1、数章第函微二一元分学第 2 页第二章学习任务与目标熟练掌握导数的概念、导数的基本运算，会应用导数变化率的描述来理解在学习工程类课程中遇到的概念，能利用导数解决实际问题掌握隐函数的导数、参数方程的导数的求法，二阶及高阶导数的物理意义，能用其解决工程类问题理解微分的概念，会用微分作近似计算与估计第 3 页第二章第一节：导数的概念两个引例导数的概念利用导数的定义求导数导数的几何意义函数的可导性与连续性的关系第 4 页第二章.第一节导数的概念2.1.1 两个引例设物体作变速直线运动，位移 关于时间 的运动方程为 ，试求物体在 时刻的瞬时速度 t0ts0()v t()sf t引例1 变速直线运动的瞬时速
2、度第 5 页第二章.第一节导数的概念解 设物体从 点开始运动，经过时间 到达点，所经过的路程 ，即 ，当时间 由 变到 时，物体由点 变到点 ，物体在 这段时间内所经过的距离 ，物体在 这段时间内所走过的路程为 在 这段时间内的平均速度为 00()sf tOt0t0M0tt 00sOM0t00()().f ttf tsvtt 00()()sf ttf t t00()ssf tt M0tt 第 6 页第二章.第一节导数的概念显然在 这段时间内的平均速度不能确切描述在 时刻的速度，但是 越小时，平均速度 就越接近时刻 的速度，当 时，平均速度 的极限值就是物体在时刻 的瞬时速度，即 平均速度 ，称
3、为路程 在 到 时间段内的平均变化率；而瞬时速度 ，称为路程 在时间 时刻的瞬时变化率s0tst00()limtsv tt 0t0t 00000()()()limlim.ttf ttf tsv ttt tsvt0ttvv0t0t0tt 第 7 页第二章.第一节导数的概念引例2 曲线的切线斜率设函数 在点 处连续，曲线 在点 处有切线且斜率存在，求曲线 在点 处的切线斜率，如图所示()yfx()yfx0 xx00()Mxfx，()yfx00()Mxfx，第 8 页第二章.第一节导数的概念解 在曲线上另取一点 ，设其坐标为 先求取割线斜率，设割线 的倾角为，切线 的倾角为 ，则割线 的斜率为 显然
4、当 时，即点 沿着曲线趋近于定点 时，割线 趋近于极限位置 （即切线 ）于是得到切线 的斜率为 00()xxf xx ，NMNMT00()()tanMNfxxfxykxx 0 xMNNMMNMTMTMT0000()()tanlimlimMTxxf xxf xykxx 第 9 页第二章.第一节导数的概念2.1.2 导数的概念 定义1 设函数 在点 及其左右近旁有定义，给自变量 在点 处一个增量 ，相应地会有函数增量当 时，若 的极限存在，则称此极限值为 在点 处的导数，并称函数 在点 处可导，记作 ，即 也可记为 ，或 ()yfx0 x0 xxy0ddxxyx00000()()limlim(21
5、)xxxxfxxfxyyxx 0 xyx0d()dxxfxxx0()fx()fx00()().yfxxfx 0 xx()yfx0 x0 x1.导数的定义第 10 页第二章.第一节导数的概念注：1）若式（2-1）的极限存在，则称函数 在点 处可导；若极限不存在，则称函数 在点 处不可导（或导数不存在）2）导数的定义式（2-1）还可以有下列两种形式：（1）令 ，得 ；（2）令 ，得 0 x()f xhx 0000()()()limxxf xf xfxxx0000()()()limhf xhf xfxh0 xxx()f x0 x第 11 页第二章.第一节导数的概念2.区间可导和导函数 定义2 如果函
6、数 在区间 内每一点都可导，则称 在区间 内可导即对 ，都有导数值 与之对应，而 是关于 的函数，则称 为函数 的导函数，简称导数，即 也可记作 ，表示 在任意点 处的导数注：是 的函数，而 是一个常数，是导函数 在 处的函数值y()xab，()fx()ab，x()fx()fx0 xx0()()()lim(22)xfxxfxfxx 0()fx()fx()ab，()fxddyxd()dfxx()fx()fx0()fx()fx第 12 页第二章.第一节2.1.3 利用导数的定义求导数导数的概念由导数的定义可知，求函数 的导数 可按以下三个步骤进行：（1）求函数增量：；（2）计算比值：；（3）求极限
