1、 专题强化训练 基础达标 1某同学求得一离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.3 3a1 则 a 的值为( ) A0.3 B0.4 C0.5 D0.6 解析：选 C.由分布列性质得 0.20.33a11， 所以 a0.5，故选 C. 2袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，取出白球的概率为( ) A.2 5 B. 4 15 C. 3 5 D. 1 15 解析：选 A.从 15 个球中任取一球有 15 种取法，取出白球有 6 种， 所以取出白球的概率 P 6 15 2 5. 3设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功
2、次数，则 P(X0)等于( ) A0 B.1 2 C. 1 3 D. 2 3 解析：选 C.设 X 的分布列为 X 0 1 P p 2p 即“X0”表示试验失败， “X1”表示试验成功，由 p2p1，得 p1 3，故应选 C. 4(2019 嘉兴市一中高考适应性考试)随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)2，则 D(2X 3)( ) X 0 2 a P 1 6 p 1 3 A.2 B3 C4 D5 解析：选 C.由题意可得： 1 6p 1 31，解得 p 1 2，因为 E(X)2，所以 0 1 62 1 2a 1 3 2，解得 a3. D(X)(02)21 6(22) 21 2(32) 2
3、1 31.D(2X3)4D(X)4.故选 C. 5若随机变量 X 的分布列为，其中 C 为常数，则下列结论正确的是( ) AE(X)D(X)0 BE(X)C，D(X)0 CE(X)0，D(X)C DE(X)D(X)C 解析：选 B.E(X)C1C，D(X)(E(X)C)210，故选 B. 6设随机变量 Y 的分布列如下表： Y 1 2 3 P 1 4 m 1 4 则“3 2Y 7 2”的概率为( ) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D.2 3 解析：选 C.依题意知，1 4m 1 41，则 m 1 2. 故 P 3 2Y 7 2 P(Y2)P(Y3)1 2 1 4 3 4. 7已知 M1，
4、2，3，4，若 aM，bM，则函数 f(x)ax3bx2x3 在 R 上为增 函数的概率是( ) A. 9 16 B. 7 16 C. 5 16 D. 3 16 解析：选 A.记事件 A 为“函数 f(x)ax3bx2x3 在 R 上为增函数” 因为 f(x)ax3bx2x3，所以 f(x)3ax22bx1.当函数 f(x)在 R 上为增函数时，f (x)0 在 R 上恒成立 又 a0，所以 (2b)243a4b212a0 在 R 上恒成立，即 ab 2 3 . 当 b1 时，有 a1 3，故 a 可取 1，2，3，4，共 4 个数； 当 b2 时，有 a4 3，故 a 可取 2，3，4，共
5、3 个数； 当 b3 时，有 a3，故 a 可取 3，4，共 2 个数； 当 b4 时，有 a16 3 ，故 a 无值可取 综上，事件 A 包含的基本事件有 4329(个) 又 a, b1，2，3，4，所以所有的基本事件共有 4416(个)故所求事件 A 的概率为 P(A) 9 16.故选 A. 8一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a， b， c(0， 1) 已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况)， 则 ab 的最大值为( ) A.1 6 B. 1 12 C. 1 24 D. 1 48 解析：选 A.由题意知该运动员投篮一
6、次得分的数学期望为 E0c2b3a3a 2b2.由均值不等式知 3a2b2 6ab， 所以 2 6ab2，即 ab1 6. 9一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和 10 环的成绩，未射中 9 环或 10 环就以 0 环 记，该运动员在练习时射中 10 环的概率为 a，射中 9 环的概率为 b，即未射中 9 环也未射中 10 环的概率为 c(a，b，c0，1)，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为 9 环，则当 10 a 1 9b取最小值时，c 的值为( ) A. 1 11 B. 2 11 C. 5 11 D0 解析：选 A.由该运动员一次射箭射中环数的期望为 9 环得 10a9b9，所
7、以10 a 1 9b 10 a 1 9b 10a 9 b 101 9 10 b a a 81b ， 当且仅当b a a 81b，即 a9b 时， 10 a 1 9b取得最小值，解得 a 9 11， b 1 11， 此时 c1ab1 9 11 1 11 1 11. 10体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次一旦发球成功， 则停止发球，否则一直发到 3 次为止，设学生一次发球成功的概率为 p(p0)，发球次数为 X， 若 X 的数学期望 E(X)7 4，则 p 的取值范围是( ) A. 0， 7 12 B. 7 12，1 C. 0，1 2 D. 1 2，1 解析：选 C.由已
8、知条件可得 P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3 (1p)2，则 E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p37 4， 解得 p5 2或 p 1 2，又由 p(0, 1)可得 p(0， 1 2) 11(2019 浙江新高考联盟联考)已知随机变量 X 的分布列是： X 0 1 2 P 1 6 1 3 m 则 m_，E(X)_ 解析：因为1 6 1 3m1，所以 m 1 2.所以 E(X)0 1 61 1 32 1 2 4 3. 答案：1 2 4 3 12(2019 浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有 6 名男同学，4 名女同
