1、 - 1 - 2016/2017 学年度第二学期高二年级期终考试 数 学 试 题 注意事项： 1本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1设 11 iz i? ? （ i 为虚数单位），则 z? 2已知命题 p ： “ nN? ， 使得 2 2nn? ” ，则命题 p? 的真假为 3设 R? ，则 “ sin 0? ” 是 “ sin
2、2 0? ” 的 条件（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 4 如 图为 某天 通过 204国道 某 测速点 的汽车时速频率分布直方图，则通过该 测速点 的 300辆汽车中时速在 ? ?60,80 的汽车大约有 辆 5某程序框图如图所示，则输出的结果 为 6在区间 ? ?0,5 上随机取一个实数 x ，则 x 满足 2 20xx?的概率为 7已知双曲线 222 1( 0)16xy aa ? ? ?的渐近线方程是 43yx? ， 则其准线方程为 8若函数 ? ?xxafx e?在 区间 ? ?0,2 上有极值，则 a 的取值范围 是 开始 结束 S 1 n 7 S150 S
3、 S+n n n-2 否 是 输出 n （第 5题图） （第 4题图） - 2 - 9 （理科学生做） 从 5男 3 女共 8名学生中选出 4人 组成志愿者服务队 ， 则 服务队中至少有 1名女生的不同选法共有 种 （用数字作答） （文科学生做） 已知 函数 ? ? 3f x x? ，则 不等式 ? ? ? ?2 1 0f x f x? ? ?的 解集是 10 （理科学生做） ? ? 53 121xx?的展开式 中 的常数项是 （文科学生做） 将函数 ? ? sin 23f x x ?的图象向右平移 m 个单位（ 0m? ），若所得图象对应的函数为偶函数，则 m 的最小值是 11已知 圆 2
4、2 2 ( 0)x y r r? ? ?的内接四边形的面积的最大值为 22r ，类比可得椭圆? ?22 10xy abab? ? ? ?的内接四边形的面积的最大值为 12已知 集合 ? ? 2,20yxM x y x y a? ? ? ? ? ? ? ?和集合 ? ? ?, | s i n , 0N x y y x x? ? ?，若MN? ，则 实数 a 的最大值为 13已知点 F 是椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的左焦点，若椭圆 C 上存在两点 P 、 Q 满足2PF FQ? ，则椭圆 C 的离心率的取值范围 是 14 已知 0a? ， 0b? ， 02c? ，
5、2 0ac b c? ? ? ，则 11ab? 的取值范围 是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14分） （理科学生 做 ） 现有一只不透明的袋子里面装有 6个小球，其中 3个为红球， 3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出 2个小球 （ 1） 求这两个小球都是红球的概率 ； （ 2） 记摸出的小球中红球的个数 为 X，求 随机 变量 X的概率分布及其均值 E(X ) （文科学生 做 ） 已知 关于 x 的不等式 2 ( 2 ) 2 0a x a x? ? ? ?，
6、其中 Ra? （ 1）若不等式的解集为 ( , 1 4, )? ? ?，求实数 a 的值； （ 2）若不等式 22( 2 ) 2 2 5a x a x x? ? ? ? ?对任意实数 x恒成立，求实数 a 的取值范围 16（本小题满分 14分） （理科学生 做 ） 观察下列等式 ， 猜想 一个一般性的结论， 并用数学归纳法证明 - 3 - 21 (1 )(1 )x x x? ? ? ?， 321 (1 )(1 )x x x x? ? ? ? ?， 4 2 31 (1 ) (1 )x x x x x? ? ? ? ? ? （文科学生 做 ） 已知函数 ( ) sinf x x x? ， ( ,
7、)22x ? ，函数 ()gx的 定义 域为 实数集R， 函数 ? ? ( )+ ( )h x f x g x? （ 1）若函数 ()gx是 奇函数，判断并证明函数 ()hx 的 奇偶性； （ 2）若函数 ()gx是单调 增 函数 ， 用反证法证明 函数 ()hx 的 图象 与 x 轴至多有一个交点 17（本小题满分 14分） （理科学生做） 如图，在三棱锥 P ABC? 中， PA? 底面 ABC ， AB BC? ， 2AB? ，4AC PA? （ 1）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值； （ 2）求二面角 A PC B?的余弦值 （文科学生做） 已知函数 ( ) c o s c
8、 o s ( )3f x x x ? （ 1）求 ()fx在 区间 0, 2? 上的值域； （ 2）若 13()20f ? ? ， 66? ? ? ，求 cos2? 的值 A B C P （第 17题 图 理 ） - 4 - 18（本小题满分 16分） 如图所示，矩形 ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线 AC是以 AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中 AB=1 km， BC=2 km，现准备开发一个面积为 0.6 km2的湿地 公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域 问：能否在 AB边上取点 E、在 BC边上取点 F， 使得 BEF区域满足该项目的用地要求？若能
