1、 微专题 21 多元不等式的证明 多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本 章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。 一、基础知识 1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围 （2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等） ，以备使用 2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n元代数式，如果交换任意两个字母 的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式） ，则可对变量进行定序 3、证明多元不等式通常的方法有两个 （1）消元： 利用条件代入消元 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构
2、相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自 变量大小来证明不等式 （3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。 二、典型例题： 例 1： 已知 2 ln , ( )f xx g xf xaxbx， 其中 g x图像在 1,g 1处的切线平行于 x轴 （1）确定a与b的关系 （2）设斜率为）设斜率为k的直线与的直线与 f x的图像交于的图像交于 112212 ,A x yB x yxx，求证：，求证： 21 11 k xx 解： （1） 2 lng xxaxbx 1 2gxa xb x ，依题意可得： 11 2021gabba （2）思路： 21
3、21 2121 lnlnyyxx k xxxx ，所证不等式为 21 2211 1lnln1xx xxxx 即 21221 211 ln xxxxx xxx ，进而可将 2 1 x x 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等 式 解：依题意得 2121 2121 lnlnyyxx k xxxx ，故所证不等式等价于： 2121221122 2211211211 1lnln1 ln1ln1 xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx 令 2 1 ,(1) x tt x ，则只需证： 1 1ln1tt t 先证右边不等式：ln1ln10tttt 令 ln1h xtt 11 1 t h t t
4、t h t在1,单调递减 10h th 即ln10tt 对于左边不等式： 11 1lnln10tt tt 令 1 ( )ln1p tt t ，则 22 111t p t ttt p t在1+，单调递增 10p tp 小炼有话说： （1）在证明不等式 21 2211 1lnln1xx xxxx 时，由于 12 ,x x独立取值，无法利用等量关系消去 一个变量，所以考虑构造表达式 12 ,f x x：使得不等式以 12 ,f x x为研究对象，再利用换元 将多元不等式转变为一元不等式 （2）所证不等式为轮换对称式时，若 12 ,x x独立取值，可对 12 ,x x定序，从而增加一个可操作 的条件
5、例 2：已知函数 lnf xxx （1）求)(xf的单调区间和极值； （2）设）设 1122 ,A xfxB xfx，且，且 12 xx，证明：，证明： 21 12 21 2 f xf xxx f xx 解： （1）定义域为0, ln1fxx 令 0fx 解得： 1 x e f x的单调增区间是 1 , e ，单调减区间是 1 0, e f x的极小值为 1111 lnf eeee ，无极大值 （2）思路：所证不等式等价于证 221112 21 lnln ln1 2 xxxxxx xx ，轮换对称式可设 12 xx， 进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设 12 xx 12
6、 () 2 AB xx kf 221112 21 lnln ln1 2 xxxxxx xx 1212 22112121 lnlnlnln 22 xxxx xxxxxxxx （由于定序 12 xx，去分母避免了分 类讨论） 21 2121 1212 22 lnln xx xxxx xxxx （观察两边同时除以 1 x，即可构造出关于 2 1 x x 的不等式） 两边同除以 1 x得， 2 212 22 11 1 11 2 2 lnln1 11 x xxx xx xx xx 令 2 1 x x t，则1t ， 即证： 22 lnln1 11 t tt tt 令 22 ( )lnln1 11 t g
7、 ttt tt 22 21212 ( )ln1 12(1)2(1) ttt g tt tttt 2111 lnln(1) 1111 tttt tttt 令 1 0 1 t m m t ， ln 1h mmm （再次利用整体换元） 1 10 11 m h m mm ， h m在0,上单调递减，所以 00h mh 即ln 1mm，即( )g t 11 ln(1)0 11 tt tt 恒成立 ( )g t在(1,)上是减函数，所以( )(1)0g tg 22 lnln1 11 t tt tt 得证 所以 12 () 2 AB xx kf 成立 小炼有话说： （1）本题考验不等式的变形，对于不等式 2
