1、数学数学 第2部分 高考热点 专题突破 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 第第1讲讲 等差数列、等比数列等差数列、等比数列 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 2 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 01 考 点 1 02 考 点 2 03 考 点 3 04 考 点 4 05 专 题 强 化 训 练 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 3 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1等差数列的通项公式及等差数列的通项公式及前前 n 项和公式项和公式 ana1(n1)d；Snn（ （a1an） 2 na1n（ （n1） 2
2、 d. 等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算 2等比数列的通项公式及前等比数列的通项公式及前 n 项和公式项和公式 ana1qn 1(q 0)；Sna 1（ （1qn） 1q a 1 anq 1q (q1) 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 4 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)(2019 嘉兴市高考一模嘉兴市高考一模)设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和项和， 若若S1 S4 1 10， ， 则则S3 S5 ( ) A.2 5 B.3 5 C.3 7 D.4 7 (2)(2019 浙江名校协作体高三下学期考试浙江名校协
3、作体高三下学期考试)设等比数列设等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，满足对任意满足对任意 的正整数的正整数 n，均有均有 Sn 38Sn3，则则 a1_，公比公比 q_ 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 5 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解析】【解析】 (1)设公差为设公差为 d，则则 a1 4a16d 1 10， ，da1， 所以所以S3 S5 3a13d 5a110d 2 5， ，故选故选 A. (2)由由 Sn 38Sn3，则则 Sn28Sn13， 两式相两式相减得减得，an 38ananq38an，则则 q38q2， 由等比数列前由等比数列前
4、 n 项和公式得项和公式得，a 1（ （12n 3） ） 12 8 a1（12n） 12 3， 即即 2n 3a 1 a18 2na18a13， 从而解得从而解得 a13 7. 【答案】【答案】 (1)A (2)3 7 2 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 6 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 关于等差关于等差(等比等比)数列的基本运算数列的基本运算， 一般通过其通项一般通过其通项公式和前公式和前n项和公式构造关于项和公式构造关于a1和和d(或或 q)的方程或方程组解决的方程或方程组解决，如果所给出的是递推关系式如果所给出的是递推关系式，可通过将递推关系式变形可通过
5、将递推关系式变形，构造构造 出满足等差出满足等差(等比等比)数列定义的新数列数列定义的新数列，然后再按等差然后再按等差(等比等比)数列进行基本运算数列进行基本运算 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 7 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 温州瑞安七中高考模拟温州瑞安七中高考模拟)数列数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若若 a11，an 13Sn(n1)， 则则 a6( ) A344 B3441 C44 D441 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 8 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析：选选
6、A.由由 an 13Sn，得到得到 an3Sn1(n2)， 两式相减得：两式相减得：an 1an3(SnSn1)3an， 则则 an 14an(n2)，又又 a11，a23S13a13， 得到此数列除去第一项后得到此数列除去第一项后，为首项是为首项是 3，公比为公比为 4 的等比数列的等比数列， 所以所以 ana2qn 2 34n 2(n 2)， a6344，故选故选 A. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 9 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2(2019 名校新高考研究联盟名校新高考研究联盟)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：我国古代数学名著算法统宗中有如下
7、问题：“远望巍远望巍 巍塔七层巍塔七层，红光点点倍加增红光点点倍加增，共灯三百八十一共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？请问尖头几盏灯？”意思是：一座意思是：一座 7 层层 塔共挂了塔共挂了 381 盏灯盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍倍，则塔的底层共有则塔的底层共有 灯灯( ) A186 盏盏 B189 盏盏 C192 盏盏 D96 盏盏 解析：解析：选选 C.设塔的底层共有灯设塔的底层共有灯 x 盏盏，则各层的灯数构成一个首项为则各层的灯数构成一个首项为 x，公比为公比为1 2的等比数 的等比数 列列. x 1 1 2 7 11 2 3
8、81，解得解得 x192. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 10 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 3 (2019 绍兴市柯桥区高三期中考试绍兴市柯桥区高三期中考试)已知正数数列已知正数数列an的前的前 n 项项和和 Sn满足：满足： Sn和和 2 的等的等 比中项等于比中项等于 an和和 2 的等差中项的等差中项，则则 a1_，Sn_ 解析：解析：由题意知由题意知a n 2 2 2Sn， 平方可得平方可得 Sn（ （an2）2 8 ， 由由 a1S1得得a 1 2 2 2a1， 从而可解得从而可解得 a12. 又由又由式得式得 Sn 1（ （an 12）2 8
