1、1.3.11.3.1（二）正弦函数的性质（二）正弦函数的性质 由正弦函数由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx还有还有以下重要性质以下重要性质.(1)定义域：定义域：正弦函数正弦函数y=sinx的定义域是实数集的定义域是实数集R或或(，)，记作：，记作：ysinx，xR.(2)值域值域:因为正弦线的长度小于或等于单位因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线弦曲线分布在两条平行线y=1和和y=1之间，之间，所以所以sinx
2、1，即，即1sinx1,也就是说，正弦函数的值域是也就是说，正弦函数的值域是1，1.正弦函数正弦函数y y=sin=sinx x,x xRR2当且仅当当且仅当x x 2 2kk，k kZZ时，正弦时，正弦函数取得最大值函数取得最大值1 1；2当且仅当当且仅当x x 2 2kk，k kZZ时，正时，正弦函数取得最小值弦函数取得最小值1 1(3)周期性周期性:由由sin(sin(x x2 2kk)sinsinx x (k kZ)Z)知：知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。当自变量取得的。当自变量x x的值每增加或减少的值每增加或减少2 2的整的整数倍时，
3、正弦函数数倍时，正弦函数y y的值重复出现。这种性质称的值重复出现。这种性质称为为三角函数的周期性三角函数的周期性。一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非，如果存在一个非零常数零常数T，使得当，使得当x取定义域内的每一个值时，取定义域内的每一个值时，都有都有f(xT)f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做周期就叫做周期函数，非零常数函数，非零常数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期(1)“每一个值每一个值”，只要有一个反例，则，只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如就不为周期函数（如f(x0+T)f(x0)）；）；2sin()sin,sin.22xxxyx 就就是
4、是说说不不能能对对 在在定定义义域域内内的的每每一一个个值值使使因因此此不不是是的的周周期期:s i n()s i n,s i n()s i n.41.,()()()2423.3fxTfxTyfxxx 定定义义是是对对定定义义域域中中的的值值来来说说的的只只有有值值:是是的的周周期期注注意意:每每一一个个个个别别的的满满足足但但是是不不能能说说例例如如(2)T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx,T=2,4,2,4,都是周都是周期）周期期）周期T中最小的正数叫做中最小的正数叫做f(x)的的最小正周期（有些周期函数没有最小最小正周期（有些周期函数没有最小正周期正周期,如常值函数如常值函数
5、 f(x)=1）.根据上述定义，可知：正弦函数是周期函根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，数，2k(kZ且且k0)都是它的周期，都是它的周期，最小正最小正周期是周期是2.(4)奇偶性奇偶性:由由sin(x)sinx,可知：可知：ysinx为奇函数为奇函数,因此正弦曲线关于原点因此正弦曲线关于原点O对称对称.y=sinxyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 (5)单调性单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ，其值从其值从-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0-1减
6、区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k,+2k,k Z2 2 +2k,+2k,k Z2 23 （6）对称性）对称性x6yo-12345-2-3-41对称中心对称中心（k,0)最大值点最大值点最小值点最小值点X=2k+/2X=2k -/2对称轴对称轴X=k+/2例例1：求使下列函数取得最大值的自变量求使下列函数取得最大值的自变量x的的集合，并说出最大值是什么集合，并说出最大值是什么.(1)ysin2x，xR;(2)y=sin(3x+)1 4(1)令令w2x，那么，那么xR得得ZR，且使函，且使函数数ysinw，wR，取得最大值的集合是，取得最大值的集合是ww 2k，kZ2
7、由由2xw 2k，2得得x k.4即即 使函数使函数ysin2x，xR取得最大值的取得最大值的x的的集合是集合是xx k，kZ 4函数函数ysin2x，xR的最大值是的最大值是1.(2)当当3x+=2k+即即 x=(k Z)时时,y的最大值为的最大值为0.421232k例例2.求函数求函数y=sin2x+4sinx的最小值的最小值y=(sinx+2)2-4当当sinx=-1 时时,ymin=-3注意注意:化为二次函数时化为二次函数时,要要注意注意sinx作为自作为自变量时变量时,它的取值范围是它的取值范围是-1,1练习练习.函数函数y=cos2x+sinx的最小值的最小值y=-(sinx-1/
8、2)2+5/4例例3：求下列三角函数的周期：求下列三角函数的周期：(1)y=sin(3x)；(2)y=2sin(-)2x6f(xT)f(x)解：设周期为解：设周期为T T，则，则f(x+T)=f(x)=sin3xf(x+T)=f(x),x等式强调 本身加的常数才是周期由由f(x)=f(x+T)得，得，s sin3x=sin(3x+3T)，sin3(x+T)（1）y=sin(3x)3x+2=3x+3T23解得解得T=.1()2sin.26f xxT 解解:设设的的周周期期为为()()f xTf x 112sin()2sin2626xTx 1112sin2sin26226xTx s in22,4.
9、2TyuT 的的 周周 期期 为为即即1()2 sin.26fxx (2 2)一般地，函数一般地，函数yAsin(x)（其中（其中 ）的周期是）的周期是 RxA,0,02T例例4：不通过求值，指出下列各式大于：不通过求值，指出下列各式大于0还是还是小于小于0,(1)sin()sin()；(2)sin()sin()1810523417解：解：(1)210182 且函数且函数ysinx，x ，是增函数是增函数22即即sin()sin()01810(2)sin()sin 52352sin()sin 417420452函数函数y=sinx在区间在区间()内为增函数内为增函数,0,2sin()sin()0.523417例例5 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：(1)y=3sin(2x-)4 22422 kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk单调增区间为单调增区间为83,8 kk解：解：单调减区间为单调减区间为87,83 kk课堂练习课堂练习