8、1 2121 1212 22 lnln xx xxxx xxxx 而言，观察到 每一项具备齐次的特征（不包括对数） ，所以同除以 1 x，结果为 2 1 x x 或者 1，观察对数的真数， 其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以 1 x，结果为 2 1 x x 或者 1，进而就将不 等式化为以 2 1 x x 为核心的不等式 （2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式 例 3：已知函数 2 1 ( ) 2 x f xexax（aR） （1）若函数 f x在R上是增函数，求实数a的取值范围； （2）如果如果函数函数 2 1 2 g xfxax 恰有两个不同的
9、极值点恰有两个不同的极值点 12 ,x x, 证明：证明： 12 ln2 2 xx a 解： （1） f x是R上是增函数 ,0 x xR fxexa (注意：单调递增导数值0） min x aex 设 x h xex 1 x h xe 令 0h x 解得0x 故 h x在,0单调递减，在0 +，单调递增 min 01h xh 1a （2）思路： 22 1 2 x g xfxaxeaxax ， 2 x g xeaxa。所证不等 式含有 3 个字母，考虑利用条件减少变量个数。由 12 ,x x为极值点可得 1 2 1 2 20 20 x x eaxa eaxa 从而可用 12 ,x x表示a，简
10、化所证不等式。 解：依题意可得： 22 1 2 x g xfxaxeaxax ， 2 x g xeaxa 12 ,x x是极值点 1 2 1 1 22 020 020 x x gxeaxa gxeaxa 两式相减可得： 12 12 2 xx ee a xx 所证不等式等价于： 121212 12 2 1212 ln 2 xxxxxx xxeeee e xxxx ，不妨设 12 xx 两边同除以 2 x e可得： 1212 2 12 1 xxxx e e xx ，（此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同 为相同，同除以 2 x e使得多项呈 12 xx的形式） 从而考虑换元减少变量
11、个数。令 12 txx 0,t 所证不等式只需证明： 22 1 +10 ttt t e etee t ，设 2 1 t t p xtee 22 1 2 tt t p xee 由（2）证明可得： 2 10 2 t t e 0p x p t在0 +，单调递减， 00p tp 证明完毕 原不等式成立即 12 ln2 2 xx a 小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于 0 的等式消去 a，进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对 12 12 12 ln 2 xx xxee xx 的处理，此时 对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以 2 x e，使得不等式的
12、左右都是以 12 xx为整 体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。 例 4：已知 2 1 ln1f xaxax （1）讨论 f x的单调性 （2）设）设2a，求证：，求证： 121212 ,0,4x xf xf xxx 解： （1）定义域0x 2 121 2 aaxa fxax xx 令 0fx ，即 22 21021axaaxa 0a 则 0fx 恒成立， f x为增函数 0a 则 2 1 2 a x a ， 0fx 恒成立， f x为增函数 0a时， 2 1 2 a x a 当1a，则 0fx 恒成立， f x为减函数 当10a 时，解得： 1 0 2 a x a x 1 0, 2
13、a a 1, 2 a a fx f x （2）思路：所证不等式 1212 4f xf xxx含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由 （1）问可知 f x单调递减，故只需知道 12 ,x x的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式， 且 12 ,x x任 取 ， 进 而 可 定 序 21 xx， 所 证 不 等 式 2121 44f xf xxx， 即 2211 44f xxf xx，发现不等式两侧为关于 12 ,x x的同构式，故可以将同构式构造一 个函数，从而证明新函数的单调性即可。 解：不妨设 21 xx，2a，所以由第（1）问可得 f x单调递减， 21 f xf x 所 证 不 等 式 等
14、 价 于 ： 12211122 4444fxfxxxfxxfxx， 令 2 41 ln14g xfxxaxaxx ，只需证明 g x单调递减即可 2 1241 24 aaxxa gxax xx 。 设 2 241h xaxxa 方程 0h x 1616116210a aaa 00h xg x g x在0,单调递减。 12 g xg x 即所证不等式成立 小炼有话说：同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为 一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为 函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。 例 5：已知