9、(n2)， 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 11 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 可得可得 anSnSn 1（ （an2）2 8 （ （an 12）2 8 (n2)， 整理得整理得(anan 1)(anan14)0 因为数列因为数列an的各项的各项都是正数都是正数， 所以所以 anan 140，即即 anan14. 故数列故数列an是以是以 2 为首项为首项 4 为公差的等差数列为公差的等差数列， 所以所以 Sn2nn（ （n1） 2 42n2. 当当 n1 时时，S1a12. 故故 Sn2n2. 答案：答案：2 2n2 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学
10、归纳法 12 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 4 (2019 杭州市学军中学高三模拟杭州市学军中学高三模拟)已知等比数列已知等比数列an的公比的公比 q0， 前前 n 项和为项和为 Sn， 若若 2a3， a5，3a4成等差数列成等差数列，a2a4a664，则则 q_，Sn_ 解析：解析：由由 2a3，a5，3a4成等差数列得成等差数列得 2a52a33a42q223qq2(负舍负舍)，a2a4a6 64a3 4 64a44a1a4 q3 1 2， ，Sn 1 2（ （12n） 12 2 n 1 2 . 答案：答案：2 2n1 2 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法
11、 13 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1证明数列证明数列an是等差数列的两种基本方法是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义利用定义，证明证明 an 1an(nN*)为一常数；为一常数； (2)利用等差中项利用等差中项，即证明即证明 2anan 1an1(n2) 等差、等比数列的判定与证明等差、等比数列的判定与证明 2证明数列证明数列an是等比数列的两种基本方法是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义利用定义，证明证明a n 1 an (nN*)为一常数；为一常数； (2)利用等比中项利用等比中项，即证明，即证明 a2 n an 1an1(n2) 专题三专题
12、三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 14 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 典型例题典型例题 (1)如图如图，点列点列An，Bn分别在某锐角的两边上分别在某锐角的两边上，且且|AnAn 1|An1An2|，An An 2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ 表示点表示点 P 与与 Q 不重合不重合)若若 dn|AnBn|，Sn为为AnBnBn 1的面积的面积，则则( ) ASn是等差数列是等差数列 BS2 n是等差数列 是等差数列 Cdn是等差数列是等差数列 Dd2 n是等差数列 是等差数列 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 15 返回
13、导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)(2019 温州市高考二模温州市高考二模)设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，nN*.已知已知 a11，a23 2， ，a35 4， ， 且当且当 n2 时时，4Sn 25Sn8Sn1Sn1. 求求 a4的值；的值； 证明：证明： an 11 2an 为等比数列；为等比数列； 求数列求数列an的通项公式的通项公式 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 16 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解】【解】 (1)选选 A.由题意由题意，过点过点 A1，A2，A3，An，An 1，分别作直线分别作直线 B1Bn
14、1的垂的垂 线线，高分别记为高分别记为 h1，h2，h3，hn，hn 1，根据平行线的性质根据平行线的性质，得得 h1，h2，h3， hn， hn 1， 成等差数列成等差数列， 又又 Sn1 2 |BnBn 1|hn， |BnBn1|为定值为定值， 所以所以Sn是等差数列 故是等差数列 故 选选 A. (2)当当 n2 时时，4S45S28S3S1， 即即 4 13 2 5 4 a45 13 2 8 13 2 5 4 1， 解得：解得：a47 8. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 17 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 证明：证明：因为因为 4Sn 25Sn8Sn
15、1Sn1(n2)， 所以所以 4Sn 24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)， 即即 4an 2an4an1(n2)， 因为因为 4a3a145 4 164a2，所以所以 4an 2an4an1， 因为因为 an 21 2an 1 an 11 2an 4a n 22an1 4an 12an 4a n 1an2an1 4an 12an 2an 1an 2（2an 1an） 1 2. 所所以数列以数列an 11 2an是以 是以 a21 2a1 1 为首项为首项，公比为公比为1 2的等比数列； 的等比数列； 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 18 返回导返回导 航航 下一页下一页
16、 上一页上一页 由由知知， an 11 2an 是以是以 a21 2a1 为首项为首项，公比为公比为1 2的等比数列 的等比数列， 所以所以 an 11 2an 1 2 n1. 即即 an 1 1 2 n1 an 1 2 n 4， 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 19 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 所以所以 an 1 2 n是以是以a 1 1 2 2 为首项为首项，4 为公差的等差数列为公差的等差数列， 所以所以 an 1 2 n 2(n1)44n2，即即 an(4n2) 1 2 n (2n1) 1 2 n1， ， 所以数列所以数列an的通项公式是的通项公式是
17、 an(2n1) 1 2 n1. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 20 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (1)判断一个数列是等差判断一个数列是等差(等比等比)数列数列，还有通项公式法及前还有通项公式法及前 n 项和项和公式法公式法，但不作为证明但不作为证明 方法方法 (2)若要判断一个数列不是等差若要判断一个数列不是等差(等比等比)数列数列， 只需判断存在连续三项不成等差只需判断存在连续三项不成等差(等比等比)数列即数列即 可可 (3)a2 n an 1an1(n2，nN*)是是an为等比数列的必要不充分条件为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列也就是判