7、：()()yfxxfx()fx()()yf xxf xxx()yf x00()()()limlimxxyf xxf xfxxx 第 13 页第二章.第一节导数的概念例例2 求函数 的导数2edxxx例例1 求函数 （为常数）的导数yCC()0.C 解 因为 为常数，所以 ，即 0yx0lim0 xyyx 0yyC解（1）求函数增量：；（2）计算比值：；（3）求极限：可得幂函数的导数公式：（为任意实数）100(1)1limlimxxxxxxxxxxx()()()yfxxfxxxx ()()()yf xxf xxxxxxx 000()()()limlim=limxxxyf xxf xxxxxxx
8、1()xx 第 14 页第二章.第一节函数和、差、积、商的求导法则例例3 求函数 的导数yx解 即 用同样的方法可以求出以上两个公式是正弦函数、余弦函数的导数公式(sin)cos.xx(cos)sin.xx 000sinsin22lim coslim coslimcos2222xxxxxxxxxxxx 00022cossinsin()sin()22limlimlimxxxxxxyxxxyxxx 第 15 页第二章.第一节函数和、差、积、商的求导法则例例4 求函数 （，）的导数xya0a 1a 解当 时，与 是等价无穷小可得指数函数的导数公式：特别地，当 时，有 0lnlimlnxxxxaaaa
9、x 0 x00()()limlimxxxxxf xxf xaayxx ln001e1limlimxxaxxxxaaaxx lne1xaea()ln.xxaaa lnxa(e)e.xx 第 16 页第二章.第一节解 得对数函数的导数公式：特别地，当 时，有 ea 1(ln)xx 1(log)lnaxxa 例例5 求 （，）的导数()logaf xx1a 0a 函数和、差、积、商的求导法则注：求函数在某点处的导数时，一般先求出已给函数的导函数，然后再求导函数在该点处的函数值第 17 页第二章.第一节函数和、差、积、商的求导法则例例6 求下列函数在指定点处的导数：19yxx，（1）sin3yxx，（
10、2）lg10yxx，（3）32xyx，（4）解31cos32xy(sin)cosyxx91154299xy 11312221111()()222yxxxxx x （1）（2）10110ln10 xy1(lg)ln10yxx（3）29ln 3xy(3)3 ln 3xxy（4）第 18 页第二章.第一节2.1.4 导数的几何意义导数的概念由引例2及导数的定义可知：函数 在点 处的导数 在几何上表示曲线，以点 为切点的切线斜率，即 示 由直线的点斜式方程可以得到：（1）曲线 在点 处的切线方程为：（2）曲线 在点 处的法线方程为：00()Mxfx，0()kfx0()fx()yf x0 x000()(
11、)()yfxfxxx()yf x00()Mxfx，()yf x00()Mxfx，0001()()()yfxxxfx 第 19 页第二章.第一节函数和、差、积、商的求导法则例例7 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程 2xy(1 2)，解 因为 ，于是曲线 在点 处的切线斜率为从而，所求的切线方程为即 所求法线的斜率为 ，所求的法线方程为 即 2 ln 2xy 12ln 2xky22ln 2(1)yx,2xy(1 2)，2 ln 222 ln 20 xy112 ln 2k 12(1)2 ln 2yx 2 ln 24 ln 210 xy第 20 页第二章.第一节函数和、差、积、商的求导法则例例8
12、求曲线 上一点，使得过该点的切线与直线 平行lnyx220 xy解 设曲线 上点 处的切线与直线 平行，曲线 在 处的切线斜率为 而直线 的斜率为 ，根据两条直线平行的条件，有 ，即 将 代入曲线 ，得所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行()M xy，1(ln)yxx,(2 ln 2)M，12k 112xlnyxlnyx()M xy，220 xy220 xyln 2y.2x 2x lnyxlnyx220 xy第 21 页第二章.第一节导数的概念4.1.5 函数的可导性与连续性的关系定理1 如果函数 在点 处可导，则函数 一定在点 处连续()yf x0 x0 x()yf x例例1 证明函数 在
