1、第八章二元一次方程组题型一题型一 二元一次方程二元一次方程(组组)的识别的识别8.1 二元一次方程组例题例题1 1 下列方程下列方程(组组)中：中：x+2=0 x+2=0；3x-2y=13x-2y=1；xy+1=0 xy+1=0；2x-=12x-=1；其中是一元一次方其中是一元一次方程的程的,是二元一次方程的是是二元一次方程的是,是二元一是二元一次方程组的是次方程组的是(填序号填序号)8.1 二元一次方程组锦囊妙计锦囊妙计识别二元一次方程识别二元一次方程(组组)的方法的方法(1)(1)二元一次方程满足的条件：二元一次方程满足的条件：方程整理后满足：含有两个未知数；含有未知数的项的次方程整理后满
2、足：含有两个未知数；含有未知数的项的次数都是数都是1 1；是整式方程；是整式方程.(2)(2)二元一次方程组满足的条件：二元一次方程组满足的条件：整个方程组中含有两个未知数；每个方程中含有未知数的整个方程组中含有两个未知数；每个方程中含有未知数的项的次数都是项的次数都是1 1；两个方程都是整式方程；两个方程都是整式方程.8.1 二元一次方程组题型二题型二 根据二元一次方程的概念求字母系数的值根据二元一次方程的概念求字母系数的值8.1 二元一次方程组例题例题2 2 若方程若方程 +(a-2)y=5 +(a-2)y=5是关于是关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程,则则a=a=.-2-2锦囊
3、妙计锦囊妙计二元一次方程概念的应用技巧二元一次方程概念的应用技巧(1)(1)抓住隐含条件抓住隐含条件,明确二元一次方程中含有未知数的项的次明确二元一次方程中含有未知数的项的次数都是数都是1,1,且系数不为且系数不为0 0；(2)(2)利用含有未知数的项的次数构造方程利用含有未知数的项的次数构造方程(组组)求解求解.8.1 二元一次方程组题型三题型三 二元一次方程二元一次方程(组组)的解的解8.1 二元一次方程组例题例题3 3 下列方程中下列方程中,与方程与方程5x+2y=-95x+2y=-9构成的方程组构成的方程组 的的解为的是解为的是().).A Ax+2y=1 Bx+2y=1 B3x+2y
4、=-8 C3x+2y=-8 C5x+4y=-3 D5x+4y=-3 D3x-4y=-83x-4y=-8D D8.1 二元一次方程组分析分析 可知可知 是二元一次方程是二元一次方程5x+2y=-95x+2y=-9的解的解,只要再把只要再把 代入各选项中的二元一次方程代入各选项中的二元一次方程,看哪一个方程成立即可看哪一个方程成立即可.当当x=-2,y=x=-2,y=时时,x+2y=-2+2,x+2y=-2+2 =-1,=-1,选项选项A A不符合；不符合；3x+2y=-6+1=-5,3x+2y=-6+1=-5,选项选项B B不符合；不符合；5x+4y=-10+2=-8,5x+4y=-10+2=-
5、8,选项选项C C不符合；不符合；3x-4y=-6-2=-8,3x-4y=-6-2=-8,选项选项D D符合符合,即即 是方程是方程3x-4y=-83x-4y=-8的解的解.故选故选D.D.锦囊妙计锦囊妙计判断二元一次方程判断二元一次方程(组组)的解的方法的解的方法(1)(1)判断一个数对是不是二元一次方程的解判断一个数对是不是二元一次方程的解,应该把它分别代入应该把它分别代入方程的左边和右边方程的左边和右边,看左右两边是否相等若相等看左右两边是否相等若相等,则它是这则它是这个二元一次方程的解；否则个二元一次方程的解；否则,就不是这个二元一次方程的解就不是这个二元一次方程的解(2)(2)判断一
6、个数对是不是二元一次方程组的解判断一个数对是不是二元一次方程组的解,必须把它代入该必须把它代入该方程组中的所有方程进行检验方程组中的所有方程进行检验.若它能满足所有方程若它能满足所有方程,则是这则是这个二元一次方程组的解；否则个二元一次方程组的解；否则,就不是这个二元一次方程组的就不是这个二元一次方程组的解解8.1 二元一次方程组题型四题型四 由二元一次方程由二元一次方程(组组)的解确定字母系数的值的解确定字母系数的值8.1 二元一次方程组例题例题4 4 已知已知 是方程是方程2x-3=ay2x-3=ay的一个解的一个解,则则a a的值为的值为.1 1锦囊妙计锦囊妙计已知方程已知方程(组组)的
7、解求方程的解求方程(组组)中字母系数的值中字母系数的值(1)(1)根据二元一次方程根据二元一次方程(组组)解的意义解的意义,直接将方程直接将方程(组组)的解代的解代入方程入方程(组组),),得到关于字母系数的新方程得到关于字母系数的新方程(组组)；(2)(2)解字母系解字母系数构成的新方程数构成的新方程(组组),),求得字母系数的值求得字母系数的值.8.1 二元一次方程组8.1 二元一次方程组8 8例题例题5 5 若方程组若方程组 的解是的解是 则则a a2 2+b+b2 2=.8.1 二元一次方程组分析分析锦囊妙计锦囊妙计已知方程组的解求关于字母系数的式子值的方法已知方程组的解求关于字母系数