15、函数 2 2lnf xxxax. （1）当3a 时，讨论函数 yf x在 1 , 2 上的单调性； （2 2）如果）如果 1212 ,x xxx是函数是函数 f x的两个零点，的两个零点， fx为函数为函数 f x的导数，证明：的导数，证明： 12 2 0 3 xx f 解： （1） 2 2fxxa x 可判断 fx在 1 , 2 单调递减 1 4130 2 fxfaa f x在 1 , 2 单调递减 （2）思路： 2 2fxxa x 可得： 12 12 12 262 2 323 xx fxxa xx ，含有三 个字母，考虑利用条件减少字母的个数。由 12 0f xf x可得： 2 111 2
16、 222 2ln0 2ln0 xxax xxax 两式相减便可用 12 ,x x表示a,即 2 1 21 21 2ln x x axx xx ,代入可得： 2 2 21 1221 2121 1221121 2ln 62611 2ln 32323 x xxxxxx fxxxx xxxxxxx 从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明 解： 12 12 12 262 2 323 xx fxxa xx 1212 ,x xxx是函数 f x的两个零点 2 1111 2 2222 2ln0 2ln0 f xxxax f xxxax 2 1 21 21 2ln x x axx xx 2 121
17、1221 121221 2ln 26261 2 32323 x xxx fxxaxx xxxxxx 2 21 1 0 3 xx 只需证 2 21 21 1221121 2ln 66 02ln0 22 x xxxx xxxxxxx 2 1 2 2 1 1 31 ln0 12 x xx x x x ，令 2 1 ,1, x tt x 则设 31 ln 12 t h tt t 下面证 0h t 10,h 2 1 41 21 tt h t tt 1,0tht恒成立 h t在1,单调递减， 10h th 即 12 2 0 3 xx f 小炼有话说： （1） 体会在用 12 ,x x表示a时为什么要用两个
18、方程， 而不是只用 2 111 2ln0xxax来表示a? 如果只用 1 x或 2 x进行表示，则 1 ln x很难处理，用 12 ,x x两个变量表示a，在代入的时候有项 2 1 ln x x ，即可以考虑利用换元法代替 2 1 x x ,这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特 点 （2）在 2 121 21 1221 2ln 261 323 x xxx fxx xxxx 这一步中，对 21 1 3 xx项的处理 可圈可点，第三问的目的落在判断 12 2 3 xx f 的符号，而 21 1 3 xx符号为负，且在解 析式中地位多余（难以化成 2 1 x x )，所以单拿出来判断符号，
19、从而使讨论的式子得到简化且能 表示为 2 1 x x 的表达式 例 6： （2010 年天津，21）已知函数 x f xxe （1）求函数 f x的单调区间和极值 （2）已知函数 yg x的图像与函数 yf x的图像关于1x 对称，证明当1x 时， f xg x （3）如果）如果 12 xx，且，且 12 f xf x，求证：，求证： 12 2xx 解： （1） 1 xxx fxxeex e 令 01fxx f x的单调区间为： x ,1 1, fx f x f x的极大值为 1 1f e ，无极小值 （2）解：与 f x关于1x 轴对称的函数为2fx 2 22 x g xfxx e 所证不等
20、式等价于证： 2 20 xx xexe 设 2 2 xx h xxexe 10h 222 21 xxxxxx hxxeeexexee 22 11 xx exe 1x 22 10 x e 0h x h x在1,单调递增 10h xh即 f xg x （3）思路：所给条件 12 1212 xx f xf xxex e ，但很难与 12 2xx找到联系。首 先考虑 12 ,x x的范围，由（1）可得1x 是极值点， 1212 ,f xf xx x应在1x 的 两侧，观察已知和求证均为 12 ,x x的轮换对称式，所以可设 12 xx，进而 12 1xx ，既然无 法直接从条件找联系，不妨从另一个角度
21、尝试。已知条件给的是函数值，所证不等式是关于 自变量的， 1212 22xxxx，而 2 21x，根据 f x的单调区间可发现 21 2,x x 同在单调递增区间中，进而与函数值找到联系 1212 22xxf xfx 由 12 f xf x可得所证不等式等价于 22 2f xfx，刚好使用第二问的结论。 解： 12 f xf x，1x 是极值点 12 ,x x在1x 的两侧，不妨设 12 1xx 所证不等式等价于 12 2xx 而 2 21x f x在,1单调递增 1212 22xxf xfx 12 f xf x 只需证明 22 2f xfx 2 1x 由第（2）问可得 222 2f xg x