13、 处连续，但在 处不可导yx0 x 0 x 112211()()22yxxxx0)，证 （1）因为函数 是基本初等函数，定义域为 ，由基本初等函数在其定义域内每一点都连续的定理可知，函数 在 处连续（2）因为 ，显然，当 时，导数不存在yxyx0 x 0 x 第 22 页第二章第二节：函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则求导举例第 23 页第二章.第二节函数和、差、积、商的求导法则2.2.1 函数和、差、积、商的求导法则 法则1 两个函数代数和的导数，等于各个函数导数的代数和，即()uvuv.可以推广到有限个函数的代数和的情形，即()uvwuvw.如果函数 ，在点 处可导，
14、且 ，则这两个函数的和、差、积、商在点 处也可导，且有()vv x()uu xx()vv x()uu xx第 24 页第二章.第二节函数和、差、积、商的求导法则 法则2 两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即()uvu vuv.法则3 两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，然后除以分母的平方，即2()(0)uu vuvvvv.C推论 （为常数）()CuCu推广到有限个函数的代数和的情形，即()uvwu vwuv wuvw.第 25 页第二章.第二节函数和、差、积、商的求导法则2.2.2 求导举例例例1 求下列函数的导
15、数：2325yxx（1）23cos5sinyxxx（2）2(1)lnyxx（3）11xyx（4）解123cos5sin2()3(cos)5(sin)yxxxxxx222(325)(3)(2)53()262yxxxxxxx（1）（2）22223sin5cos3sin5cosxxxxxx （3）222(1)(1)(1)(1)1(1)(1)1121(1)(1)(1)xxxxxxxyxxxx （4）2221(1)ln(1)ln(1)(ln)2 lnyxxxxxxxxxx第 26 页第二章.第二节函数和、差、积、商的求导法则例例2 设函数 ，求 tanyxy解 ，即 ，这是正切函数的导数公式2(sin)
16、cossin(cos)sin(tan)coscosxxxxxyxxx2(tan)secxx 22222cossin1seccoscosxxxxx第 27 页第二章.第二节函数和、差、积、商的求导法则例例3 设函数 ，求 secyxy解 即 ，这是正割函数的导数公式余切函数和余割函数的导数公式，即 2(cot)cscxx ,(sec)sectanxxx 22(cos)1sin(sec)sectancoscoscosxxyxxxxxx(csc)csccotxxx .例例4 设函数 ，求 2 tansecyxxxy解 (2 tansec)2(tan)(sec)yxxxxxx2tan(tan)sect
17、anxxxxxx22 tan2 secsectanxxxxx.第 28 页第二章.第二节函数和、差、积、商的求导法则例例5 求下列函数在给定点处的导数：（1），（2），2()3cosf xxxx()f ()4fsin()1costf tt()2f()f 即得公式 2(sin)(1cos)sin(1cos)sin()1cos(1cos)tttttfttt22()(3cos)3()(cos)fxxxxxxx6cos(cos)6cossinxxxxxxxxx解 （1）()6sin()cos()61f (6sin)cosxxx()(6sin)cos61f （2）第 29 页第二章第三节：复合函数的求导