8、的式子值的方法(1)(1)将方程组的解代入方程组将方程组的解代入方程组,可得到一个关于字母系数的新可得到一个关于字母系数的新方程组；方程组；(2)(2)解新方程组解新方程组,可求得字母系数的值；可求得字母系数的值；(3)(3)将字母系将字母系数的值代入所求式子求解即可数的值代入所求式子求解即可.8.1 二元一次方程组题型五题型五 二元一次方程的特殊解二元一次方程的特殊解例题例题6 6 求二元一次方程求二元一次方程3x+2y=123x+2y=12的非负整数解的非负整数解.8.1 二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.1 二元一次方程组解解 由原方程得由原方程得y=6-x.y=6-x.要求方程的
9、非负整数解要求方程的非负整数解,先取定先取定x x的值为的值为0,1,0,1,2,3,2,3,如下表：如下表：由上表可知二元一次方程由上表可知二元一次方程3x+2y=123x+2y=12的非负整数解为的非负整数解为锦囊妙计锦囊妙计二元一次方程特殊解的求解策略二元一次方程特殊解的求解策略先用含一个未知数的式子表示另一个未知数先用含一个未知数的式子表示另一个未知数,再根据题意依次再根据题意依次在符合要求的范围内取定一个未知数的值在符合要求的范围内取定一个未知数的值,从而确定另一个未从而确定另一个未知数的值知数的值.8.1 二元一次方程组题型六题型六 建立二元一次方程组建立二元一次方程组8.1 二元
10、一次方程组例题例题7 7 随州中考随州中考 小明到商店购买小明到商店购买“五四青年节五四青年节”活动奖品活动奖品,购买购买2020支铅笔和支铅笔和1010本笔记本共需本笔记本共需110110元元,但购买但购买3030支铅笔和支铅笔和5 5本本笔记本只需笔记本只需8585元元.设每支铅笔设每支铅笔x x元元,每本笔记本每本笔记本y y元元,则可列方则可列方程组为程组为().).B B8.1 二元一次方程组锦囊妙计锦囊妙计由实际问题抽象出二元一次方程组的步骤由实际问题抽象出二元一次方程组的步骤(1)(1)弄清题意；弄清题意；(2)(2)找准题中的两个等量关系；找准题中的两个等量关系；(3)(3)设
11、出合适的未知数；设出合适的未知数；(4)(4)根据找到的等量关系列出两个方程并组成二元一次方程组根据找到的等量关系列出两个方程并组成二元一次方程组.8.1 二元一次方程组题型七题型七 二元一次方程组的开放探究型问题二元一次方程组的开放探究型问题8.1 二元一次方程组例题例题8 8 写出一个解为写出一个解为 的二元一次方程组的二元一次方程组.8.1 二元一次方程组解解 答案不唯一答案不唯一,通过通过x=3,y=-2x=3,y=-2构造任意的两个方程构造任意的两个方程,以下面两个为例以下面两个为例,x+y=3-2=1,2x-3y=2x+y=3-2=1,2x-3y=23-33-3(-2)=12,(-
12、2)=12,所以得到一个二元一次方程组为所以得到一个二元一次方程组为锦囊妙计锦囊妙计开放型二元一次方程组的解题思路开放型二元一次方程组的解题思路(1)(1)利用两个未知数构造任意两个式子利用两个未知数构造任意两个式子,注意系数比不能相等；注意系数比不能相等；(2)(2)将题中已知的这两个未知数的值代入求出所构造的式子的将题中已知的这两个未知数的值代入求出所构造的式子的值；值；(3)(3)由所构造的式子及其值可得两个二元一次方程由所构造的式子及其值可得两个二元一次方程,将它将它们联立起来即可得到一个二元一次方程组们联立起来即可得到一个二元一次方程组.8.1 二元一次方程组第八章二元一次方程组题型
13、一题型一 用代入法或加减法解二元一次方程组用代入法或加减法解二元一次方程组8.2 消元解二元一次方程组例题例题1 1 解二元一次方程组：解二元一次方程组：8.2 消元解二元一次方程组8.2 消元解二元一次方程组解解 方法方法1(1(代入法代入法)：由：由,得得y=2x-1.y=2x-1.把代入把代入,得得3x+2(2x-1)=19,3x+2(2x-1)=19,解得解得x=3.x=3.把把x=3x=3代入代入,得得y=2y=23-1=5.3-1=5.所以原方程组的解为所以原方程组的解为方法方法2(2(加减法加减法)：2,2,得得4x-2y=2.4x-2y=2.+,得得7x=21,7x=21,解得
14、解得x=3.x=3.把把x=3x=3代入代入,得得2 23-y=1,3-y=1,解得解得y=5.y=5.所以原方程组的解为所以原方程组的解为8.2 消元解二元一次方程组锦囊妙计锦囊妙计灵活运用消元法解方程组的技巧灵活运用消元法解方程组的技巧(1)(1)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1,1,或方程组中有一个方程的常数项是或方程组中有一个方程的常数项是0 0时时,用代入法较简便用代入法较简便.(2)(2)当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数绝对值相等当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数绝对值相等,或当方程组中的两个方程的同一
