1、 1 2016-2017 学年下学期期末考试 高二数学（文科）试题 一、选择题（共 12小题，每题 5 分有且只有一个正确答案） 1 已知集合 | A x x a?， 2 | 3 2 0B x x x? ? ? ?，若 A B B? ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 1a? B. 1a? C. 2a? D. 2a? 2 设复数 z 满足 1 21 z ii? ? ，则 1z=（ ） A. 5 B. 15 C. 55 D. 525 3 在等比数列 na 中，若 1nnaa? ，且 7 14 4 176, 5a a a a? ? ? ?，则 518aa =（ ） A. 32 B. 23 C.
2、 16 D. 6 4 若 1cos43?， 0,2? ?，则 sin? 的值为（ ） A. 426? B. 426? C. 718 D. 23 5 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ? ? ? ? 10 , 0 , 0 , (1, 0 ,1 , 0 ,1,1 , ,1, 02?），绘制该四面体三视图时 , 按照如下图所示的方向画正视图，则得到 左视图可以为（ ） A. B. C. D. 6 执行如右图程 序框图，输出的 S 为（ ） 2 A. 17 B. 27 C. 47 D. 67 7 已知向量 ab， 满足 2ab?， 2a b a? ? ?（ ） ，则 2ab? A. 2
3、 B. 23 C. 4 D. 8 8 设实数 x ， y 满足约束条件，?0041yxyxyx则目标函数 3z x y? 的取值范围为 A. 12,1? B. 12,0? C. ? ?2,4? D. 1,4 9 已知函数 ? ? ? ?2lg 1 4 2 1f x x x? ? ? ?，则 ? ? ? ?33ff? ? ?（ ） A. 1? B. 0 C. 1 D. 2 10 已知直线 l 的斜率为 2， M 、 N 是直线 l 与双曲线 C： 221xyab?， ( 0, 0)ab?的两个交点，设 M 、 N 的中点为 P （ 2， 1），则双曲线 C的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C
4、. 2 D. 22 11 数列 ?na 满足 11?a ，且对于任意的 ?Nn 都有 naaa nn ? 11 ，则2017211.11 aaa ? 等于 （ ） A. 20172016 B.20174032 C.20182017 D. 20184034 12 若 ，函数 1)4(22)( 2 ? xmmxxf 与 的值至少有一个为正数，则实数3 的取值范围为 ( ) A. （ 0,4 B. （ 0,8） C. （ 2,5） D. 二、填空题 13 函数 )311ln()( ? xxf 的定义域为 _ 14 已知圆 C 的半径为 2 ，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3 4 4 0xy? ?
5、? 与圆 C 相切，则圆 C 的一般方程是 _ 15 若 x ， y 都是正数，且 3xy?，则 4111xy?的最小值为 _ 16 已知函数 ? ?21, 0,log , 0,xxfx xx? ?在函数 ? ? 1y f f x?的零点个数 _ 三、解答题 17 在 ABC? 中，内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ，且 sin 3 cosb A a B? . （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 3b? ， sin 2sinCA? ，求 ac、 的值及 ABC? 的面积 18 如图，在四棱锥中 ABCDE? 中， ? CDDEAE , 平面 ADE , ?AB 平面
6、ADE ， 3,2,6 ? DEABDACD . （ 1）求 B 到平面 CDE 的距离； （ 2）在线段 DE 上是否存在一点 F ，使 AF /平面 BCE ？若存在，求出 EDEF的值；若不存在，说明理由 . 19 某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为 200 分 .现从上线的考生中随 机抽取 20人，将其成 绩用茎叶图记录如下： 男 女 15 6 5 4 16 3 5 8 4 8 2 17 2 3 6 8 8 8 6 5 18 5 7 19 2 3 （）计算上线考生中抽取的男生成绩的方差 2s ；（结果精确到小数点后一位） （）从上述茎叶图 180
7、 分以上的考生中任选 2 人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率 . 20 椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，焦点到短轴端点的距离为 2，离心率为 32 . （）求该椭圆的方程； （）若直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点且 OA OB? ，是否存在以原点 O 为圆心的定圆与直线 l 相切？若存在求出定圆的方程；若不存在，请说明理由 21 已知函数 ? ? ln 3mf x x xx? ? ?. （ 1）求函数 ?fx的单调区间； （ 2）若对任意的 ? ?0,2m? ， 不等式 ? ? ? ?1f x k x?，对 ? ?1,xe? 恒成立，求实数 k 的
8、取值范围 . （ 22题、 23 题任选一题，两题都做的，以 22题计分。） 22 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且直线 与曲线 交于 ， 两点 . 5 （ ）求曲线 的直角坐标方程及直线 恒过的定点 的坐标； （）在（）的条件下，若 ，求直线 的普通方程 . 23 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ? ? 1f x x?， ? ? 2g x x a?. （）当 0a? ，解不等式 ? ? ? ?f x g x? ； （）若存在 xR? ，使得 ? ? ? ?f x