18、法则反函数的求导复合函数的求导法则第 30 页第二章.第三节复合函数的求导法则2.3.1 反函数的导数反函数的求导法则 若单调函数 在 内可导，且 ，其反函数 在对应区间内也可导，且 、或 d1dddxyyx11()()fyfx1()xfy()yfx()0fx()ab，1yxxy 第 31 页第二章.第三节复合函数的求导法则例例1 求反正弦函数 的导数arcsinyx解 （）是 （）的反函数，而 在 内单调增加、可导，且 所以 在 内的导数为 在 内，于是有 ，(1 1)，21arcsin1xx（）(sin)cos0yy 11arcsinsincosyxyy（）（）.22，arcsinyx22
19、，11x sinxy22cos1sin1yyx(1 1)x ，arcsinyx22ysinxy第 32 页第二章.第三节复合函数的求导法则例例2 求反正切函数 的导数（解略，请仿照例1试求）arcsinyx类似可得 ，以上两个公式是反正弦函数、反余弦函数的导数公式21arccos1xx （）(1 1)x ，解 21arc cot1xx （）.21arctan1xx（）,第 33 页第二章.第三节复合函数的求导法则2.3.2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 设 在点 处可导，函数 在对应点 处可导，则复合函数 在 处也可导，并且 或 或记为 ddddddyyuxux()yf u()yfx(
20、)uxxxu()()()yxfuxxuxyyu.第 34 页第二章.第三节复合函数的求导法则本法则可推广到有限次复合的情形，如 ，则复合函数 的导数为 ddddddddyyuvxuvx.()vx()yf u()uv()yfx 第 35 页第二章.第三节例例3 设函数 ，求 23(2)yxddyx解 是由 ，复合而成的，因此 32222ddd()(2)323(2)2dddyyuuxuxxxxux.3yu23(2)yx22ux例例4 设函数 ，求 sin 2yxddyx解 是由 ，复合而成的，因此 ddd(sin)(2)cos22cos 2dddyyuuxuxxuxsinyusin 2yx22ux
21、复合函数的求导法则第 36 页第二章.第三节例例5 设函数 ，求 cos(31)yxy 解 是由 ，复合而成的，因此(cos)(31)sin33sin(31).xuxyyuuxux cosyucos(31)yx31ux例例6 设函数 ，求 3tanyxy 解 是由 ，复合而成的，因此 32222()(tan)3sec3tansecxuxyyuuxuxxx3yu3tanyxtanux复合函数的求导法则第 37 页第二章.第三节例例7 设函数 ，求 2ln(1)yxddyx解 是由 ，复合而成的，因此 222ddd112(ln)(1)22.ddd11yyuxuxxxxuxuxxlnyu2ln(1)
22、yx21ux例例8 设函数 ，求 21yxddyx解 是由 ，复合而成的，因此 22ddd1()(1)2.ddd21yyuxuxxxuxuxyu21yx21ux复合函数的求导法则第 38 页第二章.第三节例例9 设函数 ，求 21exyddyx例例10 设函数 ，求 5sin2yxddyx解 是由 ，复合而成的，因 ,所以 21222ddde(e)(1)e.ddd11xuuyyuxxxxuxxxeuy 21exy21ux2dd1uxxx解 是由 ，复合而成的，因 ，所以 544ddd()(sin 2)52cos 210cos 2sin 2.dddyyuuxuxxxxux5yu5sin2yxsi
23、n 2uxd2 cos 2duxx复合函数的求导法则第 39 页第二章.第三节例例11 设函数 ，求 2ln(1)yxxy 例例12 设函数 ，求 1yxxy 解 221111xxxx2221ln(1)(1)1yxxxxxx21.1x121xxx解(1)1(1)yxxxxxx1211(1)(1)2xxxx23.21xx复合函数的求导法则第 40 页第二章.第三节例例13 设函数 ，求 211yxxy 例例14 设函数 ，求 1ln1xyxy 解 将分母有理化，得 ，故 122222212(1)1(1)(1)11.2211xxyxxxxxx21yxx解 因为 ，所以 1211lnln(1)ln(