15、个未知数的系数成整数倍时或当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数成整数倍时,用加减法较简便用加减法较简便.8.2 消元解二元一次方程组题型二题型二 用换元法解二元一次方程组用换元法解二元一次方程组8.2 消元解二元一次方程组例题例题2 2 解方程组：解方程组：8.2 消元解二元一次方程组8.2 消元解二元一次方程组解解 方法一：设方法一：设x+y=a,x-y=b,x+y=a,x-y=b,则原方程组可化为则原方程组可化为8.2 消元解二元一次方程组方法二：原方程组可化为方法二：原方程组可化为5-5-,得得26y=104,26y=104,解得解得y=4.y=4.把把y=4y=4代入代入,得得x+
16、20=28,x+20=28,解得解得x=8.x=8.所以原方程组的解为所以原方程组的解为锦囊妙计锦囊妙计用换元法求解二元一次方程组的特点用换元法求解二元一次方程组的特点两方程中都含有相同的式子两方程中都含有相同的式子,如本题中的如本题中的x+y,x-y,x+y,x-y,利用整利用整体思想换元可以简化原方程组的求解过程体思想换元可以简化原方程组的求解过程.8.2 消元解二元一次方程组题型三题型三 用参数法解二元一次方程组用参数法解二元一次方程组8.2 消元解二元一次方程组例题例题3 3 解方程组：解方程组：8.2 消元解二元一次方程组解解 设设 =k,=k,则则x=5k,y=2k.x=5k,y=
17、2k.将将x=5k,y=2kx=5k,y=2k代入方程代入方程,得得15k-4k=22,15k-4k=22,解得解得k=2.k=2.所以所以x=5k=10,y=2k=4.x=5k=10,y=2k=4.所以原方程组的解为所以原方程组的解为8.2 消元解二元一次方程组锦囊妙计锦囊妙计用参数法解方程组的方法用参数法解方程组的方法当方程组中的一个方程形如当方程组中的一个方程形如 (a,b(a,b为常数为常数,且且a0,a0,b0)b0)或或xy=ab(a,bxy=ab(a,b为常数为常数,且且a0,b0)a0,b0)时时,我们考虑我们考虑用含参数用含参数k k的式子分别表示的式子分别表示x,y,x,y
18、,再代入另一个方程得到一个再代入另一个方程得到一个关于关于k k的方程的方程,解方程求出解方程求出k k的值后的值后,即可得到方程组的解即可得到方程组的解.题型四题型四 构造二元一次方程组解题构造二元一次方程组解题8.2 消元解二元一次方程组例题例题4 4 已知已知 是关于是关于x,yx,y的二元一次方程组的二元一次方程组 的的解解,则则2m-n2m-n的算术平方根是的算术平方根是().).A A4 B4 B2 C2 C 2 D2 D2 2B B分析分析 由题意由题意,得得 解得解得 =2.=2.故选故选B.B.例题例题5 5 如果如果3x3x2n-12n-1y ym m与与-5x-5xm m
19、y y3 3是同类项是同类项,那么那么m m和和n n的值分别是的值分别是().).A A3,-2 B3,-2 B-3,2 C-3,2 C3,2 D3,2 D-3,-2-3,-2 8.2 消元解二元一次方程组C C锦囊妙计锦囊妙计构造二元一次方程组解决问题的两种情况构造二元一次方程组解决问题的两种情况(1)(1)利用方程组解的意义列二元一次方程组求未知字母的值；利用方程组解的意义列二元一次方程组求未知字母的值；(2)(2)通过定义、法则、性质等列二元一次方程组求未知字母的值通过定义、法则、性质等列二元一次方程组求未知字母的值.8.2 消元解二元一次方程组题型五题型五 特殊二元一次方程组的求解策
20、略特殊二元一次方程组的求解策略8.2 消元解二元一次方程组例题例题6 6 解方程组：解方程组：8.2 消元解二元一次方程组解解+,得得27x+27y=81,27x+27y=81,化简得化简得x+y=3.x+y=3.-,得得-x+y=-1.-x+y=-1.由与组成新的方程组由与组成新的方程组解得解得所以原方程组的解是所以原方程组的解是锦囊妙计锦囊妙计解决这类问题的方法是借助两个方程相加、相减把原方程组转解决这类问题的方法是借助两个方程相加、相减把原方程组转化为更为简单的二元一次方程组求解化为更为简单的二元一次方程组求解.8.2 消元解二元一次方程组题型六题型六 两个二元一次方程两个二元一次方程(
