1、1第三章第三章 导数的应用导数的应用 导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本定理作为桥梁.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.3.1 中值定理中值定理定理定理1 1 (罗尔定理)设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间 a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)(a)=(b);罗尔罗尔(Rolle)定理定理2()0.f 则在(a,b)内至少存在一点,使得boxABy=f(x)ay罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义:函数(x)在a,b上的图形是连续曲线弧 AB,如果除端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且
2、在闭区间a,b的两个端点a与b处的纵坐标相同,即(a)=(b);此时弦 3AB平行于 x 轴;则在弧 AB 上至少能找到一点C(),使曲线在点 C 处的切线平行于弦AB,即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为()0.f boxABy=f(x)ay124注注1 1.罗尔定理中的三个条件是充分条件罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可缺一不可.否否则结论不一定成立则结论不一定成立.(.(一般地说结论正确就需证明一般地说结论正确就需证明;否则否则,只须举反例即可只须举反例即可)用下列各图形分别说明用下列各图形分别说明:oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)()()f a
3、f b(x)在a,b内有间断点(x)在(a,b)内有不可导点(尖点)注注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如如53sin 04()35cos 44xxfxxx 2此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在 和 =,使oxy=f(x)y2 ()()0.2ff 6例1.验证函数 在区间 1,21,2 上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的 值.32()4710f xxxx 注注3 3.罗尔定理是定性的结果罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在它只肯定了至少存在一个一个,而不能肯定而不能肯定 的个数的个数,也没有指出实际计算也没有指出
4、实际计算 的值的方法的值的方法.但对某些简单情形但对某些简单情形,可从方程中解出可从方程中解出 .7解 因(x)是一初等函数,其定义域为(,).则(x)在1,2上连续,在(1,2)内存在,即(x)在(1,2）可导.2()387fxxx()0fx 4373 则满足题意的点为4373x 23870 xx 而(1)=(2)=0.即(x)在 1,2上满足罗尔定理的条件.由4373 而舍去而舍去8例2.不求函数(x)=(x1)(x2)(x3)x 的导数,说明方程 有几个实根?并指出它们所在区间.()0,1,()1,2,()2,3;f xCf xCf xC 解解()0fx ()(0,1),()(1,2),
5、()(2,3)f xDf xDf xD (0)(1)(2)(3)ffff 且且123()0 ,;fx 故故方方程程有有三三个个不不相相等等的的根根123(0,1),(1,2),(2,3).且且 9例3.设(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且(a)=(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点,使得()()ff ()()xF xf x e 令令()()0 ff 于于是是显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有证证则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即满足罗尔定理的条件.则在(a,b)内至少存在一点 ,使得()()()0 (,b)Fffea (
6、)()(,b)ffa 故故10二.拉格朗日(Lagrange)中值定理定理定理2 2 拉格朗日(Lagrange)中值定理)设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;则在(a,b)内至少存在一点 ,使得()()()f bf afba oxyy=f(x)aAbB12C或 也称微分中值定理.()()()()f bf afba 几何意义:如果在连续曲线弧AB上,除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,又因弦AB的斜率为 则在弧AB上至少()(),f bf aba D11oxy y=f(x)aAbB12既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面利用分析的方
7、法来构造辅助函数.要证()()()()f bf afba 故只须令 F(x)=(b)(a)(xa)(x)(a)(ba)C能找到一点C,使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB.()()()()0f bf afba 移项得移项得()()()()()()0 xf bf axaf xf aba 从而只需验证 F(x)满足罗尔定理的条件即可.易验证这个函数的连续性、可导性以及端点条件.注注:在在 a,b 内的任意闭区间内的任意闭区间 上上,拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理均成立均成立.12,xxD12特别地,若 x 与 x+x为区间(a,b)内的任意两点,则有()()()(01)yf xxf xf xx
8、x 由于当x为有限时,上式是y的准确表达式.因而也把上式称为有限增量公式.而函数的微分 仅是y的近似表达式,因而有限增量公式在理论上十分有用.()dyfx dx 13例4.验证函数(x)=ln x在1,e上满足拉格朗日中值定理.若满足求出.解 因(x)在 1,e上连续,在(1,e)内可导.即(x)在 1,e上满足拉格朗日中值定理.而1()fxx 1lnln1(1)xeex 则由拉格朗日中值公式有11(1)1.ee 14推论推论1.1.(,),()0 xa bfx (,),().xa bf xC 几何意义：斜率处处为 0 的曲线,一定是平行于 x 轴的直线.推论推论2.(,),()()xa bf
9、 xg x (,),()().xa b f xg xC 下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式.例例5.证明22sincos1 (R)xxx 证 22()sincosfxxx 令令()2sincos2cos(sin)0fxxxxx ()(,)f xCxa b 22sincos1xx 22 0,(0)sin 0cos 01xfC 特特殊殊地地取取有有15 例6.证明不等式ln (0)babbaabbaa 分析:因 0 a 1时,证明不等式.xeex 最后特殊取点(2)根据不等式的特点选取适当的函数(x)及对应区间a,b,使其满足定理的条件,便有再根据 a 0,试证在(a,b)内方程 至少存在一
10、个根.222 ()()()()x f bf abafx 证证 因222 ()()()()x f bf abafx 可可以以改改222()()()()2()fxfxf bf axxba 而 在a,b上满足柯西中值定理的条件.2(),f xx所以在(a,b)内至少存在一点 ,使得22()()()2ff bf aba 222 ()()()()f bf abaf 故在(a,b)内方程至少存在一个根 .19结论结论:拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广;柯西柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广中值定理又是拉格朗日中值定理的推广.柯西中值柯西中值定理的特殊情形为拉格朗日中值定理定理的特殊情形为拉格朗日中值定理,拉格朗日中拉格朗日中值定理的特殊情形为罗尔定理值定理的特殊情形为罗尔定理.CRL(a)=(b)g(x)=x
