1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 第第1讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 04 考 点 4 05 专 题 强 化 训 练 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1三角函数：三角函数：设设 是一个任意角是一个任意角，它的终边与单位圆交于点它的终边与单位
2、圆交于点 P(x，y)，则则 sin y，cos x，tan y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正 各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦二正弦，三正切三正切，四余弦四余弦 2同角关系：同角关系：sin2cos21，sin cos tan . 3诱导公式：诱导公式：在在k 2 ，kZ 的诱导公式中的诱导公式中“奇变偶不变奇变偶不变，符号看象限符号看象限” 三角函数的定义、诱导公式及基本关系三角函数的定义、诱导公式及基本关系 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)(2019 湖州市高三
3、期末湖州市高三期末)点点 P 从点从点 A(1，0)出发，沿单位圆出发，沿单位圆 x2y21 逆时针方向逆时针方向 运动运动2 3 弧长到达点弧长到达点 Q，则点，则点 Q 的坐标是的坐标是( ) A. 1 2， ， 3 2 B. 3 2 ，1 2 C. 1 2， ， 3 2 D. 3 2 ，1 2 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 5 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)(2019 长春一模长春一模)已知已知 为锐角，且为锐角，且 2tan()3cos 2 50，tan()6sin( )1，则，则 sin 的值为的值为_ (3)(2018 高考
4、浙江卷高考浙江卷)已知角已知角 的顶点与原点的顶点与原点 O 重合，始边与重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的轴的非负半轴重合，它的 终边过点终边过点 P 3 5， ，4 5 . 求求 sin 的值；的值； 若角若角 满足满足 sin() 5 13，求 ，求 cos 的值的值 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 6 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解【解】 (1)选选 A.点点 P 从从(1， 0)出发出发， 沿单位圆逆时针方向运动沿单位圆逆时针方向运动2 3 弧长到达弧长到达 Q点点， 所以所以QOx 2 3 ， 所以所以 Q cos 2 3
5、 ，sin 2 3 ， 即即 Q 点的坐标为点的坐标为 1 2， ， 3 2 .故选故选 A. (2)2tan()3cos 2 50 化简为化简为2tan 3sin 50，tan()6sin() 1 化简为化简为 tan 6sin 1，因而因而 sin 1 3.故填 故填1 3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 7 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)由角由角 的终边过点的终边过点 P 3 5， ，4 5 得得 sin4 5， ， 所以所以 sin()sin 4 5. 由角由角 的终边过点的终边过点 P 3 5， ，4 5 得得 cos 3 5
6、， ， 由由 sin() 5 13得 得 cos() 12 13. 由由 () 得得 cos cos()cos sin()sin ， 所以所以 cos56 65或 或 cos 16 65. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 应用三角函数的概应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项念和诱导公式的注意事项 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数机械地使用三角函数 的定义就会出现错误的定义就会出现错误 (2)应用诱导公式与同角
7、关系开方运算时应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数 的关系化简要遵循一定的原则的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1已知角已知角 的顶点与原点重合的顶点与原点重合，始边与始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点轴的正半轴重合，终边上一点 P(4，3)，则，则 cos 2 sin（） cos 11 2 sin 9 2
8、 的值为的值为_ 解析：解析：原式原式 sin sin sin cos tan . 根据三角函数的定义根据三角函数的定义，得得 tan y x 3 4， ， 所以原式所以原式3 4. 答案：答案：3 4 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2已知已知 是第四象限角，且是第四象限角，且 sin 4 3 5，则 ，则 tan 4 _ 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 11 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：法一：因为法一：因为 sin 4 3 5， ，所以所以
9、cos 4 sin 2 4 sin 4 3 5， ，因因 为为 为第四象限角为第四象限角， 所以所以 2 2k2k，kZ，所以所以3 4 2k 4 2k 4， ，kZ，所以所以 sin 4 1 3 5 2 4 5， ， 所以所以 tan 4 sin 4 cos 4 4 3. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 12 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 法二：因为法二：因为 是第四象限角是第四象限角，且且 sin 4 3 5， ，所以所以 4为第一象限角 为第一象限角，所以，所以 cos 4 4 5， ，所以所以 tan 4 sin 4 cos 4 cos
10、 2 4 sin 2 4 cos 4 sin 4 4 3. 答案：答案：4 3 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 13 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 函数函数 yAsin(x)的图象的图象 (1)“五点法五点法”作图作图 设设 zx，令，令 z0， 2， ，3 2 ，2，求出，求出 x 的值与相应的的值与相应的 y 的值，描点、连线可得的值，描点、连线可得 三角函数的图象及应用三角函数的图象及应用 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 14 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)图象变换
11、图象变换 ysin x 向左（向左（0）或向右（）或向右（0） 平移平移|个单位个单位 ysin(x) 横坐标变为原来的横坐标变为原来的 1 （ （0）倍）倍 纵坐标不变纵坐标不变 ysin(x) 纵坐标变为原来的纵坐标变为原来的A（A0）倍）倍 横坐标不变横坐标不变 yAsin(x) 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 15 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)函数函数 yAsin(x)的部分图象如图所示的部分图象如图所示，则则( ) Ay2sin 2x 6 By2sin 2x 3 Cy2sin x 6 Dy2sin x 3 专
