1、 微专题 49 等差数列性质 一、基础知识： 1、定义：数列 n a若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称 n a是等差 数列，这个常数称为 n a的公差，通常用d表示 2、等差数列的通项公式： 1 1 n aand，此通项公式存在以下几种变形： （1） nm aanm d，其中mn：已知数列中的某项 m a和公差即可求出通项公式 （2） nm aa d nm ：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3） 1 1 n aa n d ：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果, ,a b c成等差数列，则b称为, a c的等差中项 （1）等差中项
2、的性质：若b为, a c的等差中项，则有cbba即2bac （2）如果 n a为等差数列，则2,nnN ， n a均为 11 , nn aa 的等差中项 （3）如果 n a为等差数列，则 mnpq aaaamnpq 注：一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。 比如mnpqs，则 mnpqs aaaaa不一定成立 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如： 4789 20aaaa，可得 478977777 420aaaaaaaaa，即可得到 7 5a ，这种做法可称为“多项 合一” 4、等差数列通项公式与函数的关系： 11 1 n aandd nad
3、，所以该通项公式可看作 n a关于n的一次函数，从而可通 过函数的角度分析等差数列的性质。例如：0d ， n a递增；0d ， n a递减。 5、等差数列前n项和公式： 1 2 n n aa Sn ，此公式可有以下变形： （1）由 mnpq mnpqaaaa可得：1 2 pq n aa Sn pqn ，作用： 在求等差数列前n项和时，不一定必须已知 1,n a a，只需已知序数和为1n的两项即可 （2）由通项公式 1 1 n aand可得： 11 1 11 22 n aandn n Sna nd 作用： 这个公式也是计算等差数列前n项和的主流公式 2 11 11 222 n n nd Sand
4、nad n ，即 n S是关于项数n的二次函数nN ， 且不含常数项，可记为 2 n SAnBn的形式。从而可将 n S的变化规律图像化。 （3）当21nkkN 时， 121 21 21 2 k k aa Sk 因为 121 2 kk aaa 21 21 kk Ska 而 k a是 21k S 的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当2nk kN 时 12 21 2 2 k kkk aa Skk aa ，即偶数项和与中间两项和的联系 6、等差数列前n项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符 号分析，另一个角度是从前n项和公式入手分析 （1）从项的特点看最值
5、产生的条件，以 4 个等差数列为例： :1,3,5,7,9,11, n a :7,5,3,1, 1, 3, n b : 1, 3, 5, 7, 9, n c : 9, 7, 5, 3, 1,1 n d 通过观察可得： n a为递增数列，且 1 0a ，所以所有的项均为正数，前n项和只有最小值， 即 1 a，同理 n c中的项均为负数，所以前n项和只有最大值，即 1 c。而 n b虽然是递减数列， 但因为 1 0b ，所以直到 5 1b ，从而前 4 项和最大，同理， n d的前 5 项和最小。由此可 发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前n项和的最值会出现在项的符号分界处。 （2）从
6、2 n SAnBn的角度：通过配方可得 2 2 24 n BB SA n AA ，要注意nN ，则 可通过图像判断出 n S的最值 7、由等差数列生成的新等差数列 （1）在等差数列 n a中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列 例如在 :1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21, n a，以 3 为间隔抽出的项1,9,17,25,仍为等差数 列。 如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距 （2）已知等差数列 1212221223 :, nkkkkkkk aa aa aaaaaa ， 设 12kk Saaa， 21223221223 , kkkkkkkkkk SS
7、aaaSSaaa ， 则 相 邻k项 和 232 , kkkkk SSSSS成等差数列 （3）已知 , nn ab为等差数列，则有： n aC为等差数列，其中C为常数 n ka为等差数列，其中k为常数 nn ab为等差数列 可归纳为 nn abm也为等差数列 8、等差数列的判定：设数列 n a，其前n项和为 n S （1）定义（递推公式） ： 1nn aad （2）通项公式： n aknm（关于n的一次函数或常值函数） （3）前n项和公式： 2 n SAnBn 注：若 2 n SAnBnC，则 n a从第二项开始呈现等差关系 （4）对于nN ， 12 2 nnn aaa ，即从第二项开始，每一
8、项都是相邻两项的等差中项 二、典型例题： 例 1：设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 94 SS， 15 1,0 k aaa，则k _ 思路：由 94 SS可得： 94567897 50SSaaaaaa，即 7 0a 。而 1 1a ， 所以 n a不是各项为 0 的常数列，考虑 795 20aaa，所以 955 9 k aaaak 答案：9 小炼有话说：关于等差数列钱前n项和还有这样两个结论： （1）若 mn SSmn，则0 m n S （本题也可用此结论： 9413 0SSS，从而利用 奇数项和与中间项的关系可得 137 130Sa） （2）若, mn Sn Sm mn，则有 m
