点积运算没有点积运算,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量
4、积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例1解解已知已知,4,1,1 a,2,2,1 b求求(1);ba ab(2)与与的夹角的夹角;(1)ba.9 (2)222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 (3),Pr|ajbbab .3|Prbbaajb(3)在在 上的投影上的投影.ab2)4()2(111 例例2证证证明向量证明向
5、量c与向量与向量acbbca)()(垂直垂直.,0 cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacacb .)()(cacbbca 例例3证证用向量方法证明三角形三条高相交于一点用向量方法证明三角形三条高相交于一点.先作先作三角形两条高三角形两条高,得到交点得到交点P,P,再证明第三条再证明第三条设设AD,BE为三角形为三角形ABC 的边的边BC,AC上的高上的高,ABAPCAABCP)(若若CP垂直于垂直于AB,则则AB上的高也上的高也ACBEBCAD,则则.ABCP 高也经过点高也经过点P P即可即可.(.(如图所示）如图所示）并相交于并相交于P,P,ABCDEP过过P点。点
6、。故只需证故只需证)(CBACAPABCA0)(PBCAAPABCA例例4证证试用向量方法证明三角形的余弦定理试用向量方法证明三角形的余弦定理.如图所示如图所示,设在设在ABC 中中,BCA,|aCB ,|cAB ,|bCA 现要证现要证.cos2222 abbac 则有则有,bac 从而从而ccc 2|)()(baba babbaa 2.cos|2|22 baba 记记,aCB,bCA,cAB 由由,|aa ,|bb ,|cc 即得即得.cos2222 abbac ABCabc例例5解解设设ba3 与与ba57 垂直垂直,ba4 与与ba27 垂直垂直,与与求求ba之间的夹角之间的夹角.ba
7、ba573 所以所以0)57()3(baba即即(1)016|15|722 baba又又baba274 所以所以0)27()4(baba即即(2)030|8|722 baba例例5解解设设ba3 与与ba57 垂直垂直,ba4 与与ba27 垂直垂直,与与求求ba之间的夹角之间的夹角.(1)016|15|722 baba(2)030|8|722 baba例例5解解设设ba3 与与ba57 垂直垂直,ba4 与与ba27 垂直垂直,与与求求ba之间的夹角之间的夹角.(1)016|15|722 baba(2)030|8|722 baba联立方程联立方程(1),(2)得得baba 2|22所以所以|
8、,cosbababa .3,ba21 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点,有一个与杠杆夹角为有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量矩是一个向量 M:的力的力 F 作用在杠杆的作用在杠杆的 P点上点上,则力则力 F 作用在杠杆上的力作用在杠杆上的力FFMFM oP二、向量积的定义二、向量积的定义定义定义 2若由向量若由向量 与与 所确定的一个向量所确定的一个向量 满足满足abc下列条件下列条件:(1)c的指向按右手的指向按右手规则从规则从 转向转向 来确定来确定,ab如图如图
9、;(2)(其中其中 为为 与与 的夹角的夹角),ab则称向量则称向量 为向量为向量 与与 的的向量积向量积cab记为记为.bac 由向量积的定义由向量积的定义,(1).0 aaa,bc的方向既垂直于的方向既垂直于 又垂直于又垂直于c sin|bac 的模的模(或称或称外积外积、叉积叉积),即可推得即可推得:向量积的定义向量积的定义(1).0 aa注意到注意到:ba,0sin 即可得证即可得证.注注:等于以等于以 为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积,ba、.sin|baba 向量积符合下列运算规律向量积符合下列运算规律:(2)则则ba.0 ba(1);abba (2);)(cbca
10、cba (3).()()(bababa 分配律分配律:若若 为数为数:,0,0 ba 设设由向量积的定义可知由向量积的定义可知,即即bac 的模在数值上的模在数值上问题思考：问题思考：若若，caba则是否必有则是否必有？cb 看一个反例看一个反例:)011()001()110()001(，但但)011()110(，如若如若，caba成立，此时是否必有成立，此时是否必有？cb，caba这两个条件都这两个条件都向量积的运算向量积的运算设设,kbjbibbkajaiaazyxzyx ).()(kbjbibkajaiabazyxzyx ,0 kkjjii,jikikjkji .,jkiijkkij .
