1、 微专题 03 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些 结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单 变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用 数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识： 1、集合运算在数轴中的体现： :AB 在数轴上表示为,A B表示区域的公共部分 :AB 在数轴上表示为,A B表示区域的总和 : U C A 在数轴上表示为U中除去A剩下的部分（要注意边界值能否取到） 2、问题处理时的方法与技巧： （1）涉及到单变量的范围问题，均可考
2、虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的 问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系 （2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区 域。 （3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集 合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域 （4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置 参数即可 3、作图时要注意的问题： （1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心 点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 （2）
3、处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。 二、例题精析： 例 1： （2009 安徽）集合 21 213 ,0 3 x AxxBx x ， 则AB=_ 思路： 先解出,A B的解集， 1 1,2 ,3, 2 AB ， 作出数轴，则AB即为它们的公共部分。 1 1, 2 AB 答案： 1 1, 2 AB 例 2：设集合 23 ,|8 ,Sx xTx axaSTR，则a的取值范围是_ 思路：可解出, 15,S ，而T集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集 合做起，即画出S的范围，由于STR，而数轴上有一 部分区域没有被S包含，那说明T集合负责补S空缺的部分，由于参数决定其端点位
4、置，所 以画出图像，有图像观察可得只需要： 1 85 a a 即可，解得：31a 答案：31a 小炼有话说： （1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定T区间 的端点 （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合 （3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若3a 或1a ，则端 点处既不在S里，也不在T里，不符题意。 例 3： 对于任意的xR， 满足 2 22240axax恒成立的所有实数a构成集合A， 使不等式43xxa的解集是空集的所有实数a构成集合B，则 R AC B _ 思路：先利用已知条件求出,A B，再利用数轴
5、画出 R AC B的范围即可 解：由 2 22240axax 恒成立，可得： 当20a即2a时，变为：40 恒成立 当2a时，若要恒成立，则 2 20 22 421620 a a aa 2,2A 43xxa解集为空等价于：,43xR xxa min 43axx 设 27,4 431,34 72 ,3 xx f xxxx x x min1f x 1a 即,1B 1, R C B 1,2 R AC B 小炼有话说：本题更多考察的地方在于,A B集合的求解。A集合要注意20a的情况，而 不能默认为二次不等式，B集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并 运算时，数轴将成为一个非常直观的
6、工具，作图时要注意端点值的开闭。 例 4：已知集合0) 12(,311 22 mmxmxxBxxxA，若 AB ，则实数m的取值范围为 思路：先解出,A B的解集，AB意味着,A B有公共部分，利用数轴可标注集合B两端 点的位置，进而求出m的范围 解：113xx 当1x 时， 3 113 2 xxx 3 1 2 x 当11x 时，11 323xx 恒成立 当1x时， 3 113 2 xxx 3 1 2 x 3 3 , 2 2 A 22 (21)0xmxmm 10xmxm 1mxm AB 3 1 2 m 且 3 2 m 5 3 , 2 2 m 例 5：已知 2 |521,|AxxxBx xaxx
7、a，当“xA”是“xB” 的充分不必要条件，则a的取值范围是_ 思路：,A B为两个不等式的解集，因为“xA”是“xB”的充分不必要条件，所以A是 B的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出a的范围即可 解： 2 50 5211013 521 x xxxx xx 1,3A 22 10xaxxaxaxa 10xxa 由A是B的真子集可得：3a 答案：3,a 小炼有话说： 1、 熟悉充分必要条件与集合的联系：p是q的充分不必要条件p对应集合P 是q对应集合Q的真子集 2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加 以限制，减少分类讨论的情况。例如在本
8、题中，若先处理B，则解不等式面临着分类讨论的 问题。但先处理A之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。 例 6：已知函数 2 21,02 ( )1, , 20 x x g xaxf x xx ，对 12 2,2 ,2,2xx ，使 得 12 g xf x成立，则实数a的取值范围是_ 思路：任取任取 1 2,2x ，则，则 1 g x取到取到 g x值域中的每一个元素值域中的每一个元素，依题意，存在 2 x使得 12 g xf x，意味着 g x值域中的每一个元素都在 f x的值域中，即 g x的值域为 f x的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a的范围 解
