1、 微专题 19 利用函数证明数列不等式 利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函 数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等 式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不 等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。 一、基础知识： 1、考察类型： （1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的 （1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。 （2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中
2、进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中， 有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式 3、常见恒成立不等式： （1）ln1xx 对数多项式 （2）1 x ex 指数多项式 4、关于前n项和的放缩问题：求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶 段求和的方法有以下几种： （1）倒序相加：通项公式具备第k项与第1nk项的和为常数的特点 （2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如2n n an，求和可用错位相减） （3）等比数列求和公式 （4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且 n a裂开的某项能够与后面项裂开的某项 进行相消。 注：在放缩法处理数列求和不等式时
3、，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多 见，故优先考虑。 5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项” ，从通项公式入手，结合不等号 方向考虑放缩成可求和的通项公式。 6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立 不等式，往往提供了放缩数列的方向 7、 放缩通项公式有可能会进行多次， 要注意放缩的方向： 朝着可求和的通项公式进行靠拢 （等 比数列，裂项相消等） 8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的 联系） 二、典型例题： 例 1： 已知函数 2 lnf xxaxx在0x处取得极值 （1）求实
4、数a的值 （2）证明：对于任意的正整数）证明：对于任意的正整数n，不等式，不等式 2 341 2ln(1) 49 n n n 都成立都成立 解： （1） 1 21fxx xa 0x 为 f x的极值点 1 0101fa a （2） 思路一： 联想所证不等式与题目所给函数的联系， 会发现在 2 ln1f xxxx中， 存在对数，且左边数列的通项公式 2 2 111 n n a nnn 也具备 f x项的特征，所以考虑分 析ln1x与 2 xx的大小关系，然后与数列进行联系。 解：下面求 2 ln1f xxxx的单调区间 231 21 11 xx fxx xx ,令 00fxx x 1,0 0,+
5、 g x g x 00f xf即 2 ln1xxx（每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等式， 不用白不用！观察刚好与所证不等式不等号方向一致） 令 1 x n ，则 2 111 ln1 nnn 即 2 11 ln nn nn 2 23131 lnlnln2 124 nn nn 即 2 341 2ln(1) 49 n n n 小炼有话说： （1）此不等式实质是两组数列求和后的大小关系（ 2 11 ,ln nn nn ab nn ） ，通过对应项的 大小关系决定求和式子的大小。此题在比较项的大小时关键是利用一个恰当的函数的最值， 而这个函数往往由题目所给。另外有两点注意：关注函数最值所产
6、生的恒成立不等式 注 意不等号的方向应该与所证不等式同向 （2）解决问题后便明白所证不等式为何右边只有一个对数，其实也是在作和，只是作和时对 数合并成一项（与对数运算法则和真数的特点相关） ，所以今后遇到类似问题可猜想对数是经 历怎样的过程化简来的，这往往就是思路的突破点 思路二： 发现不等式两边均有含n的表达式， 且一侧作和， 所以考虑利用数学归纳法给予证明： 解：用数学归纳法证明： 当1n 时，不等式为2ln2成立 假设1nk k时，不等式成立（即 2 341 2ln(1) 49 k k k ） 当1nk时，若要证 22 3412 2ln2 49 1 kk k k k 2 341 2ln(