21、组组)同解问题同解问题8.2 消元解二元一次方程组例题例题7 7 若关于若关于x,yx,y的方程组的方程组 的解也是方程的解也是方程3x+2y=173x+2y=17的解的解,试求试求m m的值的值.8.2 消元解二元一次方程组解解8.2 消元解二元一次方程组锦囊妙计锦囊妙计方程方程(组组)同解问题的解题策略同解问题的解题策略当几个二元一次方程有公共解或两个二元一次方程组同解时当几个二元一次方程有公共解或两个二元一次方程组同解时,可将两个已知的二元一次方程组成方程组可将两个已知的二元一次方程组成方程组,并求出方程组的解并求出方程组的解,然后利用这个解得到关于字母系数的方程然后利用这个解得到关于字
22、母系数的方程(组组),),进而求得字母进而求得字母系数的值系数的值.8.2 消元解二元一次方程组题型七题型七 二元一次方程组的错解问题二元一次方程组的错解问题8.2 消元解二元一次方程组例题例题8 8 甲、乙二人共解方程组甲、乙二人共解方程组 由于甲看错了方由于甲看错了方 程中的程中的m m的值的值,得到方程组的解为得到方程组的解为 乙看错了方程中的乙看错了方程中的n n 的值的值,得到方程组的解为得到方程组的解为 试求试求m m2 2-n-n2 2的值的值.8.2 消元解二元一次方程组8.2 消元解二元一次方程组解解 依题意依题意,得得 解得解得则则m m2 2-n-n2 2=1=12 2-
23、=-.-=-.锦囊妙计锦囊妙计方程组错解问题方法点拨方程组错解问题方法点拨(1)(1)方程组的正解适合方程组中的任意一个方程；方程组的正解适合方程组中的任意一个方程；(2)(2)看错某一看错某一个方程的系数得到的方程组的解个方程的系数得到的方程组的解,只适合方程组中另一个没有只适合方程组中另一个没有看错系数的方程；看错系数的方程；(3)(3)将解代入恰当的方程将解代入恰当的方程,构造关于字母系构造关于字母系数的方程数的方程(组组),),通过解方程通过解方程(组组)可解决问题可解决问题.8.2 消元解二元一次方程组第八章二元一次方程组题型一题型一 用二元一次方程组解决数字问题用二元一次方程组解决
24、数字问题例题例题1 1 一个两位数比它十位上的数字与个位上的数字的和大一个两位数比它十位上的数字与个位上的数字的和大9,9,如果交换十位上的数字与个位上的数字如果交换十位上的数字与个位上的数字,所得的两位数比原两所得的两位数比原两位数大位数大27,27,求这个两位数求这个两位数.8.3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组解解 设这个两位数十位上的数字为设这个两位数十位上的数字为x,x,个位上的数字为个位上的数字为y.y.根据题意根据题意,得得 解得解得答：这个两位数是答：这个两位数是14.14.锦囊妙计锦囊妙计数字、数位问题的解题策略数字、
25、数位问题的解题策略(1)(1)与数位上的数字有关的求数问题与数位上的数字有关的求数问题,一般设各个数位上的数字一般设各个数位上的数字为未知数；为未知数；(2)(2)用含未知数的整式表示数据用含未知数的整式表示数据,如两位数如两位数=十位数十位数字字10+10+个位数字个位数字,三位数三位数=百位数字百位数字100+100+十位数字十位数字10+10+个位个位数字；数字；(3)(3)根据数据间的关系构造方程组求解根据数据间的关系构造方程组求解.8.3 实际问题与二元一次方程组题型二题型二 用二元一次方程组解决利润问题用二元一次方程组解决利润问题例题例题2 2 一件商品如果按原价打九折出售可以赢利
26、一件商品如果按原价打九折出售可以赢利20%,20%,如果打如果打八折出售可以赢利八折出售可以赢利1010元元,那么此商品的原价是多少？那么此商品的原价是多少？8.3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组解解 设此商品的原价为设此商品的原价为x x元元,进价为进价为y y元元.根据题意根据题意,得得 解得解得 答：此商品的原价为答：此商品的原价为200200元元.8.3 实际问题与二元一次方程组锦囊妙计锦囊妙计销售问题的解题策略销售问题的解题策略(1)(1)根据题意设出两个恰当的未知数；根据题意设出两个恰当的未知数；(2)(2)灵活运用销售问题灵活运用销售问题中常见的数量关系
27、构造方程组中常见的数量关系构造方程组,即：利润即：利润=售价售价-进价进价,售价售价=标价标价 ,利润率利润率=100%.100%.题型三题型三 用二元一次方程组解决配套问题用二元一次方程组解决配套问题例题例题3 3 某厂共有某厂共有120120名生产工人名生产工人,每名工人每天可生产螺栓每名工人每天可生产螺栓5050个或螺母个或螺母2020个个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么安排那么安排多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母多少名工人生产螺母,才能使每天生产才能使每天生产出来的产品配套？出来的产品配套？8.3 实际问题与二元一次方程组8.