9、学，其中 3 名来自 1 班，其余 7 名来自其他互不相同的 7 个班，现从 10 名同学中随机选择 3 名参加文艺 晚会，则选出的 3 名同学来自不同班级的概率为_，设 X 为选出 3 名同学中女同学的 人数，则该变量 X 的数学期望为_ 解析：设“选出的 3 名同学是来自互不相同班级”为事件 A，则 P(A)C 1 3C 2 7C 3 7 C310 49 60. 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，P(Xk)C k 4C 3k 6 C310 (k0，1，2，3) 所以随机变量 X 的分布列是： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的数学期望
10、 E(X)011 22 3 103 1 30 6 5. 答案：49 60 6 5 13从 4 双不同鞋子中任取 4 只，则其中恰好有一双的不同取法有_种，记取出 的 4 只鞋子中成双的鞋子对数为 X，则随机变量 X 的数学期望 E(X)_ 解析：从 4 双不同鞋子中任取 4 只，则其中恰好有一双的不同取法有 C14C23C12C1248. X0，1，2，P(X0)（C 1 2） 4 C48 8 35，P(X1) 48 C48 24 35，P(X2) C24 C48 3 35. X 的分布列为： X 0 1 2 P 8 35 24 35 3 35 E(X)0124 352 3 35 6 7. 答
11、案：48 6 7 14随机变量 的分布列如下表： 1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列若 E()1 3，则 D()的值是_ 解析：由题意可得 1 a0 b1 c1 3， abc1， 2bac， 解得 a 1 6， b1 3， c1 2， 所以 D() 11 3 2 1 6 01 3 2 1 3 11 3 2 1 2 5 9. 答案：5 9 15已知集合 M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A 是集合 N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与抛物线 yx21 有交点的概率是_ 解析：易知过点(0，0)与抛物线 yx21 相切的直线为 y2x(斜率小于 0 的无
12、需考虑)， 集合 N 中共有 16 个元素，其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共 4 个，由古典概型的概率计算公式知概率为 P 4 16 1 4. 答案：1 4 16将两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 的数学期望 E() _ 解析：将两封信投入 A，B，C 三个空邮箱，投法种数是 329， A 中没有信的投法种数是 224，概率为4 9； A 中仅有一封信的投法种数是 C1224，概率为4 9； A 中有两封信的投法种数是 1，概率为1 9. 故 A 邮箱的信件数 的数学期望 E()4 90 4 91 1 92 2 3
13、. 答案：2 3 17(2019 温州市高考模拟)袋中有 6 个编号不同的黑球和 3 个编号不同的白球，这 9 个 球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取 3 个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白 球的方法总数是_，设摸取的这三个球中所含的黑球数为 X，则 P(Xk)取最大值时，k 的值为_ 解析：袋中有 6 个编号不同的黑球和 3 个编号不同的白球，这 9 个球的大小及质地都相 同，现从该袋中随机摸取 3 个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是： nC26C1345. 设摸取的这三个球中所含的黑球数为 X，则 X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X0)C 3 3 C39
14、 1 84， P(X1)C 1 6C 2 3 C39 18 84， P(X2)C 2 6C 1 3 C39 45 84， P(X3)C 3 6 C39 20 84， 所以 P(Xk)取最大值时，k 的值为 2. 答案：45 2 18(2019 湖州市高三期末考试)袋中装有 9 个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红 色、蓝色、黄色球各 3 个，现从中随机地连取 3 次球，每次取 1 个，记事件 A 为“3 个球都是 红球”，事件 B 为“3 个球颜色不全相同” (1)若每次取球后不放回，分别求出事件 A 和事件 B 的概率(用数字作答)； (2)若每次取球后放回，分别求出事件 A 和事件 B
15、的概率(用数字作答) 解：(1)袋中装有 9 个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各 3 个， 现从中随机地连取 3 次球，每次取 1 个，记事件 A 为“3 个球都是红球”，事件 B 为“3 个球 颜色不全相同”， 每次取后不放回，基本事件总数 n987504， 事件 A 包含的基本事件个数 mA3216， 事件 B 的对立事件是“3 个球颜色全相同”， 所以事件 A 的概率 P(A)mA n 3 252 事件 B 的概率 P(B)1666 504 27 28. (2)每次取后放回，基本事件总数 n999729，事件 A 包含的基本事件个数 mA 33327， 事件 B 的