9、n Smn 例 2：已知数列 , nn ab为等差数列，若 1133 7,21abab，则 55 ab_ 思路：条件与所求都是“ nn ab”的形式，由 , nn ab为等差数列可得 nn ab也为等差 数列，所以 33 ab为 1155 ,abab的等差中项，从而可求出 55 ab的值 解： , nn ab为等差数列 nn ab也为等差数列 331155 2 ababab 553311 235ababab 答案：35 例 3：设 n S为等差数列 n a的前n项和， 837 4,2Sa a ，则 9 a （ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 2 思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通
10、项公式，只需将已知等式写成关于 1, a d的方程， 解出 1, a d后即可确定通项公式或者数列中的项 解： 8311 482842Saadad 71 262aad 111 1 8284210 262 adada dad 97 26aad 思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知 7 a，从而联想到 8 S可用 17 ,a a表示，即 27 827 84 2 aa Saa ，所以等式变为： 27323 442aaaaa，所以可得 21 2aad 。 97 26aad 答案：A 小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为 1, a d的二元方程，便可求解。 但如果能够观察出条
11、件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建 议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而 思路一可作为“预备队”使用。 例 4：在等差数列 n a中， 1 2008a ，其前n项和为 n S，若 1210 2 1210 SS ，则 2008 S的值 等于（ ） A. 2007 B. 2008 C. 2007 D. 2008 思路：由 1210 2 1210 SS 观察到 n S n 的特点，所以考虑数列 n S n 的性质，由等差数列前n 项 和特征 2 n SAnBn可得 n S AnB n ， 从而可判定 n S n 为等差数列， 且
12、可得公差1d ， 所以 1 12009 1 n SS ndn n ，所以2009 n Sn n，即 2008 2008S 答案：B 例 5： 已知 , nn ab为等差数列， 且前n项和分别为, nn A B， 若 71 427 n n An Bn ， 则 11 11 a b _ 思路： ，所求 11 11 a b 可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前n项和的比值。考虑利 用中间项与前n项和的关系， 有： 21112111 21,21AaBb ， 将项的比值转化为数列和的比值， 从而代入21n 即可求值： 111121 111121 214 213 aaA bbB 答案： 4 3 小
13、炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前n项和可搭建桥梁： 21 21 kk Ska ， 这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。 例 6：已知等差数列 n a中， 123282930 3,165aaaaaa，则此数列前30项和等于 （ ） A. 810 B. 900 C. 870 D. 840 思路：求前 30 项和，联想到公式,1 2 pq n aa Snpqn ，则只需31pq。由条 件可得： 130229328130 3168aaaaaaaa，所以 130 56aa，所以 130 30840 2 n aa S 答案：D 例7 ： 已 知 等 差 数 列 n a中 ，
14、 123413141516 10,70aaaaaaaa， 则 21222324 aaaa的值为_ 思路：条件为相邻 4 项和，从而考虑作差能解出数列的公差： 1234 13141516 10 70 aaaa aaaa ，可 得 ： 131142153164 4860aaaaaaaad， 解 得 5 4 d ， 考 虑 2 12 22 32 41 31 41 51 6 3 24 0aaaaaaaad，所以 2122232413141516 40110aaaaaaaa 答案：110 小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同 时在等差数列中相邻k项和的差与公差
15、相关，从而解出公差并求出表达式的值 例 8：等差数列 n a有两项, mk aamk，满足 11 , mk aa km ，则该数列前mk项之和为 （ ） A. 1 2 mk B. 2 mk C. 1 2 mk D. 1 2 mk 思路：可根据已知两项求出公差，进而求出 n a的通项公式，再进行求和即可 解： 11 , mk aa km 11 1 mk aa km d mkmkmk 111 nm aanm dnmn kmkmk 1111 12 22 mk mkmk Smkmk mkmk 答案：C 例 9：在等差数列 n a中， 1 0a ，若其前n项和为 n S，且 148 SS，那么当 n S
16、取最大值时， n的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 思路一：考虑从 n a的项出发，由 148 SS可得 14891014 0SSaaa，可得 11121112 0aaaa ，因为 1 0a ，所以 1112 0,0aa，从而 11 S最大 思路二：也可从 n S的图像出发，由 148 SS可得 n S图像中11n 是对称轴，再由 1 0a 与 148 SS可判断数列 n a的公差0d ，所以 n S为开口向下的抛物线，所以在11n 处 n S取 得最大值 答案：D 例 10：设首项为 1 a，公差为d的等差数列 n a的前n项和为 n S，满足 56 150S S ，则d的 取值范围是_ 思路：将 56 ,S S用 1, a d进行表示，从而方程 56 150S S 变形为含 1, a d的方程。而d的取值 只需让关于 1 a的方程有解即可，所以通过0 求出d的范围 解： 5161 510 ,615Sad Sad 5611 15051061515S Sadad 22 11 291010aa dd 所以关于 1 a的方程 22 11 291010aa dd 应该有解 22 818 1010dd 解得2 2d 或2 2d 答案：2 2d 或2 2d
