1、 专题强化训练 1已知方程 x2 2k y2 2k11 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) A. 1 2，2 B(1，) C(1，2) D. 1 2，1 解析：选 C.由题意可得，2k12k0， 即 2k12k， 2k0， 解得 10)的右顶点为 A，经过原点的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，若|PQ|a，APPQ，则椭圆 C 的离心率为_ 解析： 不妨设点 P 在第一象限， O 为坐标原点， 由对称性可得|OP|PQ| 2 a 2， 因为 APPQ， 所以在 RtPOA 中，cosPOA|OP| |OA| 1 2，故POA60，易得 P a 4， 3a 4 ，
2、代入椭圆方程 得 1 16 3a2 16b21，故 a 25b25(a2c2)，所以椭圆 C 的离心率 e2 5 5 . 答案：2 5 5 9已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1，F2，这两 条曲线在第一象限的交点为 P，PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，椭圆与 双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的取值范围是_ 解析：设椭圆的长轴长为 2a，双曲线的实轴长为 2m，则 2c|PF2|2a10，2m10 2c，所以 ac5，m5c， 所以 e1e2 c c5 c 5c c2 25c2 1 25 c21 ， 又由三角形的性质知 2
3、c2c10， 由已知 2cb0)的离心率为 3 5，P(m，0)为 C 的长 轴上的一个动点，过 P 点且斜率为4 5的直线 l 交 C 于 A，B 两点当 m0 时，PA PB41 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)证明：|PA|2|PB|2为定值 解：(1)因为离心率为3 5，所以 b a 4 5. 当 m0 时，l 的方程为 y4 5x，代入 x2 a2 y2 b21 并整理得 x 2a 2 2 . 设 A(x0，y0)，则 B(x0，y0)， PA PBx2 0y 2 041 25x 2 041 25 a2 2 . 又因为PA PB41 2 ，所以 a225，b216，椭圆 C
4、 的方程为x 2 25 y2 161. (2)证明：将 l 的方程为 x5 4ym，代入 x2 25 y2 161， 并整理得 25y220my8(m225)0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|PA|2(x1m)2y2141 16y 2 1， 同理|PB|241 16y 2 2. 则|PA|2|PB|241 16(y 2 1y 2 2)41 16(y1y2) 22y 1y241 16 4m 5 2 16（m 225） 25 41. 所以|PA|2|PB|2为定值 15.(2019 温州十五校联合体联考)如图， 已知抛物线 C1： y22px(p 0)，直线 l 与抛物线 C1相
5、交于 A、B 两点，且当倾斜角为 60 的直 线 l 经过抛物线 C1的焦点 F 时，有|AB|1 3. (1)求抛物线 C1的方程； (2)已知圆 C2：(x1)2y2 1 16，是否存在倾斜角不为 90 的直线 l，使得线段 AB 被圆 C2 截成三等分？ 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 解： (1)当倾斜角为 60 的直线 l 经过抛物线 C1的焦点 F 时， 直线 l 的方程为 y 3(xp 2)， 联立方程组 y 3（xp 2） y22px ，即 3x25px3 4p 20， 所以|AB|5p 3 p1 3，即 p 1 8， 所以抛物线 C1的方程是 y21 4x
6、. (2)假设存在直线 l，使得线段 AB 被圆 C2截成三等分，令直线 l 交圆 C2于 C，D，设直线 l 的方程为 xmyb， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由题意知， 线段 AB 与线段 CD 的中点重合且有|AB| 3|CD|，联立方程组 4y2x xmyb，即 4y 2myb0， 所以 y1y2m 4，y1y2 b 4，x1x2 m2 4 2b， 所以线段 AB 中点的坐标 M 为(m 2 8 b，m 8)，即线段 CD 的中点为( m2 8 b，m 8)，又圆 C2的 圆心为 C2(1，0)， 所以 kMC 2 m 8 m2 8 b1 m， 所以 m28b70，即 b7 8 m2 8 ， 又因为|AB| 1m2 m2 16b 1 4 1m2 14m2，因为圆心 C2(1，0)到直线 l 的距离 d |1b| 1m2，圆 C 2的半径为1 4， 所以 3|CD|6 1 16 （1b）2 1m2 3 4 3m2(m23)， 所以 m422m2130，即 m2116 3， 所以 m 116 3，b3 32 4 ， 故直线 l 的方程为 x 116 3y3 32 4 .