24、1)12xyxxx21111111(1)(1).2112111yxxxxxxx复合函数的求导法则第 41 页第二章.第三节例例15 设函数 ，求 1cos1cosxyxy 例例16 设函数 ，求 2arctan(1)yxy 解22224212arctan(1)(1)1(1)22xyxxxxx解 因为 ，所以 2222 cos2cot22 sin2xxyx222 cotcot2 cotcsccotcsc.2222222xxxxxxxy 例例17 设函数 ，求 2exyxy 解22222(e)()e(e)2 eee(2).xxxxxxyxxxxxxx复合函数的求导法则第 42 页第二章第四节：初等
25、函数的求导问题、高阶导数初等函数的求导问题高阶导数第 43 页第二章.第四节（1）()0()RCC（2）1()()Raaxaxa（3）()ln(01)xxaaaaa 且（4）(e)exx（5）1(log)(01)lnaxaaxa 且（6）1(ln)xx（7）(sin)cosxx（8）(cos)sinxx （9）221(tan)seccosxxx（10）221(cot)cscsinxxx 2.4.1 初等函数的求导问题1.导数的基本公式初等函数的求导问题、高阶导数第 44 页第二章.第四节（11）(sec)sectanxxx（12）(csc)csccotxxx （13）21(arcsin)(11
26、)1xxx（14）21(arccos)(11)1xxx （15）21(arctan)1xx（16）21(arc cot)1xx 初等函数的求导问题、高阶导数第 45 页第二章.第四节（1）d()dduvuv（2）d()d()CuC uC为 常 数（3）d()dduvu vv u（4）2ddd(0)uv uu vvvv2.导数的四则运算法则 初等函数的求导问题、高阶导数第 46 页第二章.第四节设 ，且 和 都可导，则复合函数 的导数为 或 ()yf uddddddyyuxux()()()yxfux()ux()yfx()f u()x3.复合函数的求导法则初等函数的求导问题、高阶导数第 47 页第
27、二章.第四节2.4.2 高阶导数若函数 的导数 仍是 的可导函数，则 的导数叫做函数 的二阶导数，记作 ，或 类似地，二阶导数 的导数叫做函数 的三阶导数，记为 ；三阶导数的导数叫做函数 的四阶导数，记为 ，阶导数 的导数叫做函数 的 阶导数，记作 ，或 (1)n n(1)ny()yfx()ny(4)yy()yf xxy()yfx()fx22ddyx22ddfxy()f x()f x()f x()()nfxddnnyxddnnfx1.高阶导数的概念初等函数的求导问题、高阶导数第 48 页第二章.第四节初等函数的求导问题、高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数相应地，函数 的导数 叫做函数
28、的一阶导数()yf x()fx()yf x第 49 页第二章.第四节初等函数的求导问题、高阶导数2.高阶导数的计算例例1 设函数 ，求 4321yxxxy 解21262yxx.32432yxxx,例例2 设函数 ，求 2sinyxy 解2 cos 2yx.2 sincossin 2yxxx,第 50 页第二章.第四节初等函数的求导问题、高阶导数例例3 设函数 ，求 ecos 2xyxy 例例4 设函数 ，求 exy()ny(4sin23cos2)exxx.解ecos 22esin 22esin 24ecos 2xxxxxxxxecos 22esin 2xxyxx (ecos 22esin 2)
29、xxyxx(1)enxy,(1 2 3).n,()()(e)enxnxy解exy,exy ,第 51 页第二章.第四节初等函数的求导问题、高阶导数例例5 设函数 ，求 sinyx()nysinsin2nnnyxx（）（）（）解cos2sin322yxx cossin2yxx cossin222yxx coscos2nnxx（）（）(1 2 3).n,(1 2 3).n,依次类推类似地第 52 页第二章.第四节初等函数的求导问题、高阶导数例例6 设函数 ，求 ln(1)yx()ny(1)x(4)4(1)(2)(3)(1)yx 解3(1)(2)(1)yx 11(1)1yxx 2(1)(1)yx()