12、题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 16 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)(2019 温州瑞安七中高考模拟温州瑞安七中高考模拟)函数函数 ysin(2x)的图象沿的图象沿 x 轴向左平移轴向左平移 8个单位后， 个单位后， 得到一个偶函数的图象，则得到一个偶函数的图象，则 的一个可能的值为的一个可能的值为( ) A.3 4 B. 4 C 0 D 4 (3)(2019 浙江五校联考数学模拟浙江五校联考数学模拟)设函数设函数 f(x) 2sin x， ，x0， |cos x|，x（，2，若函数 ，若函数 g(x)f(x) m 在在0，2内恰有内恰有
13、4 个不同的零点，则实数个不同的零点，则实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A(0，1) B1，2 C(0，1 D(1，2) 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 17 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解析】【解析】 (1)由题图易知由题图易知 A2，因为周因为周期期 T 满足满足T 2 3 6 ，所以所以 T，2 T 2. 由由 x 3时 时，y2 可知可知 2 3 2 2k(kZ)，所以所以 6 2k(kZ)，结合选项可知结合选项可知 函数解析式为函数解析式为 y2sin 2x 6 . 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向
14、量与复数 18 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)令令 yf(x)sin(2x)， 则则 f x 8 sin 2 x 8 sin 2x 4 ， 因为因为 f x 8 为偶函数为偶函数， 所以所以 4 k 2， ， 所以所以 k 4， ，kZ， 所以当所以当 k0 时时， 4. 故故 的一个可能的值为的一个可能的值为 4. 故选故选 B. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 19 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (3)画出函数画出函数 f(x)在在0，2的图象的图象，如图所示：如图所示： 若函数若函数 g(x)f(x)m 在在0，2
15、内恰有内恰有 4 个不同的零点个不同的零点， 即即 yf(x)和和 ym 在在0，2内恰有内恰有 4 个不同的交点个不同的交点， 结合图象，知结合图象，知 0m1. 【答案】【答案】 (1)A (2)B (3)A 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 20 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解决三角函数图象问题的方法及注意事项解决三角函数图象问题的方法及注意事项 (1)已知函数已知函数 yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时的图象求解析式时，常采用待定系数法常采用待定系数法，由图由图 中的最高点、最低点或特殊点求中的最高点、最低点或特殊点求 A；由
16、；由函数的周期确定函数的周期确定 ；确定；确定 常根据常根据“五点法五点法”中中 的五个点求解的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点 的位置的位置 (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换还是先周期变换，变换只是相对于其中的变换只是相对于其中的 自变量自变量 x 而言的而言的，如果如果 x 的系数不是的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度 和方向和方向 专题二专题二 三角函数、平面向
17、量与复数三角函数、平面向量与复数 21 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 兰州市诊断考试兰州市诊断考试)函数函数 f(x)sin(x)(0，|0，所以所以 min2 3. 答案：答案：2 3 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 36 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 3(2019 高考浙江卷高考浙江卷)设函数设函数 f(x)sin x，xR. (1)已知已知 0，2)，函数，函数 f(x)是偶函数，求是偶函数，求 的值；的值； (2)求函数求函数 y f x 12 2 f x 4 2的值域 的值域 专题二专
18、题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 37 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解：解：(1)因为因为 f(x)sin(x)是偶函数是偶函数，所以对任意实数所以对任意实数 x 都有都有 sin(x)sin(x)， 即即 sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ， 故故 2sinxcos 0， 所以所以 cos 0. 又又 0，2)，因此因此 2或 或3 2 . 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 38 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)y f x 12 2 f x 4 2 sin2 x
19、 12 sin2 x 4 1cos 2x 6 2 1cos 2x 2 2 11 2 3 2 cos 2x3 2sin 2x 1 3 2 cos 2x 3 . 因此因此，函数的值域是函数的值域是 1 3 2 ，1 3 2 . 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 39 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 三角函数的图象与性质是高考考查的重点三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为三角函数与其他知识交汇命题成为 高考的热点高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、由原
20、来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、 不等式、复数、方程等知识的交汇不等式、复数、方程等知识的交汇 三角函数与其他知识的交汇三角函数与其他知识的交汇 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 40 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)(2019 台州市高考一模台州市高考一模)已知已知 0，)，若对任意的，若对任意的 x1，0，不等式，不等式 x2cos (x1)2sin x2x0 恒成立，则实数恒成立，则实数 的取值范围是的取值范围是( ) A. 12， ，5 12 B. 6， ， 4 C. 4， ，3 4 D.
