1、圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征焦作市第十一中学 张世科教材分析圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征学情分析教学策略教学过程教学评价 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是高中数学的重要组成部分,它在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要的地位，在生产或生活实际中有着大量的应用。通过本节课的学习，加深学生对圆锥曲线的理解和认识，进一步提高学生用代数方法解决几何问题的能力。教材的地位与作用北师大版高二年级数学选修2-1第三章第四节第二课时教材分析教学目标了解圆锥曲线的共同特征并能够解决简单问题，能够熟练运用直接法和定义法求曲线的方程；通过问题设置，让学生经历观察、猜想、探索、归纳的过程，在自
2、主思考、合作探究中学习；通过亲身体验，增强学生主动探索的意识、自主思考的习惯与合作探究的团队精神。知识与技能过程与方法情感态度与价值观教材分析重点难点教学重难点教学重难点圆锥曲线的共同特征及简单运用圆锥曲线的共同特征的探索研究教材分析 学生已经学习了椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程与简单几何性质等基础知识，掌握了求曲线方程的基本方法。但知识还不够系统完整，方法还需进一步熟练。高二学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，思维活跃、求知欲强，但探究问题的能力尚需进一步培养，合作交流等方面有待加强。学情分析 学生 组织 自主 教学策略1.教学理念 教师 引导 主体 合作 探究 一创设情境，引入新课二
3、合作交流，探究新知 三学以致用，巩固提高 以“发现探究”为主导，在“诱思探究教学”模式下，设计了三个认知层次：教学策略2.策略设计（一）探索发现 合作交流，探究新知 认知层次层层深入，探究过程环环相扣。学生在动眼看、动耳听、动手做、动口说、动脑思中愉悦的学习知识。利用多媒体，节约课堂时间，提高课堂效率。教学策略（五）适度拓展 （三）深入探究 （二）大胆猜想 （四）形成结论 一、创设情景，引入新课请同学们回忆以下知识：1.椭圆、抛物线、双曲线的定义；2.椭圆、抛物线、双曲线的离心率；3.求曲线方程的方法。回忆前面所学知识，做好知识准备。设计意图教学过程一、创设情景，引入新课设计意图教学过程 让学
4、生从图形、方程中感知圆锥曲线的统一性，激发学生的 学习兴趣，引出课题。椭圆、抛物线、双曲线都可以由平面截圆锥得到。设计意图 让学生从图形、方程中感知圆锥曲线的统一性，激发学生的学习兴趣，引出课题。思考：圆锥曲线的方程有什么共同特征吗？是否还存在其它共同特征呢？教学过程圆锥曲线的方程都是二元二次方程。一、创设情景，引入新课二、合作交流，探究新知（一）探索发现设计意图.35,59:),0,5()6(;2,21:),0,2()5(;2,1:),0,2()4(;54,425:),0,4()3(;32,29:),0,2()2(;21,8:),0,2()1(exlFexlFexlFexlFexlFexlF
5、 从具体问题开始探究，遵循特殊到一般，具体到抽象的认知规律。让学生观察常数 取不同数值时，曲线方程的区别，发现规律。e赛一赛：各小组对应题号做题，每组做一道题。组内统一后，组长将结果写在黑板上。问题：曲线上的点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求下列条件下的曲线方程。),(yxMFle教学过程二、合作交流，探究新知（二）大胆猜想设计意图猜想：曲线为椭圆、双曲线时，常数 的 取值范围分别是什么？e猜想结论：10 e时，曲线为椭圆；1e时，曲线为双曲线。从各小组的求解结果发现，当常数为 时，曲线为椭圆；当常数为 时，曲线为双曲线。54,32,2135,2,2 通过几何画板演示，观察
6、曲线为椭圆、双曲线时,常数 的取值，印证猜想结论，激发学生继续探究的兴趣。e教学过程二、合作交流，探究新知（二）大胆猜想（几何画板演示）教学过程二、合作交流，探究新知（二）大胆猜想（几何画板演示）教学过程思考交流：（1）式的几何意义是什么？先自主思考，总结归纳，然后组内交流，统一结论后，推举代表回答。二、合作交流，探究新知（三）深入探究变形：（1）eacxcaycx222)(同除：222)(ycxcaxca)0(221acaPFPF定义：aycxycx2)()(2222列式：2222)(2)(ycxaycx移项：平方：推导椭圆标准方程的部分步骤：222)(ycxacxa问题：能否用前面所学知识
7、验证猜想结论呢？定点、定直线、常数有何意义？教学过程二、合作交流，探究新知（三）深入探究（小组讨论）教学过程二、合作交流，探究新知（三）深入探究（小组代表回答）教学过程二、合作交流，探究新知（三）深入探究变形：（1）eacxcaycx222)(同除：222)(ycxcaxca)0(221acaPFPF定义：aycxycx2)()(2222列式：2222)(2)(ycxaycx移项：平方：推导椭圆标准方程的部分步骤：222)(ycxacxa学生得出结论：椭圆上的点到焦点 的距离与到定直线 的距离之比为常数 .)0,(cFcax2)10(eecax2.)0,(cFoyx),(yxP.教学过程222