30、11!ln(1)11nnnnnyxx（）（）（）（）(1 2 3).n,依次类推，可得第 53 页第二章.第四节初等函数的求导问题、高阶导数3.二阶导数的力学意义若物体作变速直线运动，其运动方程为 ，则物体运动的速度为路程 对时间 的导数，即 此时，若速度 仍是时间 的函数，则速度 对时间 的导数为 在力学中把它叫做运动物体在时刻 的加速度，记作 即由以上讨论得出二阶导数的力学意义：作变速直线运动的物体的加速度 是路程 对时间 的二阶导数().ast()()().vtststsv()vst()ss ttvtttaast第 54 页第二章.第四节初等函数的求导问题、高阶导数例例7 设一物体的运动
31、方程为 ，求物体在 时刻的速度和加速度1t sin3tsA222133sin.939218tAAaA 解 物体在任意时刻 的速度和加速度分别为 所以()sincoscos33333ttAtvstAA;2()sinsin.33393AtAtavt 2()sinsin33393AtAtavt ;t第 55 页第二章第五节：隐函数的导数和由方程确定的函数的导数隐函数的导数参数方程所确定的函数的导数对数求导法第 56 页第二章.第五节隐函数的导数和由方程确定的函数的导数2.5.1 隐函数的导数函数与自变量 的关系是用 来表示的，我们称 为显函数由含 和 的方程 所确定的函数关系，称为隐函数yx()0F
32、 x y，x()yf x()yf x第 57 页第二章.第五节求隐函数的导数 的方法：y隐函数的导数和由方程确定的函数的导数（1）方程 的两边同时对自变量 求导；（2）遇到只含 的项直接求导；（3）遇到含 的项时，因为 是 的函数，的函数则是 的复合函数，所以利用导数基本公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则等对含 函数求导，再乘以 ，即 对 的导数；（4）解出 ，即为所求隐函数的导数xyy()0F xy，xyxyxyyxy第 58 页第二章.第五节例例1 求隐函数 的导数2241xyx yy解 方程两边同时对 求导，得 解出 ，得 x2232240yxyyxyx yy y23(2)=.
33、24yxyyxyxyy 隐函数的导数和由方程确定的函数的导数第 59 页第二章.第五节例例2 求椭圆 在点 处的切线方程和法线方程 22194yx3312，隐函数的导数和由方程确定的函数的导数解 将方程两边同时对 求导，得由导数的几何意义可知，椭圆 在点 处的切线斜率和法线斜率分别为切线方程为法线方程为 49xyy .22094xyy,x3321231332xykykk 切法切,.22194yx3312，2333132yx 3331.22yx第 60 页第二章.第五节2.5.2 由参数方程所确定的函数的导数隐函数的导数和由方程确定的函数的导数计算由参数方程 （）所确定的函数 关于 的导数，在应
34、用类问题中会经常遇到，如何计算参数方程的导数 呢？我们根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，将 视为中间变量，得到参数方程的求导法则：xddyx()()xtyttyddddd().dddd()dyyytttxxtxtt第 61 页第二章.第五节()sin.x tat 解 因为 所以()cosy tbt,d()coscot.d()sinyy tbtbtxx tata 例例3 求由椭圆 所确定的函数 的导数 ddyxycossinxatybt隐函数的导数和由方程确定的函数的导数第 62 页第二章.第五节例例4 求摆线 在 时曲线上的点的切线方程2t(sin)(1cos)xa ttyat隐函数的
35、导数和由方程确定的函数的导数解 当 时，摆线上的点为 斜率为 点 处的斜率为 故摆线在点 处的切线方程为即 ()sin()(1cos)y tat x tat,2t(1)2Pa a，d()sinsin.d()(1cos)1cosyy tattxx tatt(1)2yaxa(2)2yxa2d1dtykxPP第 63 页第二章.第五节2.5.3 对数求导法形如 （）的函数叫做幂指函数，其中 ，是可导函数当要求导的函数是幂指函数或乘法、除法、幂运算多的复杂函数时，可以考虑用对数求导法，具体步骤为：（1）对等式两边同时取以 为底的对数，并化简；（2）利用隐函数求导法则求其导数()0u x e()v x(