18、断一个数列 是等比数列时是等比数列时，要注意各项不为要注意各项不为 0. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 21 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 金华十校高考金华十校高考模拟模拟)已知已知 a，b 为实常数为实常数，ci(iN*)是公比不为是公比不为 1 的等比数列的等比数列， 直线直线 axbyci0 与抛物线与抛物线 y22px(p0)均有两个交点均有两个交点，所成弦的中点为所成弦的中点为 Mi(xi，yi)，则则 下列说下列说法错误的是法错误的是( ) A数列数列xi可能是等比数列可能是等比数列 B数列数列yi是常数列是常数列
19、 C数列数列xi可能是等差数列可能是等差数列 D数列数列xiyi可能是等比数列可能是等比数列 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 22 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解析：解析： 选选 C.由直线由直线 axbyci0， 当当 a0， b0 时时， 直线直线 byci0 与抛物线与抛物线 y22px(p0) 仅有一个交点仅有一个交点，不合题意不合题意 当当 a0，b0 时时，直线直线 axci0，化为：化为： xci a， ，则则 xici a， ，yi0，xiyici a， ， 由由ci(iN*)是公比不为是公比不为 1 的等比数列的等比数列，可得可得xi是等比
20、数列是等比数列，xiyi是等比数列是等比数列，不是不是 等差数列等差数列 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 23 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 当当 a0，b0 时时，直线直线 axbyci0 化为：化为：xb ay ci a， ，代入抛物线代入抛物线 y22px(p0)， 所以所以 y22pb a y2pci a 0. 根据根与系数的关系可得：根据根与系数的关系可得： Mi pb2 a2 ci a， ，pb a ，即即 yipb a ，yi是常数列是常数列，是等比数列是等比数列，是等是等差数列差数列 综上可得：综上可得：A，B，D 都有可能都有可能，只有只有
21、C 不可能故选不可能故选 C. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 24 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2记记 Sn为等比数列为等比数列an的前的前 n 项和项和，已知已知 S22，S36. (1)求求an的通项公式；的通项公式； (2)求求 Sn，并判断并判断 Sn 1，Sn，Sn2是否成等差数列是否成等差数列 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 25 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解：解：(1)设设an的公比为的公比为 q.由题设可得由题设可得 a1（ （1q）2， a1（1qq2）6. 解得解得 q2，a12. 故故an的通的通
22、项公式为项公式为 an(2)n. (2)由由(1)可得可得 Sna 1（ （1qn） 1q 2 3 (1)n2 n1 3 . 由于由于 Sn 2Sn14 3 (1)n2 n3 2n 2 3 22 3 (1)n2 n1 3 2Sn，故故 Sn 1，Sn，Sn2成成 等差数列等差数列 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 26 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 核心提炼核心提炼 1. 等差数列等差数列 等比数列等比数列 性性 质质 (1)若若 m， n， p， qN*， 且且 mnpq， 则则 amanapaq； (2)anam(nm)d； (3)Sm，S2mSm，S3mS
23、2m，仍成等差仍成等差 数列数列 (1)若若 m，n，p，qN*，且且 mnpq， 则则 amanapaq； (2)anamqn m； ； (3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数仍成等比数 列列(q1) 数列的性质及应用数列的性质及应用 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 27 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2.递增递增(减减)数列数列 从第二项起从第二项起，每一项都大于它的前一项每一项都大于它的前一项，即即 anan 1(n2)的数列叫做递增数列；每的数列叫做递增数列；每一项一项 都小于它的前一项，即都小于它的前一项，即 an0 且且 a10” 是是“
24、数数 列列Sn单调递增单调递增”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 (2)设等比数列设等比数列an满足满足 a1a310，a2a45，则则 a1a2an的最大值为的最大值为_ 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 29 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 【解析】【解析】 (1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d，d0. Snna1n（ （n1） 2 dd 2n 2 a1d 2 n d 2 nd 2a1 2d 2 （ （d2a1）2 8d ， 因为数列
25、因为数列Sn单调递增单调递增， 所以所以 d0，d 2a1 2d 1， 可得可得 d2a10. 由由 a20 且且 a10，可得可得 a2a1d0. 所以所以“a20 且且 a10”是是“数列数列Sn单单调递增调递增”的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 30 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)设设an的公比为的公比为 q，由由 a1a310，a2a45 得得 a18，q1 2， ，则则 a24，a32，a41， a51 2， ，所以所以 a1a2ana1a2a3a464. 【答案】【答案】 (1)D (2)64 专题
