1、 微专题 26 求未知角的三角函数值 在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上 有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数 值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求 解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧 一、基础知识： 1、与三角函数计算相关的公式： （1）两角和差的正余弦，正切公式： sinsincossincos sinsincossincos coscoscossinsin coscoscossinsin tantan tan 1tantan tantan tan 1ta
2、ntan （2）倍半角公式： sin22sincos 2222 cos2cossin2cos112sin 2 2tan tan2 1tan （3）辅助角公式： 22 sincossinabab，其中tan b a 2、解决此类问题的方法步骤： （1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可 3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定 其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求
3、解。确定角的范围 有以下几个层次： （1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： 4 3 ， ，则 5 612 2 ，） （2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。 （3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为 4 ） （4）通过题目中隐含条件判断角的范围。例如： 6 sincos 5 ，可判断出在第一象限 二、典型例题： 例 1：已知 3 sin 35 ，, 2 6 ，求： （1）sin （2）sin2 解： （1）已知的角为 3 ，而所求角 33 ,故可以考虑 sinsinsincoscossin 333333 而, 2 636 2 ， 而 3 sin 35 ，故 3 在第
4、一象限 4 cos 35 1334343 s i n 25251 0 （2） 与（1）类似。考虑 2 22 33 ，则 222 sin2sin 2sin 2cossincos2 333333 2 13 2sincos12sin 23323 3 439128 3 1 5 522525 小炼有话说： （1）本题先利用已知角表示未知角，然后用已知角整体代换求解 （2）注意在求已知角其他的三角函数值时，要确定已知角的范围，进而确定其他三角函数值 的符号 （3）本题第 1 问也可利用方程的思想，即 22 133 sinsincos 3225 sincos1 来求解， 但方程过于复杂，难于计算，要进行比较
5、，体会题目所给方法的方便之处 例 2：已知 113 cos,cos() 714 ，且0 2 . （1）求tan2； （2）求. 解： （1） 4 3 0,sin 27 t a n43 2 2tan8 3 tan2 1tan47 （2） c o sc o sc o sc o ss i ns i n 0, 2 3 3 sin 14 13361 coscoscossinsin 98982 3 例 3： 已知 3 0 44 ， 335 cos,sin 45413 ， 求s i n的值 解： 3 442 33 sinsincos 44244 33 =coscossinsin 4444 3 0 44 33
6、 0, 2444 431 2 s i n, c o s 4541 3 1 23455 6 s i n 1 355 1 36 5 小炼有话说：本题注意如何确定两个角的范围：利用已知条件和不等式性质求解 例 4：设 12 cos,sin,0, 292322 ，求cos 解：2 22 coscos 222 coscossinsin 2222 ,0, 22 ,0 , 24224 , 2424 2 22 4 55 sin1cos,cos1 sin 229223 152 4 57 5 cos 2933927 2 245239 cos2cos121 2729729 例 5：已知sinsinsin0,cosc
7、oscos0，则cos（ ） A. 1 B. 1 C. 1 2 D. 1 2 思路： 所求角与, 相关， 但题目中有sin ,cos， 所以考虑利用 22 sincos1消去， 即 22 sinsinsin sinsincoscos1 coscoscos ， 化 简 后 可 得 ： 2sinsin2coscos1 即 1 cos 2 答案：D 例 6：已知 124 sin,sin 135 ，且, 均为锐角，求cos 2 解： coscoscoscossinsin ,0, 2 2 5 c o s1s i n 13 124 sin,sinsin 135 若为锐角， 则根据sinyx在0, 2 单调