36、)()v xyu x()u x隐函数的导数和由方程确定的函数的导数第 64 页第二章.第五节例例5 求 （）的导数0 x xyx隐函数的导数和由方程确定的函数的导数解 （1）；（2）根据隐函数求导法则，两边同时对 求导，得ln1yxy,lnlnyxx(ln1)(ln1).xyyxxx 第 65 页第二章.第五节例例6 求函数 的导数(1)(2)(3)(4)xxyxx隐函数的导数和由方程确定的函数的导数解 （1）将等式两边取自然对数得（2）根据隐函数求导法则，两边同时对 求导，得 1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4).2yxxxx(1)(2)11111.2(3)(4)1234xxxxx
37、xxx11111121234yyxxxx,1111121234yyxxxx 第 66 页第二章第六节：函数的微分及应用微分的概念微分的几何意义微分的运算微分在近似计算中的应用第 67 页第二章.第六节函数的微分及应用2.6.1 微分的概念 定义1 如果函数 在点 具有导数 ，则称 为 在点 的微分，记作 ，即 通常把自变量的增量 称为自变量的微分 ，记作 ，即 则函数 在点 处的微分可写成 当函数 在点 处有微分时，称函数 在点 处可微()yf x0()fxx0()fxdxx()yfx0d()yfxx()yfxxd x0 xd y0 x0 x()yfx0d()d(23).yfxx()yfx0
38、x()yfx0 x第 68 页第二章.第六节函数的微分及应用一般地，函数 在区间 内任意点 的微分称为函数的微分，记作 ，即 由 ，得 由此可见，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数因此，导数也称微商()ab，d()dyfxxd()dyfxx()yf xd()d(24)yfxxxd y第 69 页第二章.第六节2.6.2 微分的几何意义如图所示，点 和 是曲线 上邻近的两点 为曲线在点 处的切线，其倾斜角为 容易得到 ，这就是说函数 在点 处的微分，在几何上表示曲线 在点 处切线 的纵坐标的增量 P0tan()dRTPRfxxy()yfx0 x00()P xy，PT00()Q xxyy
39、 ，()yf x函数的微分及应用在图中，表示 与 之差，当 很小时，与 相比是微不足道的，因此，可用 近似代替 这就是说，当 很小时，有 TQRQRTyd yTQRTxRQdyyRTx第 70 页第二章.第六节2.6.3 微分的运算1.微分的基本公式（1）d()0C（2）1d()dxxx（3）d()lndxxaaax（4）d(e)e dxxx（5）1d(log)dlnaxxxa（6）1d(ln)dxxx（7）d(sin)cosdxxx（8）d(cos)sindxxx 函数的微分及应用第 71 页第二章.第六节（13）21d(arcsin)d1xxx（9）2d(tan)secdxxx（11）d(
40、sec)sectandxxxx（15）21d(arctan)d1xxx（12）d(csc)csccotdxxxx（14）21d(arccos)d1xxx（10）2d(cot)cscdxxx（16）21d(arc cot)d1xxx 函数的微分及应用第 72 页第二章.第六节函数的微分及应用2.函数的和、差、积、商的微分法则设 ，都是 的可微函数，为常数，则（1）（2）（3）（4）（）这里给出乘积的微分法则的证明根据微分的定义，有2ddd()v uu vuvv0v d()dCuC ud()dduvuv,d()dduvv uuv,xvCud()()d()ddddd.uvuvxu vuvxu v x