7、1) 49 k k k 只需证 22 11221 ln(1)ln2lnln 1 11 11 kkk kk kk kk （下同思路一：分析 f x的最值可得 2 ln1xxx） 令 1 1 x k ，由恒成立不等式 2 ln1xxx可得 2 111 ln 1 1 1 k k k 即所证不等式成立 nN ，均有 2 341 2ln(1) 49 n n n 小炼有话说：利用数学归纳法证明要注意两点： （1）格式的书写 （2）要利用nk所假设 的条件 例 2： 已知函数 2 ln1f xaxx （1）当 1 4 a 时，求函数 f x的单调区间 （2）当0,x时，函数( )yf x图像上的点都在 0
8、0 x yx 所表示的平面区域内，求实 数a的取值范围 （3 3） 求证：） 求证： 1 2482 1111 2 33 55 821 21 n nn e （其中（其中,nNe 是是 自然对数的底数）自然对数的底数） 解： （1）常规解法，求出单调区间找最值 2 1 ln1 4 f xxx 2 21112 212121 xxxx fxx xxx ,令 0fx 求出单调区间如下： x 1,1 1, fx f x （2）解：函数( )yf x图像上的点都在 0 0 x yx 区域内， 条件等价于0,x , 2 ln1axxx恒成立，即 2 ln10axxx 令 2 ln1g xaxxx 00g 2
9、2212211 21 111 axaxxaxa gxax xxx 令 02210g xaxa 即21 2axa 0a 时， 2 11111 ln1ln10ga aaaaa 不符合题意 （此时发现单调性并不能直接舍掉0a 的情况，但可估计函数值的趋势，ln1x恒为正，而 2 axx 早晚会随着x值的变大而为正数， 所以必然不符合题意。 在书写时可构造反例来说明， 此题只需 2 0axx 即可，所以选择 1 x a ） 0a 时，2210axa 即 0g x g x在0,单调递减 00g xg，符合题意 综上所述：0a （3）思路：观察所证不等式 1 2482 1111 2 33 55 821 2
10、1 n nn e ， 左边连乘，右边是e，可以想到利用两边取对数“化积为和” ，同时利用第二问的结论。第二 问给我们提供了恒成立的不等式，0a 时， 2 ln1axxx， 取0a ， 即l n1xx， 则可与左边的求和找到联系。 解：所证不等式等价于 1 242 ln 1ln 1ln 11 233 521 21 n nn 由（2）可得ln1xx，令 1 2 2121 n nn x ，即 111 2211 ln 1=2 212121 2121 21 nn nnnnnn （左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列裂项相消） 11211 2211111 ln 1ln
11、 12 1 23212121212121 21 n nnnn 11 21 221 n 不等式得证 小炼有话说： （1）第二问中代数方法与数形结合方法的抉择（体会为什么放弃线性规划思路） ，以及如何 将约束条件转变为恒成立问题 （2）对数运算的特点：化积为和。题目中没有关于乘积式的不等关系，于是决定变为和式 （3）利用上一问的结论放缩通项公式，将不可求和转变为可求和，进而解决问题 例 3： 已知函数) 1( 1 )ln1 ( )( x x xax xf （1）当0a 时，讨论 xfxxg 2 ) 1()(的单调性； （2）当1a时，若nxf)(恒成立，求满足条件的正整数n的值； （3）求证：求证
12、： 2 5 2 11321211 n enn . 解： （1） 2 ln1 1 axaxa fx x ln1g xaxaxa 1ax gxaa xx 若 010g xa x 当0a 时， g x在1 +，上单调递增 当0a时， g x在1 +，上单调递减 （2）思路： 1ln 1 xx f x x 不等式等价于 1ln 1 xx n x ，即 min 1ln 1 xx n x 而在第（1）问中 g x即为 fx的分子，故考虑利用 g x来确定 fx的符号，进而求出 f x的单调区间及最值 解： 2 ln2 1 xx fx x ln2g xxx，由（1）得 g x单调递增 33 ln320, (
13、4)4ln420gg 3,4b , ln20g bbb( 尽 管 无 法 直 接 求 出 g x的 零 点 ， 但 可 估 计 出 12 ,0 ,xgx且 ,0xg x，所以可估计零点的所在区间） 1,0;,0xbg xxbg x f x的单调区间如下： x 1,b , b fx + f x min 1ln 1 bb nf xf b b ln2bb 1 3,4 1 b b f bb b 1,2,3n （3）思路：由第（2）问得1,2,3n时，均有 1ln 1 xx n x ，所证不等式可两边同取对 数“化积为和” ，再考虑利用结论进行放缩 解：所证不等式等价于： 5 ln 1 1 2ln 12
14、3ln 112 2 n nn 由第（2）问可得： 1ln3 3ln2 1 xx x xx 3311 ln 112223 1111 n n n nn nnn 1 11735 ln 11ln3213=2ln32 21212 n i i innn nn 即原不等式成立。 （如果从第一项就进行缩小，则 1 13 ln 1123 123 11 n i i inn nn ，发现缩 小过度但差距不大，所以进行调整，第一项不变，其余放缩。这样不仅减少缩小的尺度，同时不改变求和规 律） 小炼有话说：这道题是对书中几篇文章所讲技巧的一个综合。所涉内容如下： （1）第二问中对零点xb的处理，参见：3.1.3 最值分