9、： 2 0,2x 时， 2 0,3f x 2 2, 0x 时， 2 4,0f x 2 4,3f x 对于 g x，分三种情况讨论 当0a时， 21,21g xaa 214 1 213 a a a 0,1a 当0a时， 1g x ，符合题意 当0a时， 21, 21g xaa 214 1 213 a a a 1,0a 综上所述：1,1a 答案：1,1a 例 7：已知集合|21 ,|Ax xxBx axb 或，若,2,4ABR AB， 则 b a _ 思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B的范围。从而确定出, a b的值， 如图所示：可得1,4ab ，所以4 b a 答案：4 例8
10、：设 22 |210 ,|0 ,|20AxxxxBx xaxbABx x， |13ABxx，求, a b 思路：A集合的不等式解集为2, 11, ，集合B为 一 元 二 次 不 等 式 的 解 集 ， 由 题 意 可 知B， 设 2 0xaxb的两根为 1212 ,x xxx ，则 12 ,Bx x ， 在数轴上作图并分析后两个条件：|20ABx x说明B将A集合覆盖数轴的漏洞堵 上了，|13ABxx说明B与A的公共部分仅有1,3，左侧没有公共部分，从而 12 ,Bx x的位置只能如此 （如图） ， 可得： 12 1,3xx ， 由韦达定理可得：2,3ab 例 9：在R上定义运算: 2 x x
11、y y ，若关于x的不等式(1)0xxa 的解集是 | 22,xxxR 的子集，则实数 a 的取值范围是（ ） A22a B12a C31a 或11a D31a 思路：首先将(1)0xxa 变为传统不等式： 100 1 x xxa xa ， 不等式含有参数a，考虑根据条件对a进行分类讨论。设解集为A，因为2,2A ，所以 首先解集要分空集与非空两种情况：当A时，则1a；当A时，根据a的取值分 类讨论计算出解集后再根据数轴求出a的范围即可 解： 1000 211 xx xxa xaxa 设解集为A 当A时，则1a 当A时： 若101aa 时，0,12,2Aa 12a 1a 11a 若101aa
12、时，1,02,2Aa 12a 3a 31a 综上所述：3,1a 答案：D 例 10：已知 (01)f xmxxnnm ，若关于x的不等式 0f x 的解集中的整 数恰有 3 个，则实数m的取值范围是（ ） A. 36m B. 13m C. 01m D. 10m 解：所解不等式为mxxn，可以考虑两边平方后 去掉绝对值，因式分解可得： 110mxnmxn ，由题意中含 3 个整 数解可得：解集应该为封闭区间，所以x的系数均大于 零，即 10 1 10 m m m ，另一方面，解集区间内有 3 个整数，从端点作为突破口分析，两 个端点为, 11 nn xx mm ，因为01nm ，所 以0,1 1
13、 n x m ，进而结合数轴分析可得三个整数解 为0, 1, 2 ， 所 以 另 一 个 端 点 的 取 值 范 围 为 322131 1 n mnm m ，而01nm ，所以只要有交集， 则可找到符合条件的, n m，结合数轴可得：211mm，求出1,3m 答案：1,3m 三、近年模拟题题目精选： 1、 （2016 四川高三第一次联考） 已知集合|2,|1,MxxxRNxxa aR， 若NM，则a的取值范围是（ ） A. 01a B. 1a C. 1a D. 01a 2、 （2014 吉林九校二模，1）已知| 12 ,|3MxxNx x ，则 R C MN （ ） A.2,3 B. 2,3
14、C. , 12,3 D. , 12,3 3、 （重庆八中半月考，1）设全集为R，集合 1 2 ,0 1 Ax xBx x ，则AB （ ） A. 2,2 B. 2,1 C. 1,2 D. 2, 4、已知函数 2 2 x f x x 的定义域为M， ln1g xx的定义域为N，则 R MC N （ ） A. , 2 B. 2, C. 2, D. , 2 5、 （2014， 浙江） 已知集合 2 |20 ,|12Px xxQxx， 则 R C PQ （ ） A. 0,1 B. 0,2 C. 1,2 D. 1,2 6、 （2014，山东）设集合|12 ,|2 ,0,2 x AxxBy yx，则AB
15、（ ） A. 0,2 B. 1,3 C. 1,4 D. 1,3 7、设集合| 237 ,|121AxxBx mxm ，若ABA，则实数m的取 值范围是_ 8、已知全集UR，集合 2 |340 ,|28 x Ax xxBx，那么集合 U C AB （ ） A. 3,4 B. 4, C. 3,4 D. 3,4 9、若关于x的不等式 22 ) 12(axx的解集中整数恰好有 3 个，则实数a的取值范围是 _. 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解析：若0a，则N 符合题意，若0a ，则 1N 符合题意，当0a 时，解得： 2,2 ,1,1MNaa ， 由NM可知： 12 01 12 a a a ，
16、 综上可得：1a 2、答案：D 解析：, 12, R C M ，在数轴上标出, R C M N的区域即可得出 R C MN 3、答案：C 解析：分别解出,A B中的不等式，: 22,:1AxB x ，所以1,2AB 4、答案：A 解 析 ： f x的 定 义 域 ： 2 202, 2xM ， g x的 定 义 域 ： 101,xN ，所以, 1 R C N ， , 2 R MC N 5、答案：C 解析：解出P中不等式：0x 或2x ，所以0,2 R C P ，则1,2 R C PQ 6、答案：D 解析： 集合A为解不等式：122121,3xxx ， 集合B为函数的值域， 由0,2x可知1,4y
17、，所以1,3AB 7、答案：3m 解 析 ：A集 合 为2,5， 由ABA可 知BA； 当B时 ， 可 得 1212mmm ，当B时，结合数轴可得： 1212 123 2153 mmm mm mm 即 23m，综上可得：m的取值范围是3m 8、答案：C 解析： 2 3404xxx或1x ,14,A 1,4 U C A 283 x x 3,B 3,4 U C AB 9、答案： 25 49 , 916 a 解析：因为不等式等价于014)4( 2 xxa，其中014)4( 2 xxa中的 04 a，且有04a，故40 a，不等式的解集为 a x a 2 1 2 1 ， 2 1 2 1 4 1 a 则一定有 1，2，3 为所求的整数解集。所以4 2 1 3 a ，解得a的范围 为) 16 49 , 9 25 (