41、uvxv uu v第 73 页第二章.第六节函数的微分及应用3.微分形式的不变性由微分的定义知，当 是自变量时，函数 的微分是如果 不是自变量，而是 的可微函数 ，那么对于复合函数 ，根据微分的定义和复合函数的求导法则，有 其中 ，所以上式仍可写成由此可见，不论 是自变量还是中间变量，函数 的微分总是同一个形式：，此性质称为微分形式的不变性()yfxd()d.yfuu()yf uux()uxudd()()d.xyyxf uxx()ddxxud()dyfuud()d.yfuuu()yf u第 74 页第二章.第六节例例1 设函数 ，求 d y3sin(12)yx函数的微分及应用解 方法1：直接应
42、用微分公式 计算，则有 方法2：把 看成中间变量，则有 ddyyx33323dsin(12)dcos(12)(12)d6cos(12)dyxxxxxxxx3323dd(sin)cosdcos(12)d(12)6cos(12)dyuuuxxxxx第 75 页第二章.第六节例例2 求函数 的微分 11tytd y解212dddd.1(1)tyyttttt函数的微分及应用例例3 设函数 的微分 esin 2xyxd y解 方法1：方法2：dd(esin 2)d(e)sin 2e(sin 2)dxxxyyyxxxxx(sin 22 cos 2)edxxxxdd(esin 2)sin 2 d(e)ed(
43、sin 2)xxxyxxxsin 2 ed2 cos 2 ed(sin 22 cos 2)ed.xxxxxxxxxx 第 76 页第二章.第六节函数的微分及应用例例4 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立（1）d（）；（2）d（）；（3）d（）；（4）d（）21d xxcsccotdxxxsin 2 dxxdxx解 （1）因为 ，所以 （2）因为 ，所以 （3）因为 ，所以 （4）因为 ，所以 （为任意常数）21dd2xCxx212xCx1dcos 2sin 2d2xCxx1cos 2sin 22xCx211Cxx211ddCxxx(csc)csccotxxxd(csc)csccotdxCx
44、xxC第 77 页第二章.第六节2.6.4 微分在近似计算中的应用函数的微分及应用函数微分是函数增量的线性主部，这就是说，当 很小时，函数的增量可用其微分来近似代替，即 x000()()d()(25)yfxxfxyfxx 第 78 页第二章.第六节函数的微分及应用当 很小时，可得：0d().yyfxxx1.计算函数增量的近似值例例5 半径为10 cm的金属圆片加热后，半径伸长了0.05 cm，问圆片面积改变了多少？2Ar 解 设圆片的半径为 ，则圆片的面积为 ，于是由题意知，根据式（2-5），得 rd2.Arr 10 cmr 0.05 cmrd22100.05AArr 第 79 页第二章.第六
45、节例例6 计算 的近似值sin45 30函数的微分及应用2.计算函数值的近似值解 设 ，则 因为 ，即 ，由式（2-6）得04x()1nfxx360 x45304360 11()(1)nnfxnx2sin 4530sincos10.713 3.443602360当 很小时，由式（2-5）可得：在上面公式中，令 ，（当 很小时），可得000()()().(26)fxxfxfxx x00 xxx()(0)(0).(27)fxffxx第 80 页第二章.第六节函数的微分及应用证 设 ，则 ，于是 ，由式（2-7）得 即 ()1nfxx11()(1)nnfxnx111.nxxn1()1fxxn,(0)
46、101nf1(0)fn例例7 证明当 较小时，111nxxnx第 81 页第二章.第六节函数的微分及应用利用式（2-7）可计算函数 在 点附近的近似值，同时由它可以推出常用的近似公式，即当 较小时，有x0 x()fx（1）111nxxn（2）sin xx（3）tan xx（4）ln(1)xx（5）e1xx（6）arcsin xx第 82 页第二章.第六节例例8 计算 的近似值31.03解311.0310.031.01.3函数的微分及应用例例9 计算 的近似值3998.8例例10 计算 的近似值0.001ee1xx解 利用公式 ，得311.0310.031.01.3解 利用公式 ，得111nxxn3331.2998.81 0001.21 000(1)1 00030.001 21010.001 21019.996.3