15、析法 （2）第三问中数列放缩后的调整值得注意，放缩的过程中有可能存在“放过头”的情况，往 往是由于前几项放缩程度过大造成的（通常n越大，放缩的程度越小） ，所以考虑数列前几项 不进行放缩，然后再看不等式能否成立，若一直都“过度”一点点，那么就要考虑是否另选 放缩方案了。 例 4：设函数 2 ln1f xxax，其中aR。: （1）当0a时，讨论函数( )f x在其定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数n，不等式 23 1 11 ln1 n k n kk 都成立。 解析： （1） 2 22 2 11 axxa fxx xx ，令 0fx 即解不等式 2 220xxa 1 00 2 a 时
16、 方程 2 220xxa的两根 12 112112 , 22 aa xx ， 21 1xx f x的单调区间为： x 112 1, 2 a 112112 , 22 aa 112 , 2 a fx f x 1 0 2 a 时， 2 220xxa恒成立 f x在1, 单调递增 （2）考虑1a 时，则 2 ln1f xxx 令 332 ln1h xxf xxxx 2 3 31 0 1 xx h x x 在0,恒成立 h x在0,单调递增 00h xh 23 ln1xxx，令 1 xnN n 2323 111111 ln 1ln n nnnnnn 23 11 111 ln nn kk k kkk 即：
17、 23 1 11 ln1 n k n kk 48a 例 5：已知函数)ln()(axxxf的最小值为 0，其中0a。 （1）求a的值 （2）若对任意的), 0 x，有 2 )(kxxf成立，求实数k的最小值 （3 3）证明：）证明： n i Nnn i 1 *) (2) 12ln( 12 2 解： （1） 11 1 xa fx xaxa ,定义域, a 令 0fx 解得1xa ， f x的单调区间为： x ,1aa 1, a fx f x min 110f xfaa 1a （2）当0k时，取1x，有02ln1) 1 (f，故0k不合题意。 当0k时，令 2 )()(kxxfxg，即 2 ) 1
18、ln()(kxxxxg。 1 )21 (2( 2 1 )( x kkxx kx x x xg，令0)( x g，得 12 12 0,1 2 k xx k 当 2 1 k时，0)(, 0 2 21 xg k k 在), 0( 上恒成立 因此)(xg在), 0 上单调递减， 对于任意的), 0 x，总有0)0()( gxg，即 2 )(kxxf在), 0 上恒成立。 故 2 1 k符合题意。 当 2 1 0 k时，0 2 21 k k ) 2 21 , 0( k k x ，0)( x g，)(xg在) 2 21 , 0( k k 内单调递增， 取) 2 21 , 0( 0 k k x 时，0)0(
19、)( 0 gxg，即 2 00) (kxxf不成立。 故 2 1 0 k不合题意 1 2 k 综上，k的最小值为 2 1 。 （3）由第（2）问可得：当 1 2 k 时，不等式 2 1 ln1 2 xxx恒成立 令 2 21 x i 2 2 22112111 ln22, 21212 212321 21 i iiN iiiii i 1 22111111 ln2ln31 21213352321 n i i iinn 即 11 2211 ln2ln3 12 212121 nn ii i iin 即 n i Nnn i 1 *) (2) 12ln( 12 2 例 6： 已知函数 3 ( )ln1,0,
20、 ( )f xxxxg xxax （1）求( )f x的最大值； （2）证明不等式：证明不等式： 12 1 nnn ne nnne 。 解： （1） 11 1 x fx xx ，令 01fxx， f x单调区间如下： x 0,1 1, fx f x max 10yf （2）思路：左边可看做数列求和，其通项公式为 n i i a n ，无法直接求和，所以考虑利用 条件进行放缩，右边是分式，可以猜想是等比数列求和后的结果，所以将 i a放缩为等比数列 模型。由（1）可得ln10ln1xxxx ，令 i x n 进行尝试 解：由（1）可得ln10ln1xxxx 令 i x n ，即ln1 iiin
21、nnn lnln n ii ninin nn （寻找n次方的来源） n i n i e n 1 1 12 1 12 = 111 nnnnn n nnn n ee neee eee nnneee 不等式得证 小炼有话说：此题的第（3）问将数列通项公式放缩为等比数列求和，如果不等式的一侧是一 个分数，则可向等比数列求和的结果考虑（猜想公比与首项） 。 例 7：函数xxfsin)(. （1）若xaxxfcos1)(在, 0上恒成立，求实数a的取值范围； （2 2）证明：）证明： ) 12(4 ) 1(23 ) 12 ) 1( (.) 12 2 () 12 ( n n n n f n f n f .