22、fx成立 12 2xx得证 小炼有话说： （1）本题第（3）问是利用函数的单调性，将自变量的不等式转化为函数值的不 等关系，进而与前面问题找到联系。在处理此类问题感到无法入手时，不妨在确定变量的范 围后适当将其赋予一个函数背景，扩展不等式变形的空间 （2） 本题第 （2）（3） 两问存在图形背景。 首先说第三问： 所证不等式 12 12 21 2 xx xx ， 即证 12 ,xx xx的中点横坐标大于 1， 而1x 恰好是 f x的极值点。 12 f xf x可 理解为 f x与一条水平线交于 12 ,x x， 而 12 1 2 xx 说明什么？说明如果是以极大值点说明如果是以极大值点1x
23、为起点向两边走，为起点向两边走， 左边下降的快而右边下降的慢！左边下降的快而右边下降的慢！ 从函数角度来看说明 f x增长快下降慢 （如 图） 。那么如何使用代数方法说明函数快增长慢下降的特点呢？本题的第二问提供了一个方 法，就是以极值点所在竖直线为对称轴，找 f x的对称图形（虚线） ，这样便把极值点左边 的情况对称到右边来（即 g x） ，由于对称轴右边都是从1x 起开始下降，那么通过证明对 称轴右侧原图像在对称图像的上方即可说明增减的相对快慢。 例 7：已知函数 1ln , ax fxaR x （1）求 f x的极值 （2）若ln0xkx对任意的0x 均成立，求k的取值范围 （3）已知
24、12 0,0xx且 12 xxe，求证： 1212 xxx x 解： （1） 2 lnax fx x 令 0fx 解得 a xe f x在0, a e单调增，在, a e 单调递减 f x有极大值 aa f ee，无极小值 （2） ln ln0 x xkxk x (参变分离法） max lnx k x 设 ln x g x x (即1a 时的 f x) max 1 g xg e e 1 k e （3）思路：所求证不等式 1212 xxx x无法直接变形，联系 ,f xg x的特点可以考虑不 等 式 两 边 取 对 数 ， 即 12121212 lnlnlnxxx xxxxx， 由 12 0,0
25、xx且 12 xxe可得 12 ,0,x xe， 联系第 （2） 问的函数 g x即可寻找 12 ln,lnxx与 12 ln xx 的联系了。 解： 12 0,0xx， 12 xxe 12 ,0,x xe 考虑 ln x g x x 在0,e单调递增 12112 1 1121 11212 lnlnln ln xxxxxx g xg xxx xxxxx 同理： 12212 2 2122 21212 lnlnln ln xxxxxx g xg xxx xxxxx 112212 1212 1212 lnln lnlnln xxxxxx xxxx xxxx 即 1212 lnlnx xxx 1212
26、 x xxx 例 8：已知函数 lng xxbx （1）函数 g x有两个不同的零点 12 ,x x，求实数b的取值范围 （2）在（1）的条件下，求证： 2 12 x xe 解： （1） g x有两个不同的零点 12 ,x x，即ln0xbx有两个不同的根 lnx b x 设 ln x f x x 2 1ln x fx x 令 0fx 可得：1 ln0xxe f x在0,e单调递减，在, e 单调递增 且x 时， 0f x ， 1 f e e 1 ,0b e （2）思路一：所证不等式中含有两个变量 12 ,x x，考虑利用条件消元将其转化为一元不等式， 由零点可知 11 22 ln0 ln0
27、xbx xbx ， 从中可以找到 1 2 x x， 即 1 212 lnx xb xx ， 下面只需用 12 ,x x 将b消掉即可，仍然利用方程组两式作差可得 2 1 12 ln x x b xx ，从而 2 12 1 12 12 ln ln x xx x x x xx ， 只需证明 2 12 1 12 ln 2 x xx x xx ，两边同除以 1 x，即可利用换元将所证不等式转为一元不等式 来进行证明 解：不妨设 21 xx 由已知可得： 11 22 ln0 ln0 xbx xbx 1212 lnx xb xx 即只需证明： 12 2b xx，在方程 11 22 ln0 ln0 xbx
28、xbx 可得： 2 12 1 ln x b xx x 2 1 12 ln x x b xx 只需证明： 2 1 12 12 ln 2 x x xx xx 即 22 2 11 2221 12 2 21111 1 1lnln 221ln21 1 xxx xxxxxx xx x xxxxx x 令 2 1 x t x ，则1t ，所以只需证明不等式：1ln211ln220tttttt 设 1ln22h tttt 10h 11 ln2ln1 t h ttt tt 10h 22 111 0 t h t ttt h t在1,单调递增 10h th h t在1,单调递增 10h th，即不等式得证 12 2
29、b xx即 1 2 ln2x x 2 12 x xe 思路二：参照例题 6 的证明方法，构造一个单调的函数，进而将自变量的不等式转化为函数 值的不等式进行证明。由（1）可知在构造的函数 ln x f x x 中，有 12 f xf xb， 且 f x在0,e单调递减，在, e 单调递增，所以考虑使用 f x来进行转换，所证不等 式 2 2 121 2 e x xex x ， 通 过 （ 1 ） 中 的 数 形 结 合 可 知 12 0xex， 从 而 有 2 1 2 0,0, e xee x ，所以所证不等式转化为 2 1 2 e f xf x ，即 2 2 2 e f xf x ，转化 为关