16、对立事件是“3 个球颜色全相同”， 所以事件 A 的概率 P(A)mA n 27 729 1 27. 事件 B 的概率 P(B)1272727 729 8 9. 19(2019 浙江金华十校期末调研)甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规 则：依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；每人最多闯 3 关； 闯第一关得 10 分，闯第二关得 20 分，闯第三关得 30 分，一关都没过则没有得分已知甲 每次闯关成功的概率为1 4，乙每次闯关成功的概率为 1 3. (1)设乙的得分总数为 ，求 的分布列和数学期望； (2)求甲恰好比乙多 30 分的概率 解：(1) 的取值为 0
17、，10，30，60. P(0)11 3 2 3， P(10) 1 3(1 1 3) 2 9， P(30) 1 3 1 3(1 1 3) 2 27， P(60)( 1 3) 3 1 27. 则 的分布列如下表： 0 10 30 60 P 2 3 2 9 2 27 1 27 E()02 310 2 930 2 2760 1 27 20 3 . (2)设甲恰好比乙多 30 分为事件 A，甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件 B1，甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件 B2，则 AB1B2，B1、B2为互斥事件 P(A)P(B1B2)P(B1)P(B2)(1 4) 23 4 2 3( 1
18、 4) 32 27 7 216. 所以，甲恰好比乙多 30 分的概率为 7 216. 能力提升 1某射击运动员在一次射击比赛中所得环数 的分布列如下： 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知 的均值 E()4.3，则 y 的值为( ) A0.6 B0.4 C0.2 D0.1 解析：选 C.由题意知，x0.10.3y1，又 E()3x40.150.36y4.3，两式 联立解得 y0.2. 2若 p 为非负实数，随机变量 的分布列为 0 1 2 P 1 2p p 1 2 则 E()的最大值为( ) A1 B.3 2 C.5 2 D2 解析：选 B.由 0p 1 2 01 2P 1 2 ，
19、得 0p1 2，E()p1 3 2. 3设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)1 5(k2，4，6，8，10)，则 D(X)等于( ) A5 B8 C10 D16 解析：选 B.因为 E(X)1 5(246810)6， 所以 D(X)1 5(4) 2(2)20222428. 4 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表， 若 E(X)0， D(X)1， 则 a， b 的值分别为( ) X 1 0 1 2 P a b c 1 12 A. 5 12， 1 4 B. 7 12， 1 4 C. 1 12， 3 4 D.1 3， 1 4 解析： 选 A.由题意知 abc11 12， ac 1 60， (1
20、) 2a12c221 121， 解得 a 5 12， b1 4. 5设掷 1 枚骰子的点数为 ，则( ) AE()3.5，D()3.52 BE()3.5，D()35 12 CE()3.5，D()3.5 DE()3.5，D()35 16 解析：选 B.随机变量 的分布列为 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 从而 E()11 62 1 63 1 64 1 65 1 66 1 63.5， D()(13.5)21 6(23.5) 21 6(33.5) 21 6(43.5) 21 6(53.5) 21 6(63.5) 2 1 6 35 12. 6如图，将一个各面
21、都凃了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)( ) A.126 125 B.6 5 C.168 125 D.7 5 解析：选 B.依题意得 X 的取值可能为 0，1，2，3，且 P(X0) 33 125 27 125，P(X1) 96 125 54 125，P(X2) 312 125 36 125，P(X3) 8 125.故 E(X)0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125 6 5. 7(2019 杭州高考二模)已知随机变量 的概率分布列为： 0 1 2 P 1 4 1 2
22、1 4 则 E()_，D()_ 解析：由随机变量 的概率分布列，知 E()01 41 1 22 1 41， D()(01)21 4(11) 21 2(21) 21 4 1 2. 答案：1 1 2 8在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取 一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数 X 的分布列为_ 解析：X 的所有可能值为 0，1，2. P(X0)C 1 1C 1 1 C12C12 1 4， P(X1)C 1 1C 1 12 C12C12 1 2， P(X2)C 1 1C 1 1 C12C12 1 4. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 4 1 2