22、（1）解：恒成立不等式等价于：cossin10axxx ，令 cossin1g xaxxx 00 2 0 0 2 g ga g (注：在0,中这三个自变量的函数值最便于计算，进而选择代入） cossin1yaxxx可视为关于a的一次函数且递增 令 2 cossin1h xxxx 则对 2 ,0,ax g xh x恒成立。若要 0g x ，只需 0h x ，下面进行证明： 00,0hh,只需证 max 2 cossin10xxx 即可 2 sincoshxxx 考虑0, 2 x 时， sincos21, 2 4 xxx 从而 22 sincos10hxxx （注：导数无法求出极值点，故引入抽象的
23、极值点 0 x, 但要利用零点存在性定理估计 0 x所在区间） 32 0,0 24 hh 3 , sincos00 4 xxxhx 0 3 , 24 x ,使得 0 0h x 且当 00 0,0;,0xxh xxxh x h x在 0 0,x单调递减，在 0, x单调递增 max 00h xhh 0h x恒成立 0g xh x,进而对每一个 2 a 均满足 2 a （2）思路：将左边视为数列求和，其通项公式为() 21 k k af n (注意左边是1n项求和） ， 考虑利用前面条件对通项公式放缩：令 2 a ，则 2 sin1cosxxx 恒成立，但如果直 接进行代入，不等号右边的cosx无
24、法处理，进而无法与所证不等式的右边找到联系。考虑将 cosx挪至左侧并与sinx合角，进而将三角函数放缩为多项式。再根据求和特点进行求和 解：由（2）可得： 22 sin1cossincos1xxxxxx 222 2sin1sin 442 xxxx 令 421 4 21 kn x n 可得 4212 421222 sin 21214 2124 212 knknkk f nnnn (注：通项公式为sin 21 k k a n ，而恒成立不等式中的三角函数为sin 4 x ，所以令 421 k x n ，反求x即可） 1 1 2 4212(1)2 ()().() 2121214 212 n k k
25、nn fff nnnn 1 1 12 4 22121 2 42122 2 1 4 2124 212 n k nn nn kn n nn 3 2(1) = 4(21) n n ) 12(4 ) 1(23 ) 12 ) 1( (.) 12 2 () 12 ( n n n n f n f n f 小炼有话说： （1）关注本题第二问恒成立的求法（具体可参见 3.3.3 有关内容） ，在证明上需要极值点而 无法直接求出时可先用抽象的 0 x代替，但要确定好 0 x所处的大概区间 （2）第三问对第二问的结论稍加变形（即将cosx与sinx进行合角，而不是直接代入 f x) 的应用是本题的一大亮点。方程，不
26、等式的变形目的是将条件与结论能够连接起来，所以构 造时要关注所求不等式的结构特点。 （3）第三问不等式的左边有两个细节：第一个是左边求和的项数是1n项，第二个在 () 21 n f n 中，同一个n所代表的含义不同。分母每一项都是21n,n与项数相关。给定 一个n，数列项的分母就固定了。而分子的n代表的是序数，可发现数列中分子是在不断变化 的，从 1 变到1n,在() 21 n f n ，同一个n在分子分母中扮演的角色不同。所以在写通项公 式时，引入了字母k用来区分序数与项数。 例 8： 定义： 若 k f x y x 在, k 上为增函数， 则称 f x为 “k次比增函数” ， 其中kN ，
27、 已知 ax f xe: （1）当 1 2 a 时，求函数 f x g x x 在,10m mm上的最小值 （2 2）求证：）求证： 123 11117 2 123 n e eeene 解： （1） 1 2x e g x x 11 1 22 2 22 1 2 2 2 xx x xee xe gx xx 令 0g x 解得2x g x在0,2单调递减，在2,+单调递增 2m时， 2 min m e g xg m m 2112mmm ， min 2 2 e g xg 121mm ， 1 2 min 1 1 m e g xg m m 综上所述： 2 min +1 2 ,2 ,12 2 ,1 1 m
28、m e m m e g xm e m m （2）由第（1）问可得：0,x时， 2 2 e g xg，即 1 2 2 x ee x 所求和的通项公式为 1 nn a ne ，由 1 2 2 x ee x 可得： 2 2 22121 2 x xxx e exx xeee x exexe ， 令xn，可得： 2 12121 1 n e ne n n ne 2 12322 1111111 1 + 22 123 n en eeene 11111 1 24233 41enn 1111111111111 11 24233 412423341ennenn 1111177 =1 242242enee 例 9：已