8、递增，可知sinsin，与条件矛盾 , 2 3 c o s 5 ，代入可得： 3512 433 cos 51313 565 22 3349 2cos1cos 265265 0, 2 0, 24 77 cos65 26565 例 7：已知 2 0， 5 3 sin， 5 4 )cos(，则sin_ 思路一：考虑用已知角表示未知角，从而sinsin ，展 开后即可利用已知角的三角函数进行整体代入，由 2 0和 5 3 sin可知 4 cos 5 ， 但 3 , 22 ， 所 以 不 能 判 定sin的 符 号 ， 所 以 由 5 4 )cos(可 得 ： 3 sin 5 ， 分 别 代 入 表 达
9、 式 可 计 算 出sin0或 24 sin 25 ，由 2 可知 24 sin 25 解： sinsinsincoscossin 0, 2 2 4 c o s1s i n 5 0, 22 3 , 22 2 3 sin1cos 5 当 3 sin 5 时， 344324 sin 555525 当 3 sin 5 时， 3443 sin0 5555 , 2 s i n0 24 sin 25 答案： 24 25 思路二：本题以 5 3 sin， 5 4 )cos(为突破口，发现其三角函数值含有一定关系， 计算出 4 cos 5 ，从而cos()coscos ，所以得到与的关 系。结合 2 0可知2
10、kkZ，即 ,221k，所以 24 sinsin221sin2 25 k 解：0, 2 2 4 c o s1s i n 5 cos()coscos 2k或2k ，kZ 若2k即2kkZ，与 2 矛盾，故舍去 若2k 即221k ，则： 24 sinsin221sin22sincos 25 k 答案： 24 25 小炼有话说： （1）在思路一中，虽然在计算的正弦时，没有办法简单地根据角的范围 进行取舍，但是在最后的结果中会发现有一个解是不符合题意的。在解题过程中，要时刻关 注角的范围，使之成为一道防线赶走不符合条件的解 （2）思路二是从三角函数值的特点作为突破口，进而寻求已知条件中的角之间的关系
11、，这也 是对题目条件的一种妙用 例 8：已知 4 3 cossin 65 ，则 7 sin 6 的值是_ 解： 4 3 cossin 65 314 3334 3 cossinsincossin 225225 134 3 3cossin 225 4 34 3sinsin 6565 31 sinsinsincos 3662626 , 2 27 , 636 2 3 cos1 sin 665 3 4134 33 sin 3252510 例 9：已知 11 ,0,tan,tan 237 ，求2 思路：若要求出2的值，则需要它的一个三角函数。所给条件均为正切值，所以也考虑 计算 tan2tan tan 2
12、 1tan2tan ，其中tan2可由tan求出。再代入式子中可得： tan 21 ， 下面考虑2的范围。 如果按照原始条件：,0 2 可 得20 , 2， 则 3 2 4 或 7 2 4 ， 但 本 题 可 通 过 11 tan,tan 37 进一步缩小, 的范围。 由 1 tan1,0 3 可知 3 , 4 ， 由 1 tan1,0 7 可知,0 4 ，所以 5 2,2 4 ，从而 7 2 4 解： tan2tan tan 2 1tan2 tan 1 t a n 3 22 1 2 2tan33 tan2 1tan4 1 1 3 31 tan2tan 47 tan 21 311tan2 ta
13、n 1 47 1 tan1,0 3 且, 2 3 , 4 1 tan1,0 7 且,0 ,0 4 5 2,2 4 由tan 21 可知 7 2 4 例 10： 已知在ABC中，3sin4cos6,4sin3cos1ABBA， 则角C的大小为 （ ） A. 30 B. 150 C. 30或150 D. 90 思路：在ABC中，可知sinsinCAB，coscosCAB ，所以若要求角C， 结合条件 3sin4cos6 3cos4sin1 AB AB 可知选择sinsinCAB，将 3sin4cos6 3cos4sin1 AB AB 的两 个方程平方后相加可得：24 sincossincos12A
14、BBA，即 1 sin 2 AB，所以 1 sin 26 CC 或 5 6 C ， 以4 si n3 cos1BA为 突 破 口 ， 若 5 6 C ， 则 0, 6 A ， 那么 3 3 3cos3 cos1 62 A ， 且s i n0B 。 与条件4sin3cos1BA不 符。所以 6 C 解： 3sin4cos6 3cos4sin1 AB AB 22 3sin4cos3cos4sin37ABAB 2222 9sin24sincos16cos9cos24sincos16sin37AABBABAB 即9 1624 sincossincos37ABBA 1 24sin12sin() 2 ABAB ABC ABC 1 sinsinsin 2 CCAB 6 C 或 5 6 C 若 5 6 C ，则,0, 6 A B 3 sin0,cos,1 2 BA 3cos4sin1AB与条件不符 故舍去 6 C