28、3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组解解 设安排设安排x x名工人生产螺栓名工人生产螺栓,y,y名工人生产螺母名工人生产螺母,则每天可生产螺栓则每天可生产螺栓50 x50 x个个,螺母螺母20y20y个个.根据题意根据题意,得得 解得解得 答：应安排答：应安排2020名工人生产螺栓名工人生产螺栓,100,100名工人生产螺母名工人生产螺母,才能使每天生产出才能使每天生产出来的产品配套来的产品配套.8.3 实际问题与二元一次方程组锦囊妙计锦囊妙计配套问题中的等量关系配套问题中的等量关系最常见的配套问题的等量关系有最常见的配套问题的等量关系有“二合一二合一”问题：如果问题：
29、如果a a件甲产件甲产品和品和b b件乙产品配成一套件乙产品配成一套,那么甲、乙两种产品数满足的等量关那么甲、乙两种产品数满足的等量关系式是系式是 ；类似的；类似的“三合一三合一”问题中问题中,如果如果甲产品甲产品a a件、乙产品件、乙产品b b件、丙产品件、丙产品c c件配成一套件配成一套,那么各种产品数那么各种产品数应满足的等量关系式是应满足的等量关系式是 .题型四题型四 用二元一次方程组解决行程问题用二元一次方程组解决行程问题例题例题4 4 甲、乙两人从同一地点出发甲、乙两人从同一地点出发,同向而行同向而行,甲乘车甲乘车,乙乙步行步行.如果乙先走如果乙先走2020千米千米,那么甲用那么甲
30、用1 1小时能追上乙；如果乙小时能追上乙；如果乙先走先走1 1小时小时,那么甲只用那么甲只用1515分钟就能追上乙分钟就能追上乙.求甲、乙两人的求甲、乙两人的速度速度.8.3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组分析分析 设甲、乙两人的速度分别为设甲、乙两人的速度分别为x x千米千米/时、时、y y千米千米/时时,则其满足的数则其满足的数量关系如图量关系如图8-3-48-3-4所示：所示：8.3 实际问题与二元一次方程组解解 设甲、乙两人的速度分别为设甲、乙两人的速度分别为x x千米千米/时、时、y y千米千米/时时.根据题意根据题意,得得 解这个方程组解这个方程组,得得
31、答：甲、乙两人的速度分别为答：甲、乙两人的速度分别为2525千米千米/时、时、5 5千米千米/时时.锦囊妙计锦囊妙计行程问题中的等量关系行程问题中的等量关系(1)(1)基本等量关系：路程速度基本等量关系：路程速度时间；时间；总路程分路程的和总路程分路程的和.(2)(2)相遇问题：总路程甲走的路程乙走的路程相遇问题：总路程甲走的路程乙走的路程.(3)(3)追及问题：追及距离速度差追及问题：追及距离速度差追及时间追及时间(同向追及同向追及).).(4)(4)流速问题：顺水速度流速问题：顺水速度=静水速度静水速度+水流速度水流速度,逆水速度逆水速度=静水静水速度速度-水流速度水流速度.8.3 实际问
32、题与二元一次方程组题型五题型五 用二元一次方程组解决工程问题用二元一次方程组解决工程问题例题例题5 5 甲、乙、丙三队要完成甲、乙、丙三队要完成A,BA,B两项工程两项工程.B.B工程的工作量工程的工作量比比A A工程的工作量多工程的工作量多25%,25%,甲、乙、丙三队单独完成甲、乙、丙三队单独完成A A工程所需工程所需的时间分别是的时间分别是2020天、天、2424天、天、3030天天.为了同时完成这两项工程为了同时完成这两项工程,先派甲队做先派甲队做A A工程工程,乙、丙两队合做乙、丙两队合做B B工程；经过几天后工程；经过几天后,又调又调丙队与甲队共同完成丙队与甲队共同完成A A工程工
33、程.则乙、丙两队合做了多少天？则乙、丙两队合做了多少天？8.3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组解解 设乙、丙两队合做了设乙、丙两队合做了x x天天,丙、甲两队合做了丙、甲两队合做了y y天天.将将A A工程的工作量视为工程的工作量视为1,1,则则B B工程的工作量可视为工程的工作量可视为1+25%=.1+25%=.由题意由题意,得得 解得解得答：乙、丙两队合做了答：乙、丙两队合做了1515天天.8.3 实际问题与二元一次方程组锦囊妙计锦囊妙计工程问题的解题策略工程问题的解题策略(1)(1)弄清工作量、工作