29、知函数 ln x f x x （1）设 lng xf xxm，讨论函数 g x在区间 2 1 ,e e 上的零点个数 （2 2） 记） 记 2 * 12 3 ln , nnn nx FxSxF xFxFxnN n ， 若对任意正整数， 若对任意正整数p， 4 npn SxSx n 对任意对任意xD恒成立，则称恒成立，则称 n Sx在在xD上是“高效”的。试判断上是“高效”的。试判断 n Sx是否在是否在 2 ,xe e 上是“高效”的？若是，请给出证明，若不上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由是，请说明理由 解： （1） 2 lnx g xm x ，令 0g x 即 2 lnx
30、 m x g x的零点个数即为函数 2 lnx y x 与ym交点的个数 设 2 lnx h x x ， 2 2 2lnlnxx h x x ，令 0h x 解得 2 1,xe 单调区间如下： x 1 ,1 e 2 1,e h x h x 2 2 14 ,10,he hh e ee ，草图如下： 0m或me时， g x无零点 0m或 2 4 me e ， g x一个零点 2 4 0m e ， g x两个零点 （2） 思路： 观察到 2 3 ln n nx Fx n 结构上与（2） 中的 h x很相似， 而 n pn SxSx 实 质上是 12nnn p FxFxFx ， 故考虑对每一项进行放缩
31、使得求和具有规律性， 结 合 h x的特点 n Fx可写成 2 2 ln n nxx Fx nnx （将nx视为整体） ，进而利用 h x单调 性进行放缩 解： 2 lnx h x x 单调区间如下： x 1 ,1 e 2 1,e 2, e h x h x 2 ,xe e 2 ,n xn e n e 2 2 4 h nxh e e 22 32222 lnln44 n nxnxxx Fx nnnxnen （ 2 ,xe e ，进而放缩为 2 1 4 n ，而 2 1 n 可放 缩为能够裂项求和的式子。 ） 2 4111 442 11 n Fxn nn nnn 12 = n pnnnn p SxS
32、xFxFxFx 1111114 4+=4 11nnnpnpnnpn n Sx在 2 ,xe e 上是“高效”的 小炼有话说： （1）此题中的第（2）问对第（3）问的函数构造提供了方便，对于证明数列不等式，同学要 善于利用前面问题的条件与结论 （2）第（3）问的关键之处在于寻找 n Fx与 h x的联系，以及通过不等关系消x （3）求和时通项公式放缩的方向为构造具备裂项求和的数列，其中 2 1 n 的放缩技巧如下： 2 111 11n nnnn 而左右两边均可裂项求和 例 10： 已知函数 ln1f xxp x （1）若 f x在定义域内为减函数，求p的范围 （2）若）若 n a满足满足 112
33、 2 11 3,1 4 1 nn n aaa nn ，试证明：，试证明：2n时，时， 3 4 44 n ae 解： （1） f x为减函数 1 0 12 p fx xx 0,x m a x m a x 22 1 1 1 x p x x x （2）思路：由（1）可得 ln1f xxx为减函数，进而 00f xf即 ln1xx，所求是有关 n a的不等关系（有e的指数幂，所以可能与自然对数相关， 考虑数列的单调性） ，已知条件是递推数列，可尝试利用递推公式寻找不等关系求解。 解： 112 2 11 3,1 4 1 nn n aaa nn 12 2 11 0 4 1 nnn n aaa nn n a
34、单调递增 21 2 11 1+4 1 24 aa 2n 时， 12 4 nn aaa 即42, n annN 1 1222 1 222 111111 111 444 111 n nn nnn nn a aa aa nnnnnn （利 用4 n a 进行放缩，消掉多余的 n a，由 2 2 1 1nn ，联想到 1 1n n 是可裂项的。再由 f x的特点 决定两边同取对数） 1 2+1 2 11 lnln 1 4 1 n n n a a nn 由（1）可得 ln1f xxx为减函数，进而 00f xf即ln1xx 1 2+11 2 1111 ln 412 1 n nn n a an n nn
35、（再次利用不等关系去掉根式，且降低项的次 数，进而不等号右侧可求和。 所用不等关系： 22 22 20,0ababababab ab） 34 34 231 111111 ln+,ln+ln 2 323 4212 n n n aaa aaann 3 2 1111 ln 23122 n n a an n 2 1 11 1 82 113113 1 2424 1 2 n n nn 33 44 2 4 n n a eae a 3 4 44 n ae 得证 小炼有话说： （1）对付较复杂的题目，首先要把准备工作做好，在第三问中你可做的准备工作有这些： 如果你计算了 2 a，也许就知道左边的4的来源进而决定进行数列单调性分析。 如果你观察了递推公式，便可发现 2 2 1 1nn 有可处理的地方 如果你观察了所证不等式的右边，便会由e的指数幂联想到对数不等式 如果利用第一问出个可用的不等式结论，也许你就发现了对数与根式的不等关系 这些准备工作不会直接得到这些准备工作不会直接得到答案，但是起码会给你答案，但是起码会给你提供一些方法和可选择的道路提供一些方法和可选择的道路 （2）第三问依然用到了数列求和，有关消项的求和通常有两种，一种是相邻的项做差（累加 法） ，另外一种就是相邻的项做商，此时利用对数即可将“累乘消项”转变为“累加消项”
