1、2.2.2 反 证 法 【自主预习自主预习】 反证法的定义及证题关键反证法的定义及证题关键 不成立不成立 假设假设 错误错误 原命题成立原命题成立 已知条件已知条件 假设假设 定义定义 定理定理 公理公理 事实事实 【即时小测即时小测】 1.1.命题“命题“ABCABC中中, ,若若AB,AB,则则ab”ab”的结论的否定应的结论的否定应 该是该是 ( ( ) ) A.ab”的对立面为“的对立面为“ab”.ab”. 2.2.实数实数a,b,ca,b,c不全为不全为0 0等价于等价于 ( ( ) ) A.a,b,cA.a,b,c均不为均不为0 0 B.a,b,cB.a,b,c中至多有一个为中至多
2、有一个为0 0 C.a,b,cC.a,b,c中至少有一个为中至少有一个为0 0 D.a,b,cD.a,b,c中至少有一个不为中至少有一个不为0 0 【解析解析】选选D.“D.“不全为不全为0”0”的对立面为“全为的对立面为“全为0”,0”,故故 “不全为“不全为0”0”的含义为“至少有一个不为的含义为“至少有一个不为0”.0”. 3.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不 大于大于6060”时时, ,反设正确的是反设正确的是 ( ( ) ) A.A.假设三内角都不大于假设三内角都不大于6060 B.B.假设三内角都大于假设三内角都大于606
3、0 C.C.假设三内角至多有一个大于假设三内角至多有一个大于6060 D.D.假设三内角至多有两个大于假设三内角至多有两个大于6060 【解析解析】选选B.“B.“三个内角至少有一个不大于三个内角至少有一个不大于6060”的的 含义是有一个含义是有一个, ,两个或三个内角不大于两个或三个内角不大于6060, ,所以否定所以否定 是“都大于是“都大于6060”.”. 4.4.应用反证法推出矛盾的过程中应用反证法推出矛盾的过程中, ,要把下列哪些作为条要把下列哪些作为条 件使用件使用_(_(填序号填序号).). 结论的否定即反设结论的否定即反设; ;原命题的条件原命题的条件; ;公理、定理、公理、
4、定理、 定义等定义等; ;原命题的结论原命题的结论. . 【解析解析】根据反证法的定义知均可作为条件使根据反证法的定义知均可作为条件使 用用. . 答案答案: : 5.5.设设a,b,c,dR,a,b,c,dR,且且adad- -bc=1.bc=1. 求证求证:a:a2 2+b+b2 2+d+d2 2+c+c2 2+ab+cd1.+ab+cd1. 【证明证明】假设假设a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd=1,+ab+cd=1, 则则a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+d+d2 2+ab+cd+ab+cd- -ad+bc=0,ad+bc=0, 即即(a+b)(
5、a+b)2 2+(c+d)+(c+d)2 2+(a+(a- -d)d)2 2+(b+c)+(b+c)2 2=0,=0, 所以所以a+b=0a+b=0且且c+d=0c+d=0且且a a- -d=0d=0且且b+c=0,b+c=0, 所以所以a=b=c=d=0a=b=c=d=0与与adad- -bc=1bc=1矛盾矛盾. . 所以假设不成立所以假设不成立, ,原结论成立原结论成立. . 【知识探究知识探究】 探究点探究点 反证法反证法 1.1.反证法的“反设”是否命题吗反证法的“反设”是否命题吗? ? 提示提示: :不是不是, ,反证法的反证法的“反设反设”是对命题结论的否定是对命题结论的否定.