34、时间、工作效率之间的关系弄清工作量、工作时间、工作效率之间的关系,即工作量即工作量=工工作时间作时间工作效率工作效率,工作效率工作效率=,=,工作时间工作时间=；(2)(2)一般设工作总量为一般设工作总量为1,1,在甲、乙合做完成的工程问题中在甲、乙合做完成的工程问题中,以甲、以甲、乙合做的工作效率乙合做的工作效率=甲的工作效率甲的工作效率+乙的工作效率乙的工作效率,甲的工作量甲的工作量+乙乙的工作量的工作量=工作总量为相等关系构造方程组求解工作总量为相等关系构造方程组求解.题型六题型六 用二元一次方程组解决表格信息题用二元一次方程组解决表格信息题8.3 实际问题与二元一次方程组例题例题6 6
35、 张家界中考张家界中考 某校组织某校组织“大手拉小手大手拉小手,义卖献爱心义卖献爱心”活动活动,购买了黑、白两种颜色的文化衫共购买了黑、白两种颜色的文化衫共140140件件,进行手绘设进行手绘设计后出售计后出售,所获利润全部捐给山区困难孩子每件文化衫的批所获利润全部捐给山区困难孩子每件文化衫的批发价和零售价如下表：发价和零售价如下表：假设文化衫全部售出假设文化衫全部售出,共获利共获利18601860元元,求黑、白两种文化衫各求黑、白两种文化衫各多少件多少件.8.3 实际问题与二元一次方程组解解 设黑色文化衫设黑色文化衫x x件件,白色文化衫白色文化衫y y件件.依题意得依题意得 解得解得答：黑
36、色文化衫答：黑色文化衫6060件件,白色文化衫白色文化衫8080件件锦囊妙计锦囊妙计表格信息题的解题策略表格信息题的解题策略结合文字叙述找出表格中蕴含的等量关系是解题关键结合文字叙述找出表格中蕴含的等量关系是解题关键,主要有主要有两种情况：一是从横向看每行中的数量之间的联系两种情况：一是从横向看每行中的数量之间的联系,二是从纵二是从纵向看每列中的数量之间的联系向看每列中的数量之间的联系8.3 实际问题与二元一次方程组题型七题型七 用二元一次方程组解决图文信息题用二元一次方程组解决图文信息题8.3 实际问题与二元一次方程组例题例题7 7 小华写信给老家的爷爷小华写信给老家的爷爷,折叠折叠长方形信
37、纸长方形信纸,装入标准信封时发现：装入标准信封时发现：若将信纸按图若将信纸按图8-3-58-3-5所示对折两次后所示对折两次后,沿着信封口边线装入时沿着信封口边线装入时,宽绰有宽绰有3.8 3.8 cmcm；若将信纸按图所示三等分折叠；若将信纸按图所示三等分折叠后后,同样方法装入时同样方法装入时,宽绰有宽绰有1.4 cm.1.4 cm.试求信纸的纸长与信封的口宽试求信纸的纸长与信封的口宽.8.3 实际问题与二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组解解 设信纸的纸长为设信纸的纸长为x cm,x cm,信封的口宽为信封的口宽为y cm.y cm.根据题意根据题意,得得 解得解得答：信纸的纸长
38、为答：信纸的纸长为28.8 cm,28.8 cm,信封的口宽为信封的口宽为11 cm.11 cm.锦囊妙计锦囊妙计图文信息题的解题策略图文信息题的解题策略图文信息题的等量关系一般隐含在几何图形中图文信息题的等量关系一般隐含在几何图形中,需要认真分需要认真分析图形的特点析图形的特点,设出恰当的未知数设出恰当的未知数,挖掘等量关系构造方程挖掘等量关系构造方程组求解组求解.8.3 实际问题与二元一次方程组第八章二元一次方程组题型一题型一“缺元缺元”型三元一次方程组的解法型三元一次方程组的解法8.4 三元一次方程组的解法例题例题1 1 解方程组：解方程组：8.4 三元一次方程组的解法解解 2-2-,得
39、得5x+27z=34.5x+27z=34.联立组成方程组联立组成方程组,得得 解得解得 把把 代入代入,得得5+2y+1=2,5+2y+1=2,解得解得y=-2.y=-2.所以原方程组的解为所以原方程组的解为锦囊妙计锦囊妙计“缺元缺元”型三元一次方程组的求解方法型三元一次方程组的求解方法当三元一次方程组中出现二元一次方程时当三元一次方程组中出现二元一次方程时,可把其余的两个方程可把其余的两个方程组合在一起组合在一起,消去在二元一次方程中缺少的那个未知数消去在二元一次方程中缺少的那个未知数.8.4 三元一次方程组的解法题型二题型二 比例型三元一次方程组的解法比例型三元一次方程组的解法8.4 三元