11、)()()(kbabajbabaibababaxyyxzxxzyzzy 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式利用三阶行列式表示成方便记忆的形式利用三阶行列式表示成方便记忆的形式:向量积的运算向量积的运算利用三阶行列式表示成方便记忆的形式利用三阶行列式表示成方便记忆的形式:.zyxzyxyxyxxzxzzyzybbbaaakjikbbaajbbaaibbaaba 因此因此,ba,zzyyxxbababa zzyxbaaa 00zyxbbb、不能同时为零不能同时为零,例如例如,.0,0 yxaa但允许两个为零但允许两个为零.例例6解解求与求与,423kjia kjib2 都垂直都垂直的单位向量的单
12、位向量.bac zyxzyxbbbaaakji 211423 kji,510kj|c|ccc .5152 kj22510 ,55 例例7解解在顶点为在顶点为、)2,1,1(A)2,6,5(B和和)1,3,1(C的三角形中的三角形中,求求边上的高边上的高AC.BD22216121521 ,225 三角形三角形ABC的面积为的面积为 ,3,4,0 AC ,0,5,4 AB|21ABACS ,5)3(4|22 AC又又|,|21BDACS 所以所以|,|521225BD 从而从而.5|BD例例8解解设向量设向量,m,np两两垂直两两垂直,符合右手规则符合右手规则,且且,4|m,2|n,3|p计算计算
13、.)(pnm|nm 124 依题意知依题意知同向同向,nm 与与p),(pnm pnm )(38 cos|pnm .24),sin(|nmnm ,8,0 例例9解解已知单位向量已知单位向量OA与三个坐标轴的夹角相等与三个坐标轴的夹角相等B是点是点M(1,-3,2)关于点关于点N(-1,2,1)的对称点的对称点,求求OBOA13|2OA依题意知依题意知)(kjiOA122,223,121zyx.33且且由此得由此得故故).333333(，OA再令再令B的坐标为的坐标为(x,y,z),则由则由得得B的坐标的坐标(-3,7,0),所以所以)073(，OB).10,3,7(33073333333kji
14、OBOA从而从而例例10证证利用向量积证明三角形正弦定理利用向量积证明三角形正弦定理.设设ABC 的三个内角为的三个内角为,三边长为三边长为cba,(如图如图).即即因为因为,CBACAB 所以所以ABAB,ABCBABAC 故故,0 ABCBABAC.ABCBABAC ABCBAC )(ABCbac 例例10证证利用向量积证明三角形正弦定理利用向量积证明三角形正弦定理.即即因为因为,CBACAB 所以所以ABAB,ABCBABAC 故故,0 ABCBABAC.ABCBABAC 例例10证证利用向量积证明三角形正弦定理利用向量积证明三角形正弦定理.即即因为因为,CBACAB 所以所以ABAB,
15、ABCBABAC 故故,0 ABCBABAC.ABCBABAC 故故.sinsin ba 即即,sinsin acbc 两边取模两边取模|,|ABCBABAC 例例10证证利用向量积证明三角形正弦定理利用向量积证明三角形正弦定理.即即.ABCBABAC 故故.sinsin ba 即即,sinsin acbc 两边取模两边取模|,|ABCBABAC 例例10证证利用向量积证明三角形正弦定理利用向量积证明三角形正弦定理.即即.ABCBABAC 故故.sinsin ba 即即,sinsin acbc 两边取模两边取模|,|ABCBABAC 同理可证同理可证.sinsin cb 因此因此,sinsin
16、sin cba 三角形正弦定理得证三角形正弦定理得证.三、向量的混合积向量的混合积1.定义定义 已知三向量已知三向量称数量称数量混合积混合积.记作记作为棱作的为棱作的为平行四边形的底面积为平行四边形的底面积,为底面上的高为底面上的高,故故hhAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以如图如图cosbaccba)(cbabacbacos|)(cbacba其中其中平行六面体的体积为平行六面体的体积为混合积的几何意义混合积的几何意义向量的混合积有下述几何向量的混合积有下述几何以向量以向量 为棱作为棱作cba、六面六面体的高为体的高为,h底面积为底面积为,A再记再记,dba 向
17、量向量c意义意义:一个平行六面体一个平行六面体,并记此并记此d的夹角为的夹角为.与与当当 与与 指向底面的同一侧指向底面的同一侧 时，时，dc)2/0(;cos|ch 当当 与与 指向底面的相异一侧指向底面的相异一侧 时，时，dc)2/(,cos|)cos(|cch acb a b d混合积的几何意义混合积的几何意义当当 与与 指向底面的相异一侧指向底面的相异一侧 时，时，dc)2/(,cos|)cos(|cch 综合以上两种情况，得到综合以上两种情况，得到.|cos|ch 而底面积而底面积.|baA .|)(|cos|cbacbahAV 即向量的混合积即向量的混合积 是这样的一个数，是这样的