6、. 2.2.反证法证题的核心是什么反证法证题的核心是什么? ? 提示提示: :核心是推出矛盾核心是推出矛盾. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.对反证法的三点说明对反证法的三点说明 (1)(1)反证法不是直接去证明结论反证法不是直接去证明结论, ,而是先否定结论而是先否定结论, ,在否在否 定结论的基础上定结论的基础上, ,运用演绎推理运用演绎推理, ,导出矛盾导出矛盾, ,从而肯定结从而肯定结 论的真实性论的真实性. . (2)(2)反证法属逻辑方法范畴反证法属逻辑方法范畴, ,它的严谨体现在它的原理它的严谨体现在它的原理 上上, ,即“否定之否定等于肯定”即“否定之否定等于肯定”, ,其中
7、第一个否定是指其中第一个否定是指 “否定结论“否定结论( (假设假设)”;)”;第二个否定是指“逻辑推理的结第二个否定是指“逻辑推理的结 果否定了假设”果否定了假设”. .反证法属“间接解题方法”反证法属“间接解题方法”, ,书写格书写格 式易错之处是“假设”易错写成“设”式易错之处是“假设”易错写成“设”. . (3)(3)并非所有问题都可采用反证法证明并非所有问题都可采用反证法证明, ,只有当问题从只有当问题从 正面求解不好处理时或较繁琐时正面求解不好处理时或较繁琐时, ,才考虑反证法才考虑反证法. . 2.2.反证法证题的本质、常用的反证方法反证法证题的本质、常用的反证方法 (1)(1)
8、本质本质: :用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾, , 从而证明原结论正确从而证明原结论正确. .否定结论时否定结论时, ,对结论的反面要一对结论的反面要一 一否定一否定, ,不能遗漏不能遗漏. . (2)(2)常用的反证方法常用的反证方法: :否定一个反面的反证法称为归谬否定一个反面的反证法称为归谬 法法, ,否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法. . 易错警示易错警示: :用反证法证题时用反证法证题时,“,“否定结论”在推理论证否定结论”在推理论证 中作为已知使用中作为已知使用, ,导出矛盾是指在假设的前
9、提下导出矛盾是指在假设的前提下, ,逻辑逻辑 推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成 立的事实”等相矛盾立的事实”等相矛盾. . 类型一类型一 用反证法证明否用反证法证明否( (肯肯) )定性命题定性命题 【典例典例】1.(20161.(2016武汉高二检测武汉高二检测) )用反证法证明命题用反证法证明命题 “如果“如果ab,ab,那么那么a a3 3bb3 3”时时, ,假设的内容是假设的内容是 ( ( ) ) A.aA.a3 3=b=b3 3 B.aB.a3 3180, ,这与三角形的内角和为这与三角形的内角和为180180矛盾矛盾,
10、,故假设错故假设错 误误; ;所以一个三角形不能有两个直角所以一个三角形不能有两个直角; ;假设假设ABCABC中中 有两个直角有两个直角, ,不妨设不妨设A=B=90A=B=90. . 上述步骤的正确顺序为上述步骤的正确顺序为_._. 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中结论“中结论“a a3 3bb3 3”的反面是什么的反面是什么? ? 提示提示: :a a3 3b b3 3. . 2.2.典例典例2 2中中, ,在反证法中各是什么在反证法中各是什么? ? 提示提示: :是推出矛盾是推出矛盾; ;作出结论作出结论; ;是反设是反设. . 【解析解析】1.1.选选C.C.假设的内容应
11、为结论“假设的内容应为结论“a a3 3bb3 3”的否定的否定 “a a3 3bb3 3”,”,故选故选C.C. 2.2.根据反证法证题的三步骤根据反证法证题的三步骤: :否定结论、导出矛盾、得否定结论、导出矛盾、得 出结论出结论. . 知正确的顺序应为知正确的顺序应为. . 答案答案: : 【方法技巧方法技巧】 1.1.用反证法证明否定性命题的适用类型用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等 词语的命题称为否定性命题词语的命题称为否定性命题, ,此类问题的正面比较模糊此类问题的正面比较模糊, , 而反面比
12、较具体而反面比较具体, ,适合使用反证法适合使用反证法. . 2.2.用反证法证明数学命题的步骤用反证法证明数学命题的步骤 特别提醒特别提醒:(1):(1)用反证法证题时用反证法证题时, ,首先要搞清反证法证题首先要搞清反证法证题 的思路步骤的思路步骤, ,其次注意反证法是在条件较少其次注意反证法是在条件较少, ,直接证明直接证明 不易入手时常用的方法不易入手时常用的方法. . (2)(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存 在”“没有”等词语的否定性命题在”“没有”等词语的否定性命题, ,结论的反面比较具结论的反面比较具 体体, ,适于应用反证法
13、适于应用反证法. . (3)(3)注意否定结论时注意否定结论时, ,要准确无误要准确无误. . 【变式训练变式训练】(2016(2016沈阳高二检测沈阳高二检测) )已知三个正数已知三个正数 a,b,ca,b,c成等比数列但不成等差数列成等比数列但不成等差数列. .求证求证: : 不成不成 等差数列等差数列. . abc， ， 【证明证明】假设假设 成等差数列成等差数列, ,则则 即即a+c+2 =4b,a+c+2 =4b, 又又a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列, ,所以所以b b2 2=ac,=ac,即即b=b= 所以所以a+c+2 =4 ,a+c+2 =4 ,即即( )( )2 2
14、=0,=0,所以所以a=c,a=c, 从而从而a=b=c,a=b=c,这与已知这与已知a,b,ca,b,c不成等差数列矛盾不成等差数列矛盾. . 所以假设不正确所以假设不正确. .故故 不成等差数列不成等差数列. . abc， ，ac2 b, ac ac. acacac abc， ， 类型二类型二 反证法证明“至多”“至少”问题反证法证明“至多”“至少”问题 【典例典例】(2016(2016威海高二检测威海高二检测) )已知已知a,b,c(0,1),a,b,c(0,1),求求 证证:(1:(1- -a)b,(1a)b,(1- -b)c,(1b)c,(1- -c)ac)a不能都大于不能都大于 .