40、一次方程组的解法例题例题2 2 解方程组：解方程组：8.4 三元一次方程组的解法8.4 三元一次方程组的解法解解 由可设由可设x=k,y=2k,z=7k.x=k,y=2k,z=7k.将将x=k,y=2k,z=7kx=k,y=2k,z=7k代入代入,得得2k-2k+21k=21,2k-2k+21k=21,解得解得k=1.k=1.所以所以x=k=1,y=2k=2,z=7k=7.x=k=1,y=2k=2,z=7k=7.所以原方程组的解是所以原方程组的解是锦囊妙计锦囊妙计比例型三元一次方程组的求解方法比例型三元一次方程组的求解方法三元一次方程组中含有比例型的方程时三元一次方程组中含有比例型的方程时,通
41、常根据比例设置参通常根据比例设置参数数,用参数表示各个未知数用参数表示各个未知数,再将各个未知数代入另一个方再将各个未知数代入另一个方程求解程求解,从而达到消元的目的从而达到消元的目的.8.4 三元一次方程组的解法题型三题型三 构造三元一次方程组解题构造三元一次方程组解题例题例题3 3 在等式在等式y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c中中,当当x=-2x=-2时时,y=0,y=0；当；当x=1x=1时时,y=0,y=0；当当x=2x=2时时,y=8.,y=8.求求a,b,ca,b,c的值的值.8.4 三元一次方程组的解法分析分析 把把a,b,ca,b,c当作三个未知数当作三个未知数,分别
42、把已知的分别把已知的x,yx,y值代入原等式值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组就可以得到一个三元一次方程组,通过消元解方程组即可通过消元解方程组即可.8.4 三元一次方程组的解法解解 根据题意根据题意,得方程组得方程组-,得得3a-3b=0,3a-3b=0,即即a-b=0.a-b=0.-,得得4b=8,4b=8,即即b=2.b=2.将将b=2b=2代入代入,得得a=2.a=2.将将a=2,b=2a=2,b=2代入代入,得得c=-4.c=-4.所以所以a=2,b=2,c=-4.a=2,b=2,c=-4.锦囊妙计锦囊妙计等式中待定系数的求解方法等式中待定系数的求解方法将各组变量的对应值分别
43、代入等式将各组变量的对应值分别代入等式,构造出关于待定系数的方构造出关于待定系数的方程组程组,通过消元求解得到各待定系数的值通过消元求解得到各待定系数的值.8.4 三元一次方程组的解法题型四题型四 三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用例题例题4 4 汽车在相距汽车在相距7070千米的甲、乙两地之间往返行驶千米的甲、乙两地之间往返行驶,由于由于行驶中有一个坡度均匀的小山行驶中有一个坡度均匀的小山,所以去时用时所以去时用时2 2小时小时3030分分,返回返回时用时时用时2 2小时小时1818分分,已知汽车在平地上每小时行驶已知汽车在平地上每小时行驶3030千米千米,下坡下坡时每小时行驶时每小时
44、行驶4040千米千米,上坡时每小时行驶上坡时每小时行驶2020千米千米,求从甲地到求从甲地到乙地的上坡路、下坡路及平地的路程乙地的上坡路、下坡路及平地的路程.8.4 三元一次方程组的解法8.4 三元一次方程组的解法8.4 三元一次方程组的解法解解 设从甲地到乙地的上坡路的路程为设从甲地到乙地的上坡路的路程为x x千米千米,下坡路的路程为下坡路的路程为y y千米千米,平地的路程为平地的路程为z z千米千米,则则 解得解得答：从甲地到乙地的上坡路的路程为答：从甲地到乙地的上坡路的路程为1212千米千米,下坡路的路程为下坡路的路程为4 4千米千米,平平地的路程为地的路程为5454千米千米.锦囊妙计锦