23、 1 4 答案： X 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 9.在集合 A2，3中随机取一个元素 m，在集合 B1，2，3中随机取一个元素 n，得 到点 P(m，n)，则点 P 在圆 x2y29 内部的概率为_ 解析：点 P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6 种情况，只有 (2，1)，(2，2)这 2 种情况满足在圆 x2y29 内部，所以所求概率为2 6 1 3. 答案：1 3 10一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c， a，b，c(0，1)，已知他投篮得分的数学期望是 2，则2 a
24、1 3b的最小值为_ 解析：由数学期望的定义可知 3a2b2， 所以2 a 1 3b 1 2(3a2b) 2 a 1 3b 1 2 62 3 4b a a b 1 2 62 34 16 3 ， 当且仅当4b a a b即 a 1 2，b 1 4时取得等号 答案：16 3 11在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗 位服务，每个岗位至少有一名志愿者 (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率 解：(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA
25、，那么 P(EA) A33 C25A44 1 40，即甲、 乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 40. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E，那么 P(E) A44 C25A44 1 10， 所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P(E )1P(E)9 10. (3)有两人同时参加 A 岗位服务的概率 P2C 2 5A 3 3 C25A44 1 4，所以仅有一人参加 A 岗位服务的概 率 P11P23 4. 12小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以 O 为 起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这 8 个点中任
26、取两点分别为终点得到两 个向量，记这两个向量的数量积为 X.若 X0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队 (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求 X 的分布列 解：(1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C2828(种)，当 X0 时，两向量 夹角为直角，共有 8 种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X0) 8 28 2 7. (2)两向量数量积 X 的所有可能取值为2，1，0，1，X2 时，有 2 种情形；X1 时，有 8 种情形；X1 时，有 10 种情形所以 X 的分布列为 X 2 1 0 1 P 1 14 5 14 2 7 2 7 13.某小组共 10
27、人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分 别为 3，3，4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 (1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期 望与方差 解：(1)由已知，有 P(A)C 1 3C 1 4C 2 3 C210 1 3. 所以，事件 A 发生的概率为1 3. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2. P(X0)C 2 3C 2 3C 2 4 C210 4 15， P(X1)C 1 3C
28、 1 3C 1 3C 1 4 C210 7 15， P(X2)C 1 3C 1 4 C210 4 15. 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 随机变量 X 的数学期望 E(X)0 4 151 7 152 4 151. 方差 D(X) 4 15(01) 27 15(11) 24 15(21) 28 15. 14袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1，2， 3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号 (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若 YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求 a，b 的值 解：(1)X 的取值为 0，1，2，3，4，其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 所以 E(X)01 21 1 202 1 103 3 204 1 51.5， D(X)(01.5)21 2(11.5) 21 20(21.5) 21 10(31.5) 23 20(41.5) 21 52.75. (2)由 D(Y)a2D(X)得 2.75a211，得 a 2， 又 E(Y)aE(X)b， 所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2； 当 a2 时，由 121.5b，得 b4， 所以 a2， b2或 a2， b4.