9、 g x? 成立，求实数 a 的取值范围 . 参考答案 1 C 【解析】 ? ?1 , 2 , 2B A B B B A a? ? ? ? ? ? ? ,选 C. 2 C 【解析】 由题意可得： ? ? ? ? 11 1 51 2 1 3 , 2 ,2 2 5z i i i z i z i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 本题选择 C选项 . 3 A 【解析】 7 14 4 17 6a a a a? ， 4a? 与 17a 为方程 2 5 6 0xx? ? ? 的两个根，解得 4 172, 3aa? 或 4 173, 2aa? ， 1 4 1 7, 3, 2nna a a
10、a? ? ? ? ， 13 23q? ，故 51318 2aaq?，故选 A. 4 A 【解析】 由题意可得： 23 2 2, , s i n 1 c o s4 4 4 4 4 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 结合两角和差正余弦公式有： 42s i n s i n s i n c o s c o s s i n4 4 4 4 4 4 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 本题选择 A选项 . 5 B 【解析】 将
11、四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选 B. 6 A 【解析】 1i? 时， 1172? 否，所以 27S? ， 15? 是 12ii? ? ? ， 2172? 否，所以 47S? ， 25?是， 13i? ， 4172? 是， 412177S ? ? ? ? ， 35? 是， 14i? ， 1172? 否，所以 27S? ， 45? 是， 15i? ， 2172? 否，所以 47S? ， 55? 是， 16ii? ? ? ， 4172? 是， 412177S ? ? ? ? ， 65? 否，输出 1:7S ，故选 A. 7 B 【解析】 由 ? ? 2a b a? ?
12、 即 2 2a b a? ? ? ，得 2ab? ， 而 2 222 4 4 4 4 4 2 4 1 2a b a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故 2 2 3ab? ，故选 B. 8 C 【解析】 可行域为一个三角形 ABC及其内部 ,其中 ? ? ? ? 531, 0 , 4 , 0 , ,22A B C ?,直线 3z x y? 过点B 时取最大值 4,过点 C时取最小值 2? ,因此目标函数 3z x y? 的取值范围为 ? ?2,4? ,选 C. 点睛 ：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义
13、，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围 . 9 D 【 解 析 】 ? ? ? ?2lg 1 4 2 1f x x x? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2l g 1 4 2 l g 1 4 2 2 l g 1 4 4 2 2f x f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以? ? ?3 3 2ff? ? ?，故选 D. 10 A 【解析】 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,M x y N x y 则 ? ?22111, 1x
14、yab?, ? ?221, 2xyab? 点 P （ 2， 1）是 AB 的中点 , 124xx?, 122yy?, 直线 l 的斜率为 2, 12122yyxx? , ? ? ? ?12?得 22ab? , 222ca? , 2e? . 11 D 【解析】 由题意可得：，则： ， 以上各式相加可得：，则：， . 本题选择 D选项 . 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭 代
15、法求通项使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的 12 B 【解析】 当 m 0 时，当 x 接近 +时，函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1 与 g(x)=mx 均为负值，显然不成立 . 当 x=0时， f(0)=1 0，符合题意 . 当 m 0时， 若 4 02 mm? ? ，即 0 m 4，函数 f(x)与 x轴的交点都在 y轴右侧，结论显然成立 . 若 4 02mm? 时，只要 =4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2) 0 即可，即 4 m 8. 综上可得 0
16、 m 8. 本题选择 B选项 . 13 或 【解析】 令 ,解得或 ,故填或 . 14 2240x y x? ? ? 【解 析】 解：直线与圆相切，设圆心坐标为 (a,0)， 则圆方程为： (x?a)2+y2=4， 圆心与切点连线必垂直于切线， 根据点与直线距离公式，得223 4 0 4 234xdR ? ? ?, 解得 a=2或 143a? ， (因圆 心在正半轴 ,不符合舍去 )， a=2， 圆 C的方程为： (x?2)2+y2=4. 整理为一般方程为： 2240x y x? ? ? . 点睛：求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆
17、心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线 (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由 题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式 15 95 【 解 析 】 由 题 可 知 ： 1 1 5xy? ? ? ? ，故4111xy?= ? ? ? ?4 1 1111 1 5xyxy? ? ? ? ? ? ? = 1 1 1 94 4 11 1 5 5yxxy? ? ? ? ?当且仅当x=y时取得等号 16 4 【解析】 当 ? ? 10y f f x? ? ?时， ? ? 1f f x?，所以 ? ? 2fx? ，或 ? ? 12fx? ，本题转化为上述方程有几解，当 ? ? 2fx? 时， 3x? 或 14x? ，当 ? ? 12fx? 时， 12x? 或 2x? ，所以共有四个解，因此零点个数为 4个，故填： 4 17 （ 1） 3B ? ;(2) 3a? ， 23c? ，
