1、2022-12-151第三章第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组2022-12-1521 矩阵的初等变换矩阵的初等变换引例引例 求解线性方程组求解线性方程组)1(.97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx2022-12-153 ,97963,232,22,42)1(432143214321432121xxxxxxxxxxxxxxxx)(1B ,3433,6355,0222,42432432432432132xxxxxxxxxxxxx)(2B用消元法用消元法2022-12-154 .3,62,0,4244432432
2、12135xxxxxxxxx .00,62,0,424432432121xxxxxxxx)(3B)(4B2022-12-155令令cx 3代入代入方程组，得解方程组，得解 3344321xcxcxcx2022-12-156消元法的三类变换：消元法的三类变换：（1）对调二个方程的次序；）对调二个方程的次序；（2）以非零的数）以非零的数 k 乘某个方程；乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的 k 倍倍由于三类变换都是可逆的，由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的因此变换前的方程组与变换后是同解的2022-12-157定义定义1 1：下面三类变换称为
3、矩阵的初等下面三类变换称为矩阵的初等行变换行变换:kriki ,02行行的的所所有有元元素素第第乘乘以以以以数数 jikrrikj.3 对对应应的的元元素素上上去去行行倍倍加加到到第第行行所所有有元元素素的的把把第第 jirrji两两行行，对对调调,1同样可定义矩阵的初等同样可定义矩阵的初等列变换列变换 (把把“r”换成换成“c”)初等初等行变换行变换和初等和初等列变换列变换统称统称初等变换初等变换。2022-12-158三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。类的初等变换。jijiiijijikrrkrrkrkrrrrr 1逆逆变变换
4、换行行变变换换jijiiijijikcckcckckccccc 1逆变换逆变换列变换列变换2022-12-159若矩阵若矩阵 A 经过有限次经过有限次初等变换变成初等变换变成 B，则称，则称 A 与与B 等价，记作等价，记作 A B.矩阵的矩阵的等价关系满足：等价关系满足：(i)反身性反身性 A A；(ii)对称性对称性 若若A B，则则B A；(iii)传递性传递性 若若A B，B C，则则A C。2022-12-1510 97963422644121121112),(bA(1)(1)的增广矩阵的增广矩阵)(.,1979634226442224321432143214321 xxxxxxxx
5、xxxxxxxx线性方程组线性方程组2022-12-15111297963211322111241211),(213BbArrr 22334330635500222041211133214Brrrrrr 2022-12-15123523B3100062000011104121123224rrrrr421B0000062000011104121144 rr行阶梯形行阶梯形2022-12-1513521B0000031000301104010133221 rrrrr行最简形行最简形000000000 33443231xxxxx 3344321xcxcxcx令令cx 32022-12-1514FBc
6、ccccccccccc 000000010000010000011343452515233345等价标准形等价标准形 OOOEFr2022-12-1515任一任一 mn 矩阵矩阵 A 都等价于一个如下的矩阵都等价于一个如下的矩阵 OOOEFr 称为称为A的的等价标准形等价标准形。2022-12-15162 初等矩阵初等矩阵定义定义2：由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。为初等矩阵。三类初等变换与三类初等方阵相对应三类初等变换与三类初等方阵相对应)()2(kiEEkri)(,()3(kjiEEjikrr ),()1(jiEEjirr 2022-12
7、-1517 1101111011行行第第 i行行第第 j),(jiE2022-12-1518 1111k行行第第 i)(kiE2022-12-1519 1111k行行第第i行行第第j)(,(kjiE2022-12-1520三类三类初等矩阵：初等矩阵：T)(),()1(jijieeeeEjiE kckrii ;ijjikcckrr ;jijiccrr；T)1()()2(iieekEkiE T)(,()3(jiekeEkjiE 其中其中T)010(iei 2022-12-1521三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。矩阵都是同
8、一类的初等矩阵。),(),(),(),()1(T1jiEjiEjiEjiE )()(),1()()2(T1kiEkiEkiEkiE )(,()(,(),(,()(,()3(T1kijEkjiEkjiEkjiE 2022-12-1522定理定理1：设设 A 为为mn 矩阵，则矩阵，则 AkiEAkri)()2(AkjiEAjikrr)(,()3(AjiEAjirr),()1(T),(jiAEAjicc T)(kiAEAkci T)(,(kjiAEAjikcc 2022-12-1523 100001010 110101321 110321101300010001110101321330101321
9、T100011001 110101321 1101113112022-12-1524方阵方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A可以表示为可以表示为若干个初等矩阵的乘积。若干个初等矩阵的乘积。定理定理2：证明：证明：AF 12sAP PP 充分性充分性.必要性必要性.11sstAPP FPP|0,|0,1,2,iAPitEFF 即即,0|111111ssAP PP 2022-12-1525方阵方阵 A可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A E推论推论1：推论推论2：mn阵阵 A与与 B等价的充要条件是存在等价的充要条件是存在 m阶阶可逆阵可逆阵 P和和 n阶可逆阵阶可逆阵 Q，使得，使得 PAQ
10、=B注意到注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。11stPAQPP AQQB12sAP PP E 2022-12-1526100123001210234010001345100 例例.123012345001010100321210543 2022-12-1527即即 1,A EEA ，初初等等行行变变换换),(),(11 AEEAAsPPPA211 ),(),(121 AEEAPPPs2022-12-1528.,343122321 1 AA求求设设解：解：例：例：100343010122001321EA2022-12-1529 10362001252000