21、 6， ，5 6 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 41 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)(2019 浙江浙江“七彩阳光七彩阳光”联盟高三联考联盟高三联考)已知函数已知函数 f(x)sin(x) 0，| 2 的图象的图象 过点过点 0， 3 2 ，若，若 f(x)f 6 对对 xR 恒成立，则恒成立，则 的值为的值为_；当；当 最小时，函数最小时，函数 g(x)f x 3 2 2 在区间在区间0，22的零点个数为的零点个数为_ 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 42 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页
22、 【解析】【解析】 (1)设设 f(x)x2cos (x1)2sin x2x(1sin cos )x2(2sin 1)x sin ， 因为因为 0，)， 所以所以 1cos sin 0，且其对称轴为且其对称轴为 x 2sin 1 2（1sin cos ）. 因为因为 f(x)在在1，0的最小值为的最小值为 f(0)或或 f(1)或或 f 2sin 1 2（1sin cos ） ， 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 43 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 所以所以 f（1）0 f（0）0 f 2sin 1 2（1sin cos ） 0 ，即即 cos
23、0 sin 0 sin 21 2 ， 所以所以 0 2 0 12 5 12 .所以所以 12 5 12. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 44 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)由题意得由题意得 3， ，且当且当 x 6时 时，函数函数 f(x)取到最大值取到最大值，故故 6 3 2 2k，kZ，解解 得得 112k，kN，又因为又因为 0，所以所以 的最小值为的最小值为 1，因此因此，g(x)f x 3 2 2 sin x 2 2 的零点个数是的零点个数是 8 个个 【答案】【答案】 (1)A (2)112k(kN) 8 专题二专题二 三角
24、函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 45 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解决三角函数与其他知识的交汇问题解决三角函数与其他知识的交汇问题，可利用数形结合思想利用可利用数形结合思想利用“数形结合数形结合”思想还思想还 可以解决以下问题：可以解决以下问题： (1)讨论含有参数的方程的解的个数问题讨论含有参数的方程的解的个数问题 (2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题求三角函数解析式中含有参数的最值问题 (3)求一些特殊函数的周期求一些特殊函数的周期 (4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等利用三角函数图象对实际问题作出分析等 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数
25、三角函数、平面向量与复数 46 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 湖州市高三期末考试湖州市高三期末考试)若若 ， 2， ， 2 ，且，且 sin sin 0，则必有，则必有( ) A22 B22 C D 解析：解析：选选 B.， 2， ， 2 ，且且 sin sin 0，即即 sin sin ，再根据再根据 yxsin x 为偶函数为偶函数，且在且在 0， 2 上单调递增上单调递增，可得可得|，即即 22，故选故选 B. 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 47 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2 (20
26、19 合肥市第二次教学质量检测合肥市第二次教学质量检测)已知关于已知关于 x 的方程的方程(t1)cos xtsin xt2 在在(0， ) 上有实根，则实数上有实根，则实数 t 的最大值是的最大值是_ 解析：解析：由题意可得由题意可得，1 t 1 cos xsin x 2cos x 11 sin x 2cos x， ， 令令 P(cosx，sin x)，A(2，1)， 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 48 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 则则 kPA1 sin x 2cos x， ，因为因为 x(0，)，所所以以1cos x1，0sin x1，
27、令令 acos x，bsin x， 则点则点P是上半圆是上半圆 a2b21(0b1)上任意一点上任意一点， 如图如图， 可知可知， 0kPA1， 所以所以 011 sin x 2cos x 1，即即 01 t 1，故故 t1，实数实数 t 的最大值是的最大值是1. 答案：答案：1 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 49 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 请做：专题强化训练请做：专题强化训练 word部分：部分： 点击进入链接点击进入链接 专题二专题二 三角函数、平面向量与复数三角函数、平面向量与复数 50 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
