1、 高三七校第四次联考数学试卷（理科）一、选择题（60分）.1.若集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【分析】先计算集合M，N，再计算.详解】集合，.故答案选C【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型.2.在复平面内，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【分析】对条件中的式子进行计算化简，得到复数，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【详解】由，得所以在复平面对应的点为，所以对应的点在第一象限.故选A项.【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.3.若
2、向量，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算解答：选项A、选项B、选项C、，正确选项D、因为所以两向量不平行4.在中，角，所对的边分别是，则（ ）A. 或B. C. D. 【答案】C【分析】将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得：，即可求得.【详解】解：，由正弦定理得：故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.5.已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，.考点：数列，三角函数6.已知，若，则的取值为（ ）A. 2B. -1或2C. 或2
3、D. 1或2【答案】B【解析】由已知：，且， 或 ，解得： 或 .选B.7.将函数的图象向右平移个周期后得到的函数为，则的图象的一条对称轴可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】由条件根据的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性，可得结论.【详解】解：的周期为，图象向右平移个周期后得到的函数为，则，由，得，取，得为其中一条对称轴.故选A.【点睛】本题主要考查的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性.8.已知函数在区间上递增，则正实数的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【分析】由题意，利用正弦函数的单调性，求得正实数的最大值.【详解】因为函数在区间上递增，所以，求得0则
4、正实数的最大值为故选：B【点睛】本题考查正弦函数的单调性，解答此类问题时可利用区间之间的包含关系求解.9.已知函数的图象如图所示，则（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【分析】先根据图象确定周期从而可得的值，再由特殊值取到的值即可求出函数解析式，最后将代入可得答案.【详解】由图象知最小正周期故又因时，即，可得，所以，则故选：C【点睛】根据三角函数图象确定解析式是高考中的高频考点，解答此类问题通常从周期、特殊点取值以及最大值最小值等方面入手.10.定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，再由且，得
5、在上递增，因此，即，故选A考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合11.函数在图像大致是()A. B. C. D. 【答案】B【分析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，故选B.【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.12.已知，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【分析】先利用导数求切线斜率,再
6、根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.【详解】，直线是函数的图象在点处的切线，其斜率为（1），直线的方程为又因为直线与的图象相切，消去，可得，得不合题意，舍去），故选A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（20分）.13.已知扇形的周长为，当扇形的面积最大时，扇形圆心角弧度为_【答案】2【分析】根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论.【详解】因为扇形的周长为20，所以，即则扇形的面积为所以当半径时，扇形的面积最大为25，
7、此时，故答案为：2【点睛】本题考查扇形相关性质，同时利用二次函数性质，难度较易.14.已知向量，若，则与的夹角为_【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合，可以求出的值，再根据平面向量夹角公式求出与的夹角.【详解】因，所以，即，因此，设与的夹角为，因此有，因为，所以.【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.15.是定义在上的奇函数，满足，当时，则_【答案】【分析】首先确定函数的周期性，然后结合函数的奇偶性和周期性求解函数值即可.【详解】由题可知，是定义在上的奇函数，满足，则，即是以2为周期的周期函数，当时
8、，且是定义在上的奇函数又，且，则，故答案为：【点睛】函数周期性的考查是高考高频考点，经常与奇偶性结合进行综合考查，解答此类问题时注意自变量的取值范围.16.已知关于的方程有解，则的取值范围是_【答案】【分析】用表示，进而利用二次函数的性质和的范围确定的范围.【详解】将方程等价变换，得，故答案为：【点睛】本题利用函数方程的转换思想以及二次函数性质与三角函数范围即可求解，难度较易.三、解答题.17.已知向量，（1）若，求的值；（2）若，求的值【答案】（1）-2（2）5【分析】（1）根据向量平行条件以及向量坐标，得到等式即可求解;（2）根据向量的垂直条件以及向量坐标，得到等式即可求解.【详解】（1）
9、（2），又，【点睛】本题综合考查向量坐标平行与垂直的公式运算，难度较易.18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.19.已知向量，其中. （1）若，求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由，得，运算可得，再结合，求即可；（2）由向量模的运算可得，再等式两边同时除以，运算即可得解.【详解】解：（1）
10、由，得，即，即，因为，所以，所以或，解得或 （2）由题得，由，得，即，整理得，因为，所以，等式两边同时除以得，即，解得或，因为，所以，故【点睛】本题考查了向量的数量积运算及三角函数中知值求角问题，重点考查了三角函数化简求值问题，属中档题.20.（2011年苏州B15）已知a为常数，是奇函数（1）求a的值，并求出的定义域；（2）解不等式【答案】（1）（-1，1）；（2）（-1，） 【解析】（1）根据奇函数的定义得恒等式，化简得恒成立，即可求解；（2）分式不等式求解时注意转化为一边为零的分式不等式求解，切记两边同乘以一个式子要分析符号试题解析：（1），是奇函数， 即a = 2或a = 0 经检验，
11、a = 0不合题意；a = 2时，是奇函数综上所述，a = 2 由，得 - 1 x 1函数的定义域为（-1，1） （2），即 -1 x 0.（）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）0在区间（1，）内有唯一解.【答案】（）当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减当x（1，）时，g（x）0，g（x）单调递增（）见解析【解析】（）由已知，函数f（x）的定义域为（0，）g（x）f （x）2（x1lnxa）所以g（x）2当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减当x（1，）时，g（x）0，g（x）单调递增（）由f （x
12、）2（x1lnxa）0，解得ax1lnx令（x）2xlnxx22x（x1lnx）（x1lnx）2（1lnx）22xlnx则（1）10，（e）2（2e）0于是存在x0（1，e），使得（x0）0令a0x01lnx0u（x0），其中u（x）x1lnx（x1）由u（x）10知，函数u（x）在区间（1，）上单调递增故0u（1）a0u（x0）u（e）e21即a0（0，1）当aa0时，有f （x0）0，f（x0）（x0）0再由（）知，f （x）在区间（1，）上单调递增当x（1，x0）时，f （x）0，从而f（x）f（x0）0当x（x0，）时，f （x）0，从而f（x）f（x0）0又当x（0，1时，f（x）（xa0）22xlnx0故x（0，）时，f（x）0综上所述，存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）0在区间（1，）内有唯一解.考点：本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