30、于 2 x的一元不等式，再构造函数证明即可 解：所证不等式 2 2 121 2 e x xex x 因为 lng xxbx有两不同零点 12 ,x x 12 ,x x满足方程 ln ln0 x xbxb x ，由（1）可得： 12 0xex 考虑设 ln x f x x ， 12 f xf x 由（1）可得： f x在0,e单调递减，在, e 单调递增 12 0xex 2 1 2 0,0, e xee x 结合 f x的单调性可知：只需证明 2 1 2 e f xf x 12 f xf x 所以只需证明： 22 22 22 0 ee f xff xf xx 即证明： 2 22 222 22 2
31、22222 222 2 ln ln 0lnln02ln0 e xeex xxxxex exxx x 设 222 2ln ,h xxxex xe，则 0h e 2 22 1 42 ln32 ln e h xxxexxxxx xx ，则 0h e 22 22 32 1ln12ln ee hxxx xx ，则 0h e h x单调递减 0h xh e h x单调递减 0h xh e h x单调递减 0h xh e 即 222 22 2ln0xxex得证 2 1 2 e f xf x 得证，从而有 2 2 112 2 e xx xe x 例 9：已知函数 2 11 ln 4 f xxxxa a ，其中
32、常数0a （1）求 f x的单调区间 （2 2）已知）已知 1 0 2 a，若，若 1212 ,x xa axx ，且满足，且满足 12 0fxfx，试证明：，试证明： 12 0fxxf 解： （1）定义域,xa 2 2 111 22 x axa fxx axaa xa 令 0fx 即 2 20x axa 2 12 2 0, a xxa a 12 02xxa x ,0a 2 2 0, a a 2 2 , a a fx f x 12 2xxa 0fx 恒成立 f x在,+a单调递增 12 2xxa x 2 2 , a a a 2 2 ,0 a a 0, fx f x （2） 思路一：分别用 12
33、 ,x x a表示出 12 fxx，并利用 12 0fxfx进行代换，然后判 断 12 fxx的符号即可。 解： 12 12 12 11 2 xx fxx axxa ， 00f，所以只需证明： 12 0fxx 12 0fxfx 12 1212 1212 111111211 0 222 xx fxfxxx axaaxaaxaxa 即 12 12 211 2 xx axaxa 只需证 12 1212 1111 0fxx aaxxaxax 12 1122 1111 fxx aaxaxxax 212 111 11221122 axaxxaxaxx a axaxxaxa axaxxax 1221 1 1
34、122 axxaxa ax x a axaxxax 222 2112221 1 1122 aaxaxx xaxxaax x a axaxxax 2 122212 112 11221122 22x xaxxxxa xx x a axaxxaxa axaxxax 12 1 ,0, 2 x xa aa 1212 0,0,20xaxaxxa 若要证 12 0fxx，只需证明： 12 12 0 x x axx 即可 下面判断 12 ,x x的范围 111 2 fxxaxa axa 2 22 211 2 2 xa fx xaxa 1 0, 2 a 22 2 22420xaaaa fx单调递减，不妨设 12
35、 xx 12 00,0ffxfx 12 0axxa 1 21221 0,0x xxxaxxa 12 12 0 x x axx 得证 12 0fxx 即不等式 12 0fxxf得证 思路二：在证明 12 1212 1111 0fxx aaxxaxax 时，固定 2 x(视为一个参 数） ，将 1 ax作为一个整体视为自变量，构造函数判断 12 fxx符号 解：考虑证明 12 1212 1111 0fxx aaxxaxax 同思路一判断出 12 0axxa 令 1 xax 0,xa 设 22 1111 g x axxxax 22 222 2 22 211 0 xxx gx x xxxxx g x在
36、0,a单调递增 1 0g axg a 即 12 1212 1111 0fxx aaxxaxax 不等式得证 小炼有话说： （1）思路一的方法比较直接，在整理完 12 fxx后通分判断符号。其中证明 12 0xx借鉴了例 6 的思路，通过单调性将自变量的大小关系转化为函数值的大小关系， 构造函数证明。 （2）思路二为我们提供了一个证明多元不等式的方法：可固定其中一个变量，视其为参数， 以另一个变量作为自变量构造函数，计算出最值，对原表达式进行一次放缩，然后再将先前 固定的变量视为自变量构造函数证明不等式，这种方法也称为调整法 （3）第（3）问中对 12 ,x x范围的判定是一个亮点，利用极值点与
37、单调性来进行判定。此方法 通过图像更为直观，所以在判断变量范围时可以考虑做出草图，然后观察其大概位置，在用 代数语言进行说明和证明。 例 10：已知函数 x f xeaxb，其中,2.71828.a bR e （1）当ba 时，求 f x的极小值 （2 2） 当） 当0,aba 时时， 设设 fx为为 f x的导函数的导函数， 若函数若函数 f x有两个不同的零点有两个不同的零点 12 ,x x， 且且 12 xx，求证求证： 12 12 2 3ln x x faf xx 解： （1） x f xeaxa x fxea 当0a 时， 0fx 恒成立 f x为增函数，无极小值 当0a 时，令 0 x fxea，解得lnxa f x在