11、1321213123rrrr 1232rrrr 111100012520011201 111100563020231001132325rrrr 2022-12-1530.111253232311 A10013235010322001111 23(2)(1)rr 2022-12-1531例：例：.341352,343122321 ,BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解：解：.)1(1BAXA 可逆，可逆，1(2)(,)(,)A BE A B 初等行变换初等行变换2022-12-1532213123rrrr 343431312252321)(BA 1226209152052321132325
12、rrrr 1232rrrr 311009152041201 3110064020230012022-12-153313223.13XA B 23(2)(1)rr ，3110032010230012022-12-15343 矩阵的秩矩阵的秩定义定义3：在矩阵在矩阵 A中，任取中，任取 k 行、行、k 列所得的列所得的 k2个个 元素不改变它们的相对位置而得的元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式，阶行列式，称为称为 A的一个的一个 k 阶子式阶子式。97963422644121121112AA的一个的一个2阶子式：阶子式：1264 2022-12-1535定义定义4：矩阵：矩阵 A的的 最
13、高阶非零子式的阶数最高阶非零子式的阶数 称为称为 A的秩的秩，记作，记作 R(A)。11214021100005300000B 例例4.求矩阵求矩阵A 和和B 的秩的秩,其中其中123235471A2022-12-153621032031250004300000B 123235471A2 阶子式阶子式12023 3 阶子式阶子式|A|=0 3 阶子式阶子式2130320004 4 阶子式都阶子式都=0 R(A)=2 R(B)=32022-12-1537定理定理 3 若若A B,则则 R(A)=R(B).事实上，若事实上，若 A 经过一次初等变换变为经过一次初等变换变为 B，A的的 k 阶子式全
14、等于零阶子式全等于零,则则 B的的 k 阶子式也全等于零。阶子式也全等于零。BAkri)2(BAjikrr )3(BAjirr)1(2022-12-1538性质性质 1.若若A的所有的所有 r 阶子式阶子式(如果有如果有)全等于零，全等于零，则阶数大于则阶数大于r 的所有子式全等于零。的所有子式全等于零。若若A的所有的所有 k 阶子式全等于零阶子式全等于零,则则 R(A)k2.若若A有一个有一个 k 阶子式非零阶子式非零,则则 R(A)k3.若若A为为mn矩阵矩阵,则则 0 R(A)minm,n4.()()R AR A 2022-12-15395.R(PAQ)R(A),其中其中P,Q为可逆矩阵
15、。为可逆矩阵。9.若若,m nn lABO()()R AR Bn则则max(),()(,)()()R A R BR A BR AR B6.()()()R ABR AR B7.m nn lR AR BnR ABR A R B()()()min(),()8.2022-12-1540设设m nn lR Ar R Br12(),(),则则121122,rrEOEOAPQBPQOOOOrrEOEOCCABPQ PQQ PCCOOOO121211221234 ，记记R ABR Cr r112()()min,故故rrEOEOCCCOABPQPQCCOOOOOO121211212342022-12-1541R
16、 ABR Cnnrnrrrn11212()()()()注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩至多减少一。至多减少一。将将 C1看成一个看成一个 n 阶矩阵划去了阶矩阵划去了n-r1行行,n-r2列，于是有列，于是有2022-12-15423 线性方程组的解线性方程组的解)(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxabAx 2022-12-1543rnrnr rrnrrbbdbbdbbdA bd1,1112,122,11100010001(,)000 0 0000 0 00000 0 00
17、化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵不妨假定不妨假定2022-12-1544 111,2211,221111,110rrnrnrrrrnnrrnnrrddxbxbxdxbxbxdxbxbx(#)2022-12-1545(1)若若 ，则，则(#)无解。无解。10rd (2)若若10,rd 则则(#)有解，并且有解，并且当当rnrn 时，有唯一解。时，有唯一解。时，有无穷多解。时，有无穷多解。2022-12-1546非齐次性线性方程组解的条件非齐次性线性方程组解的条件 定理定理4：非齐次线性方程组非齐次线性方程组m nAxb 有解的充要有解的充要当当 ,r Ar A bn时，有唯一解；时，有唯一解；当
18、当 ,r Ar A bn时，有无穷多解。时，有无穷多解。r Ar A b,条件是条件是，并且，并且2022-12-1547例例10：求解线性方程组：求解线性方程组xxxxxxxxxxxx12341234123423135322223 解：解：A b12311(,)3153221223 2022-12-1548可知方程组无解。可知方程组无解。123110540105401 1231105401000023),(,2)(bARAR2022-12-1549例例11：求解线性方程组：求解线性方程组12312312331334590 xxxxxxxxx 解：解：1131(,)31341590A b 20
19、22-12-1550113104610000 3510243101240000),()(bARAR 2022-12-1551412345233231xxxx得得令令132cx 1312112413453cxcxcx故故2022-12-1552015412331321cxxx2022-12-1553齐次性线性方程组解的条件齐次性线性方程组解的条件 定理定理6：齐次线性方程组：齐次线性方程组 有非零解的有非零解的m nAx0 R An()充充要条件是要条件是2022-12-1554例例9：求解齐次线性方程组：求解齐次线性方程组xxxxxxxxxxxx1234123412342202220430 解
20、：解：A1221312211432022-12-1555122103640364122103640364 000034210352012022-12-1556 1034350122214321ccxxxx 03420352432431xxxxxx2022-12-1557矩阵方程有解的条件矩阵方程有解的条件 定理定理6：矩阵方程：矩阵方程AXB R AR A B()(,)有解的充有解的充要条件是要条件是),();,(2121llbbbBxxxX jjjAXBAxbxl(1,2,)jR AR A bR A B()(,)(,)2022-12-1558定理定理9：矩阵方程：矩阵方程m nAXO R An()有非零解有非零解充充要条件是要条件是m nAXO 有非零解的有非零解的m njjAx,0 存存在在使使有非零解有非零解2022-12-1559 线性代数答疑辅导时间:每周二 12:20到13:20 地点:(数学系)致远楼102室