18、一个数，cba )(的绝对值表示的绝对值表示体积体积.平行六面体的体积平行六面体的体积它它cba、以向量以向量 为棱的平行六面体的为棱的平行六面体的这样，这样，zyxzyxbbbaaaxcyczckji2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示设设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),(zyxaaaa cbazyzybbaa,),(zyxbbbb),(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc3.性质性质(1)三个非零向量三个非零向量共面的充要条件是共面的充要条件是0(2)轮换对称性轮换对称性:(可由三阶行列式的性质推出可由三
19、阶行列式的性质推出)cbacba,a b cab ca bcabc.)()()(bacacbcba 混合积的几何意义混合积的几何意义根据向量混合积的几何意义根据向量混合积的几何意义,可以推出以下可以推出以下结论结论:(1);0)(cba(2).0141314131313121212 zzyyxxzzyyxxzzyyxxcba,三向量三向量 共面的充分必要条件共面的充分必要条件)4,3,2,1)(,(izyxMiiii空间四点空间四点 共面的充共面的充分必要条件是分必要条件是413121)(MMMMMM 例例11解解已知已知,2)(cba计算计算).()()(accbba )()()(accbb
20、a )(accbbbcaba ccbcbbccacba )()()()(acbabbacaaba )()()()(cba )(2.4 0 0 0 0 0 0 cba )(例例12.已知一四面体的顶点已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2,1(k4),求该四面体体积求该四面体体积.1A2A3A4A解解:已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的,61故故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz,21AA,31AA41AA413121AAAAAA例例13.证明四点证明四点,)
21、3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面共面.解解:因因0)17,15,10(DABCD34512291416故故 A,B,C,D 四点共面四点共面.ADACAB例例14解解已知已知,ia,2kjb ,22kjic 求一求一单位向量单位向量,使使,c 且且 与与ba,共面共面.设所求向量设所求向量.,zyx 依题意依题意,1|,c 与与ba,共面共面,可得可得1222 zyx(1),0 c 即即022 zyx(2),0|ba即即02210001 zyzyx(3)例例14解解1222 zyx(1)022 zyx(2)02210001 zyzyx(3)例例14解解1222 zyx(1
22、)022 zyx(2)02210001 zyzyx(3)将式将式(1)式式(2)与式与式(3)联立解得联立解得32 x或或,32 31 y或或,31 32 z或或,32所以所以.32,31,32 例例15.若三维向量若三维向量cba,共面共面,而而解解:因因0zzzyyyxxxzyxzyxzyxcbacbacbacccbbbaaa则如下的线性方则如下的线性方程组有非零解程组有非零解.ba,不共线不共线,证明证明 存在惟一实数存在惟一实数,使得使得bac,并求出并求出.,0,cbacba,共面共面,故混合积为故混合积为0,即即0000czbyaxzcybxazcybxazcybxazzzyyyx
23、xx其中其中x,y,z不全为零不全为零因因ba,不共线不共线,故故.0z所以所以bzyazxcba两边分别点积上两边分别点积上由由,bac,得到得到 记记bcbbbaacabaa)()()()(解此二元一次方程解此二元一次方程,可得可得ba,bcacbabbaa,22,方程简记为方程简记为且此解是惟一的。且此解是惟一的。1.已知向量已知向量,0,0 ba证明证明.)(|2222bababa 3.已知已知cba,两两垂直，两两垂直，且且,3|,2|,1|cba求求cbas 的长度与它和的长度与它和cba,的夹角的夹角.课堂练习课堂练习4.已知空间已知空间4个点个点)344(),321(，BA(1)求向量求向量AB)668(),342(，DC方向上的单位向量方向上的单位向量,以及以及AB的方向余弦和方向角；的方向余弦和方向角；(2)求向量求向量AB在向量在向量CD上的投影和投影向量上的投影和投影向量;(3)求求ABC的面积的面积;(4)求以求以A,B,C,D为为4个顶点组成的三棱锥个顶点组成的三棱锥(即四即四面体面体)的体积。的体积。