45、囊妙计列三元一次方程组解决实际问题的思路列三元一次方程组解决实际问题的思路分析问题分析问题,弄清题意弄清题意,明确问题中存在的未知量明确问题中存在的未知量,设出三个未设出三个未知数知数,找出问题中的三个等量关系找出问题中的三个等量关系,列三元一次方程组求解；列三元一次方程组求解；当问题中只存在两个等量关系时当问题中只存在两个等量关系时,可考虑分类讨论可考虑分类讨论,利用特殊利用特殊解解(非负整数解非负整数解)解决解决.8.4 三元一次方程组的解法题型五题型五 三元一次不定方程的应用三元一次不定方程的应用例题例题5 5 小明用小明用100100元钱恰好买了三种笔共元钱恰好买了三种笔共100100
46、支支,其中钢笔每其中钢笔每支支1010元元,圆珠笔每支圆珠笔每支3 3元元,铅笔每支铅笔每支0.50.5元元,试问三种笔各买了试问三种笔各买了多少支？多少支？8.4 三元一次方程组的解法8.4 三元一次方程组的解法解解 设钢笔买了设钢笔买了x x支支,圆珠笔买了圆珠笔买了y y支支,铅笔买了铅笔买了z z支支,则则2-2-,得得19x+5y=100,19x+5y=100,则则y=20-x.y=20-x.因为因为x,yx,y是正整数是正整数,所以所以x=5,x=5,则则y=1,z=94.y=1,z=94.答：钢笔、圆珠笔、铅笔各买了答：钢笔、圆珠笔、铅笔各买了5 5支、支、1 1支、支、9494
47、支支.锦囊妙计锦囊妙计三元一次不定方程问题的求解策略三元一次不定方程问题的求解策略实际问题中涉及三个未知数实际问题中涉及三个未知数,但只存在两个等量关系但只存在两个等量关系,只能列只能列出两个三元一次方程时出两个三元一次方程时,可先消元可先消元,将两个三元一次方程转化将两个三元一次方程转化为一个二元一次方程为一个二元一次方程,再用含一个未知数的式子表示另一个未再用含一个未知数的式子表示另一个未知数知数,通过讨论整数解来解决问题通过讨论整数解来解决问题.8.4 三元一次方程组的解法第八章 二元一次方程组第八章 二元一次方程组章末复习章末复习二元一次二元一次方程组方程组二元二元一次一次方程方程二元
48、二元一次一次方程方程组组定义定义解法解法应用应用方程组中含有两个未方程组中含有两个未知数知数,含有每个未知含有每个未知数的项的次数都是数的项的次数都是1,1,并且一共有两个方程并且一共有两个方程代入消元法代入消元法加减消元法加减消元法审题审题,确定已知量确定已知量和未知量和未知量设未知数设未知数,找相等关系找相等关系列方程组列方程组解方程组解方程组检验检验,作答作答定义定义二元一二元一次方程次方程的解的解含有两个未知数含有两个未知数,并且含有未知数并且含有未知数的项的次数都是的项的次数都是1 1的整式方程的整式方程使二元一次方程使二元一次方程两边的值相等的两边的值相等的两个未知数的值两个未知数
49、的值三元一次方三元一次方程组程组定义定义方程组中含有三方程组中含有三个未知数个未知数,且含且含有未知数的项的有未知数的项的次数都是次数都是1 1的三的三个整式方程个整式方程章末复习【要点指导要点指导】方程的解是指能使方程左右两边的值相等的未方程的解是指能使方程左右两边的值相等的未知数的值知数的值,方程组的解是指组成方程组的各个方程的公共解方程组的解是指组成方程组的各个方程的公共解.有关二元一次方程有关二元一次方程(组组)的解的问题是本章考查的热点问题之的解的问题是本章考查的热点问题之一一,掌握方程掌握方程(组组)的解的概念是解决此类问题的关键的解的概念是解决此类问题的关键.专题一专题一 二元一
50、次方程二元一次方程(组组)的解的解章末复习例例1 1 若若 是方程是方程3x-2y=263x-2y=26的解的解,求求k k的值的值.分析分析 是方程是方程3x-2y=263x-2y=26的解的解 关于关于k k的的一元一次方程一元一次方程 得到得到k k的值的值.章末复习解解 因为因为 是方程是方程3x-2y=263x-2y=26的解的解,所以所以3(3k-1)-2(-2k+5)=26,3(3k-1)-2(-2k+5)=26,化简化简,得得13k=39,13k=39,解得解得k=3.k=3.章末复习相关题相关题1-11-1 已知已知 是二元一次方程组是二元一次方程组 的解的解,则则a-ba-