26、三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 31 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 等差、等比数列性质问题的求解策略等差、等比数列性质问题的求解策略 (1)抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行从这些特点入手选择恰当的性质进行 求解求解 (2)数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质具有函数的一些性质，如单调性、周期性等如单调性、周期性等，可利用函数的可利用函数的 性质解题性质解题 (3)利用数列性质进行运算时利用数列性质进行运算时，要利用整体思想要利用整体思想(如本例如本例(2)，可
27、以减少计算量可以减少计算量，此方法还此方法还 适用于求函数值、求函数的解析式等问题适用于求函数值、求函数的解析式等问题 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 32 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 丽水丽水市高考数学模拟市高考数学模拟)设等比数列设等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，下列结论一定成立的是下列结论一定成立的是 ( ) Aa1a32a2 Ba1a32a2 Ca1S30 Da1S30，故故 D 错误；对于选项错误；对于选项 C，a1(a1a2a3)a1(a1 a1qa1q2)a2 1(1 qq2)，因为等比数列的项不为
28、因为等比数列的项不为 0，故故 a2 10， ，而而 1qq2 q1 2 2 3 40， ，故故 a2 1(1 qq2)0，故故 C 正确正确 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 34 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2设公差为设公差为 d 的等差数列的等差数列an的前的前 n 项和项和为为 Sn，若若 a11， 2 17n2，当当 n5 时时，若若 t(n24n)n2 恒成立恒成立，则则 t n2 n24n 1 （n2） 4 n2 恒成立恒成立，又当又当 n5 时时， 1 （n2） 4 n2 的最大值为的最大值为3 5， ，则则 t 的取值范围是的取值范围是 3
29、5， ， .故选故选 C. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 38 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 (2)因为因为 a1a3a2 2 12121，a2a4a2 3 13221， a3a5a2 4 25321，a4a6a2 5 38521，a2 017a2 019a2 2 018 1， 共有共有 2 017 项项，所以所以(a1a3a2 2)(a2a4 a2 3) (a3a5 a2 4) (a2 017a2 019a2 2 018) 1. 【答案】【答案】 (1)C (2)1 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 39 返回导返回导 航航 下一页下一页 上
30、一页上一页 数列新定义型创新题的一般解题思路数列新定义型创新题的一般解题思路 (1)阅读审清阅读审清“新定义新定义”； (2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到化归、转化到“新定义新定义”的相关知识；的相关知识； (3)利用利用“新定义新定义”及常规的数列知识及常规的数列知识，求解证明相关结论求解证明相关结论 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 40 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 对点训练对点训练 1(2019 杭州第一次质量预测杭州第一次质量预测)正项等比数列正项等比数列an中的中的 a1、a4 035是函
31、数是函数 f(x)1 3x 3 4x2 6x3 的极值点的极值点，则则 log a2 018( ) A1 B2 C 2 D1 解析：解析：选选 A.因为因为 f(x)x28x6，且且 a1、a4 035是方程是方程 x28x60 的两根的两根，所以所以 a1a4 035a2 2 018 6，即即 a2 018 6，所以所以 log a2 0181，故选故选 A. 6 6 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 41 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 2若数列若数列bn对于对于 nN*，都有都有 bn 2bnd(常数常数)，则称数列则称数列bn是公差为是公差为 d 的准等差
32、数的准等差数 列列，如数列如数列cn，若若 cn 4n 1，n为奇数为奇数， 4n9，n为偶数为偶数，则数列 则数列cn是公差为是公差为 8 的准等差数列设数的准等差数列设数 列列an满足满足 a1a，对于对于 nN*，都有都有 anan 12n. (1)求证：求证：an为准等差数列；为准等差数列； (2)求求an的通项公式及前的通项公式及前 20 项和项和 S20. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 42 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 解：解：(1)证明：证明：因因为为 an 1an2n， 所以所以 an 2an12n2. 由由得得 an 2an2(nN*)，
33、 所以所以an是公差为是公差为 2 的准等差数列的准等差数列 (2)已知已知 a1a，an 1an2n(nN*)， 所以所以 a1a22，即即 a22a. 所所以由以由(1)可知可知 a1，a3，a5，成以成以 a 为首项为首项，2 为公差的等差数列为公差的等差数列，a2，a4，a6， 成以成以 2a 为首项为首项，2 为公差的等差数列为公差的等差数列 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 43 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 所以当所以当 n 为偶数时为偶数时，an2a n 2 1 2na， 当当 n 为奇数时为奇数时，ana n1 2 1 2na1， 所以所以 an n a1，n为奇数为奇数， na，n为偶数为偶数. S20a1a2a19a20(a1a2)(a3a4)(a19a20) 21232192（ （119）10 2 200. 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 44 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 请做：专题强化训练请做：专题强化训练 word部分：部分： 点击进入链接点击进入链接 专题三专题三 数列与数学归纳法数列与数学归纳法 45 返回导返回导 航航 下一页下一页 上一页上一页 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