9、 ， 请给出点 E、 F的选址方案；若不能 ， 请说明理由 19（本小题满分 16分） 在 平面 直角坐标系 xOy 内，椭圆 E： 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?，离心率为 22 ，右焦点 F到右准线的距离为 2，直线 l过 右焦点 F且 与椭圆 E交于 A、 B两点 （ 1）求椭圆 E的标准方程； （ 2） 若直线 l与 x轴 垂直， C为 椭圆 E上的动点，求 CA2+CB2的取值范围； （ 3） 若动直线 l与 x轴 不重合，在 x轴 上是否存在定点 P，使得 PF始终平分 APB？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 20（本小题满分 16分） 已知函数
10、 ? ? xexf ? 和函数 ? ? mkxxg ? （ k 、 m 为实数 ， e 为 自然对数的底数，2.71828e? ） （ 1）求函数 ? ? ? ? ? ?h x f x g x?的单调区间； （ 2）当 2?k ， 1?m 时 ， 判断方程 ? ? ? ?xgxf ? 的实数根的个数并证明； F A B O x y （第 19题图） A B C D E F （第 18题图） - 5 - （ 3）已知 1?m ，不等式 ? ? ? ? ? ? ? 01 ? xgxfm 对任意实数 x 恒成立，求 km的最大值 2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试 数学 试题 参考答案
11、 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分 . 1. 1 2. 假 3. 充分不必要 4. 150 5. 1 6. 25 7. 95x? 8. ? ?1,1? 9. （理） 65 （文） 1( , )3? 10. （理） 12 （文） 512? - 6 - 11. 2ab 12. 3 3? 13. 1,13?14. ? ?4,+? 二、解答题： 本大题共 6小题，计 90分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 . 15 （理科） 解： 记 “ 取得两个小球都为红球 ” 为事件 A， 则2326 1() 5CPA C? 4分 随机 变量
12、 X 的 可 能 取 值 为 ： 0 、 1 、2 ， ? 6分 ? ?0?X 表示取得两个球都为黑球， 23261( 0) 5CPX C? ? ?， ? ?1?X 表示取得一个红球一个黑球， 1133263( 1) 5CCPX C? ? ?， ? ?2?X 表示取得两个球都为红球， 23261( 2) 5CPX C? ? ?，随机 变量 X的概率分布 如下： X 0 1 2 P 51 53 51 ? 12 分 ?)(XE 1 3 10 1 25 5 5? ? ? ? ?=1 ? ? 14分 （ 注：三个概率 每个 2 分 ） （ 文 科 ） 解： 由 题 意 知 方 程 02)2(2 ? x
13、aax 的解为 4,1? ， 且0?a ， ? 2分 所以 42?a ， 解 得 21?a . ? 4分 问题可 化为 03)2()2( 2 ? xaxa 对任意实数 x 恒成立 ， 当 2?a 时 ， 03? 恒成立； ? 6分 当 2?a 时 ，? ? 0)2(12)2( 22 aaa ， 解得142 ?a ； ? 12 分 综上 得142 ?a ? 14- 7 - 分 16 （ 理 科 ） 解 ： 归 纳 猜 想 得 ： )1)(1(1 132 ? nn xxxxxx ?，*Nn? ? 4分 （ 注：如答成 2,n n N?一样给分 ） 证明如下： 当 1?n 时 ， 左边 1x? ，右
14、边 1x? ， 猜想成立； ? 6分 假设 kn? （ 1?k ）时 猜想成立，即 2 3 11 (1 ) (1 )kkx x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ?成立 ， 当 1?kn 时，右边 )1)(1( 132 kk xxxxxx ? ? kk xxxxxxx )1()1)(1( 132 ? ?kk xxx )1(1 ? 11 ? kkk xxx 11 ? kx =左边 所以 n 时 猜 想 也 成立 . ? 12分 由 可 得 ， )1)(1(1 132 ? nn xxxxxx ?， *Nn? 成立 . ? 14 分 （文科） 解： 由 题 意 知 )(xh 的 定 义 域
15、 为)2,2( ? ， ? 2分 又 )(xg 是 奇 函 数 ， 所以)()( xgxg ? ， ? 4分 )(s i n)()s i n ()( xgxxxgxxxh ? )()(s in( xhxgxx ? )(xh 为 奇 函数 . ? 7分 假设函数 )(xh 的 图象 与 x 轴有两个 交 点 ，不妨设 其横坐标 为 21,xx ，且 21 xx? ， 则0)()( 21 ? xhxh ， ? 8分 又 ( ) 1 cos 0f x x? ? ? ?，所以 )(xf 为单调增函数， ? 10分 所以 )()( 21 xfxf ? ， 又 因为 )(xg 为单调增函数，所以 )()( 21 xgxg ? ， 所以 )()()()( 2211 xgxfxgxf ? ，即 )()( 21 xhxh ? ， 这与 0)()( 21 ? xhxh 矛盾， ? 12分 所以假设不成立，所以函数 )(xh 的 图象 与 x 轴至多有 一 个 交 点 . ? 14分 17 （理科） 解 ： 如图，以 A 为原点 ,在平面 ABC 内作垂直于 AC 的射线为 x 轴，以射线 AC为 y轴， 射线 AP 为 z 轴 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标系， ?