15、 . 1 4 【解题探究解题探究】典例中“不能都大于”的含义是什么典例中“不能都大于”的含义是什么? ? 提示提示: :“不能都大于不能都大于”的含义为的含义为“至少有一个小于或等至少有一个小于或等 于于”其对立面为其对立面为“全部大于全部大于”. . 【证明证明】假设假设(1(1- -a)b,(1a)b,(1- -b)c,(1b)c,(1- -c)ac)a都大于都大于 . . 因为因为a,b,c(0,1),a,b,c(0,1), 所以所以1 1- -a0,1a0,1- -b0,1b0,1- -c0.c0. 所以所以 同理同理 1 4 1 ab 11 1 a b. 242 1 bc1 ca11
16、 . 2222 ， 三式相加得三式相加得 即即 , ,矛盾矛盾. . 所以所以(1(1- -a)b,(1a)b,(1- -b)c,(1b)c,(1- -c)ac)a不能都大于不能都大于 . . 1 ab1 bc1 ca3 2222 ， 33 22 1 4 【延伸探究延伸探究】 1.1.已知实数已知实数a,b,c0,1,a,b,c0,1,则则a(1a(1- -b)+b(1b)+b(1- -c)+c(1c)+c(1- -a)a)的的 最大值为最大值为 ( ( ) ) A.A. B.1B.1 C.C. D.2D.2 3 4 3 2 【解析解析】选选B.B.用构造函数法用构造函数法, ,选取选取a a
17、为变量为变量, , 令令f(a)=a(1f(a)=a(1- -b)+b(1b)+b(1- -c)+c(1c)+c(1- -a)a)是关于是关于a a的一次函数的一次函数, , 令令a=1,a=1,得得f(1)=1f(1)=1- -b+bb+b- -bc=1bc=1- -bc1;bc1; 令令a=0a=0得得f(0)=bf(0)=b- -bc+c=b+cbc+c=b+c- -bcbc- -1+11+1 = =- -(1(1- -b)(1b)(1- -c)+11,c)+11, 由于一次函数最大值在端点由于一次函数最大值在端点0 0或或1 1处取得处取得, ,而而f(0),f(1)f(0),f(1)
18、 均小于等于均小于等于1,1,所以在所以在0,10,1上上,f(a)1,f(a)1,即即a(1a(1- -b)+b(1b)+b(1- - c)+c(1c)+c(1- -a)1.a)1. 则则a(1a(1- -b)+b(1b)+b(1- -c)+c(1c)+c(1- -a)a)的最大值为的最大值为1.1.取得最大值的取得最大值的 条件是条件是a,b,ca,b,c中一个为中一个为0,0,一个为一个为1,1,另一个可以取另一个可以取0,10,1 内的任意一个数内的任意一个数. . 2.2.已知已知a,b,c(0,2),a,b,c(0,2),求证求证:(2:(2- -a)b,(2a)b,(2- -b)
19、c,(2b)c,(2- -c)ac)a不不 能都大于能都大于1.1. 【证明证明】假设假设(2(2- -a)b,(2a)b,(2- -b)c,(2b)c,(2- -c)ac)a都大于都大于1.1. 因为因为a,b,c(0,2),a,b,c(0,2), 所以所以2 2- -a0,2a0,2- -b0,2b0,2- -c0.c0. 所以所以 同理同理 (2a)b (2a)b1. 2 (2b)c (2b)c1 2 ， (2c)a (2c)a1. 2 三式相加得三式相加得 即即33,33,矛盾矛盾. . 所以所以(2(2- -a)b,(2a)b,(2- -b)c,(2b)c,(2- -c)ac)a不能
20、都大于不能都大于1.1. (2a)b(2b)c(2c)a 3 222 ， 【方法技巧方法技巧】证明时常见的“结论词”与“反设词”证明时常见的“结论词”与“反设词” 【补偿训练补偿训练】用反证法证明用反证法证明: :关于关于x x的方程的方程x x2 2+4ax+4ax- - 4a+3=0,x4a+3=0,x2 2+(a+(a- -1)x+a1)x+a2 2=0,x=0,x2 2+2ax+2ax- -2a=0,2a=0,当当aa- - 或或 aa- -1 1时时, ,至少有一个方程有实数根至少有一个方程有实数根. . 3 2 【证明证明】假设三个方程都没有实数根假设三个方程都没有实数根, ,则由
21、判别式都小则由判别式都小 于零得于零得 2 1 2 2 2 2 3 31 a, 4a4 4a30,22 1 a 14a0,aa1, 3 2a42a0, 2a0. 则或 解得解得- - 0,则则 1,1,这与这与 =1=1相矛盾相矛盾; ; 如果如果b b1 1- -b b2 2m,则则f(n)f(m),f(n)f(m),即即00,00,矛盾矛盾; ; 若若n0,p+20,2p+10, (p+2)(2p+1)0,(p+2)(2p+1)0,与与(p+2)(2p+1)0(p+2)(2p+1)0矛盾矛盾. . 所以假设不成立所以假设不成立. . 故关于故关于x x的方程的方程x x2 2- -2x+52x+5- -p p2 2=0=0无实根无实根. .