8、ycxcaxca同除：思考交流：（2）式的几何意义是什么？先自主思考，然后同桌交流结果，举手回答。eacxcaycx222变形：（2）)0(221caaPFPF定义：aycxycx2)()(2222列式：2222)(2)(ycxaycx移项：222ycxacxa平方：推导双曲线标准方程的部分步骤：二、合作交流，探究新知（三）深入探究),(yxP.),(yxP.学生得出结论：双曲线上的点到焦点 的距离与到定直线 的距离之比为常数 .)0,(cFcax2e)1(e)0,(cF.xOycax2教学过程二、合作交流，探究新知（三）深入探究设计意图 通过本环节,让学生在自主思考、合作交流中探究知识，对知
9、识进行“再创造”，得出圆锥曲线的共同特征,突破难点。思考交流:圆锥曲线有何共同特征？自主思考，然后同桌交流结果。椭圆上的点到焦点 的距离与到 定直线 的距离之比为常数 ；双曲线上的点到焦点 的距离与到定直线 的距离之比为常数 ；抛物线上的点到定点 的距离与到定直线（不过）的距离之比为常数1.)0,(cFcax2)0,(cFcax2Fl lF)10(ee)1(ee教学过程二、合作交流，探究新知（四）形成结论设计意图 投影结论，规范学生的数学语言，注意关键点。通过几何画板演示，加深学生对相应准线的理解，感悟数学的对称美。圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线（直线不过定
10、点）的距离之比等于定值.当 时，它是椭圆；当 时，它是双曲线；当 时，它是抛物线.e10 e1e1e教学过程2.直线不过定点；3.定点为焦点，定直线为与焦点 相应的准线，常数 为离心率。elPFP的距离的距离到定直线到定直线动点动点的距离的距离到定点到定点动点动点1.1.e注意：二、合作交流，探究新知（四）形成结论（几何画板演示）教学过程二、合作交流，探究新知教学过程（四）形成结论（几何画板演示）标准方程图形焦点坐标 准线方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab(,0)c(,0)c(0,)c(0,)c2axc
11、2ayc 2ayc 2axc xyoxyoxyoxyo二、合作交流，探究新知（五）适度拓展设计意图 类比得出焦点在 y 轴的椭圆、双曲线准线方程，鼓励学生课外继续探索验证，培养学生的探索精神。教学过程二、合作交流，探究新知（五）适度拓展（圆锥曲线的统一定义）设计意图 平面内到一个定点 和到一条定直线(不在 上)的距离的比等于常数 的点的轨迹，当 时，它是椭圆；当 时，它是抛物线；当 时，它是双曲线.定点 是焦点，定直线 是与焦点相应的准线，常数 是离心率.FllFe10e1e1eFle 了解圆锥曲线的统一定义。教学过程三、学以致用，巩固提高（一）例题讲解设计意图 熟悉统一定义的用法，强化直接法
12、的运用，体会定义法和直接法的优劣，做题时恰当选择，灵活运用。例1.曲线上的点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求曲线方程.),(yxM)0,2(F8:xl21 先自主思考，组内交流结果，推举代表利用实物投影仪展示并分析解题过程。教学过程三、学以致用，巩固提高例1学生展示1：教学过程三、学以致用，巩固提高例1学生展示2：教学过程三、学以致用，巩固提高（一）例题讲解设计意图xOy2F1F 体会圆锥曲线的共同特征在解题中的应用，强化知识之间的联系，培养学生的思维能力。通过本环节，突出本节课重点。教学过程例2.已知双曲线 上一点 到左焦点的距离为4，求点 到右准线的距离.1366422
13、yxPP三、学以致用，巩固提高例2学生展示1：教学过程三、学以致用，巩固提高例2学生展示2：教学过程三、学以致用，巩固提高（二）练习巩固设计意图当堂检测，反馈效果。2.中心在原点,准线方程为 ,离心 率为 的椭圆的标准方程是_.4x211.方程 表示的曲线 是（）22221xyxA.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线教学过程3.椭圆 上一点 到焦点 的距离等于3，则点 到直线 的 距离为_.1162522yx)0,3(F10 xPP三、学以致用，巩固提高（三）回顾反思设计意图强化所学知识，优化认知结构。1.圆锥曲线的共同特征；2.求曲线方程的常用方法；3.数学思想方法。教学过程你学习了哪些
14、知识？掌握了哪些技能？运用到了哪些数学思想方法？我们是如何探究知识的？三、学以致用，巩固提高（四）作业反馈设计意图 分层设置，让不同程度的学生都能得到提高和发展。1.曲线上的点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求曲线方程.),(yxM)0,5(F516:xl45教学过程必做题：2.已知椭圆 上一点 到右准线 距离为10，求点 到左焦点的距离.1162522yxPP三、学以致用，巩固提高（四）作业反馈设计意图2.已知点 ，点 为椭圆上动点，点 为右焦点，求 的最小值，并求此时点 的坐标.)3,2(AF1121622yxMMFMA2M教学过程1.曲线上的点 到定点 的距离和它到定直
15、线 的距离的比是常数，求曲线方程.),(yxM)0,2(F8:xl2选做题：分层设置，让不同程度的学生都能得到提高和发展。圆锥曲线的统一性展现了数学的统一美，数学的发展是追求美的过程。希望我们每一个人都努力追求美、创造美，描绘出更美好的人生轨迹！讲课结束语：教学过程二、怎么教、怎么学 教师组织、引导学生积极参与教学活动。学生在自主、合作、探究中，对知识进行“再创造”。教学中，及时发现学生的闪光点，给予鼓励，对学生出现的问题，适时点拨。通过练习与作业，反馈学习效果。一、教什么、学什么 通过本节课的学习，让学生了解圆锥曲线的共同特征并能够解决简单问题，强化求曲线方程的方法，体会数学思想方法的运用。三、为什么这样教、这样学 教育的本质在于教学生怎样去发现真理。遵循学生的认知规律，从已会知识开始探究，靠近学生思维的最近发展区。学生对圆锥曲线的统一性的认识从朦胧之感到豁然开朗，发展了思维能力，感悟了数学的统一美。教学评价欢迎评委批评指正！谢 谢！
