1、20192020 学年度高三模拟考试 数学试题 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 2 2 20 ,log1Mx xxNxx=+=，则MN= A.21xx B.01xx C.12xx D.22xx 2
2、.已知向量()()2,1 ,3,1ABACtBCAB AC=，则 A.2 B.3 C.7 D.8 3设i为虚数单位，aR， “复数 22020 21 ai z i = 是纯虚数”是“1a =”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 数学的对称美在中国传统文化中多有体现， 譬如如图所示的太极图 是由黑白两个鱼形纹组成的网形图案，充分展现了相互转化、对称统 一的和谐美如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆 的“优美函数” ，下列说法错误的是 A对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个 B( ) 3 f xx=可以是某个圆的“优美函数” C正弦
3、函数sinyx=可以同时是无数个圆的“优美函数” D.函数( )yf x=是“优美函数”的充分不必要条件为函数( )yf x=的图象是中心对称图 形 5.已知 33 cos 22 = ，且 2 ，则tan等于 A. 3 3 B. 3 3 C.3 D.3 6.已知直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在同一球面上， 且该棱柱的体积为32AB =， 1,60ACBAC=，则该球的表面积为 A.4 B.4 2 C.8 D.32 7.将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律，第 10 行从左向右的第 3 个数为 A.13 B.39 C.48 D.58 8.已知 F 为双曲线() 22 22
4、 10 xy Cab ab =：的右焦点，A、B 是双曲线 C 的一条渐近线上 关于原点对称的两点，0AF BF=且 AF 的中点在双曲线 C 上，则 C 的离心率为 A.51 B.2 21 C.31+ D.51+ 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9我国于 20l5 年 10 月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的 影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为 140 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 70 人；男性 60 人，女性
5、80 人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二 胎的人数比例图如图所示， 其中阴影部分表不倾向选择生育二胎的对应比例， 则下列叙述正 确的是 A是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B是否倾向选择生育二胎与性别有关 C调查样本中倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同 D倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数 10已知圆 22 :20C xyx+=，点 A 是直线3ykx=上任意一点，若以点 A 为圆心， 半径为 1 的圆 A 与圆 C 没有公共点，则整数 k 的值可能为 A.2 B.1 C.0 D.1 11.已知 1111 , gxgygygx axbycx
6、dy=，且11xy，则 A., x yR+，使得abcd B., x yR+，都有cd= C., x y且xy，使得abcd= D., , ,a b c d中至少有两个大于 1 12.已知在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 E，F，H 分别是 111 ,AB AD BC的中 点，下列结论中正确的是 A. 11/ / DC平面 CHD B. 1 AC 平面 1 BDA C.三棱锥 11 DBAC的体积为 5 6 D.直线 EF 与 1 BC所成的角为30 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知二项式 6 2 a x x + 的展开式中含
7、3 x项的系数是 160，则实数a的值是_. 14.将函数( )2sin 2 6 f xx = 向左平移 6 个单位后得函数( )g x， 则( )0 12 g x 在，上 的最大值是_. 15某超市春节大酬宾，购物满 100 元可参加一次抽奖活动，规则如下：顾客将一个半径适 当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球在自由落下的过程 中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中，顾客相应获得袋 子里的奖品已知小球每次遇到黑色障碍物时向左向右下落的概率都 为 1 2 若活动当天小明在该超市购物消费 108 元按照活动规则，他可 参加一次抽奖，则小明获得 A 袋中的奖品的概率为
8、_ 16已知函数( )( )2ln p f xpxxf x x =，若在定义域内为单调递增 函数，则实数p的最小值为_；若p0，在1,e上至少存在一点 0 x，使得() 0 0 2e f x x 成立，则实数p的取值范围为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （10 分） 在ABC中， 已知内角 A， B， C 所对的边分别为, ,a b c，( ) 132 , 6 cb A +=. （1）求 C； （2）若13CB CA= +，求c. 18(12 分)甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一
9、道数列问题因纸张被破坏，导 致一个条件看不清，具体如下： 等比数列 n a的前n项和为 n S，已知_， (1)判断 123 ,S SS,的关系； (2)若 13 3 12 nn n aaba=，设，记 n b的前n项和为 n T。证明： 4 3 n T 甲同学记得缺少的条件是首项 1 a的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都 记得第(1)问的答案是 132 SSS， ，成等差数列 如果甲、乙两同学记得的答案是正确的请你通过推理把条件补充完整并解答此题 19(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正 方形，PA 底面 ABCD，PA=AB，E 为线段 PB 的
10、中点 (1)证明：点 F 在线段 BC 上移动时，AEF 为直角三角形； (2)若 F 为线段 BC 的中点，求二面角 AEFD 的余弦值 20(12 分)已知椭圆() 22 1 22 10 xy Cab ab +=：的右顶点与抛物线() 2 2 20Cypx p=： 的焦点重合， 1 C的离心率为 1 2 ， 过 1 C有焦点 F且垂直于x轴的直线截 2 C所得的弦长为4 2 (1)求椭同 1 C和抛物线 2 C的方程； (2)过点 M(3，0)的直线，与椭圆 1 C交于 A，B 两点，点 B 关于x轴的对称点为点 E，证明： 直线 AE 过定点 21(12 分)调味品品评师的重要工作是对各
11、种品牌的调味品进行品尝、分析、鉴定、调配、 研发，周而复始、反复对比对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观 相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记 忆淡忘之后 再让其品尝这n瓶调味品， 并重新按品质优劣为它们排序 这称为一轮测试 根 据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 现设4n =，分别以 1234 ,a a a a表示第一次排序时被排为 1，2，3，4 的四种调味品在第二 次排序时的序号，并令 1234 1234Xaaaa=+，则 X 是对两次排序的偏离 程度的一种描述(如第二次排序时的序号为 1，3，2，4，则 X=2)
12、 (1)写 X 的所有可能值构成的集合； (2)假设 1234 ,a a a a的排列等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，求 X 的数学期望； (3)某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有 X2 (i)试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)； (ii)请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何?并说明理由 22.（12 分）已知函数( )()0,1 x f xaaa=. （1）当ae=（e为自然对数的底数）时， （i）若( )( )20 2G xf xxm=在 ，上恰有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围； （ii）若( )( )()1 22 nn T xf
13、 xxnR =+ ，求( )01T x 在 ，上的最大值； (2)当( )2, n aaf nnN + =时，,数列 n b满足( )() 1 1 1 11 2 n k nnk n k f nbC a + = =+ . 求证： 1 3 3 1 4 n n k k b = . 20192020 学年度高三模拟考试 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 15BCBDD 68CCA 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全
14、部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.ABC 10.ABC 11.BD 12.ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.2 14. 3 15. 3 4 16.1， 2 4 , 1 e e + 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 解： （1）由( ) 132cb+= 得( ) 13 sin2sinCB+=，2 分 则有 () 5 2sin13 sin 6 CC =+ . 得tan1C =，即 4 C =.5 分 （2）由13CB CA= +，可得：cos13abC
15、 = +，7 分 而 4 C =，即得 2 13 2 ab = +，由正弦定理可得：2ca=，9 分 则有 () 2 13 2 132 2 ab cb ca = + += = ，解得2c =.10 分 18.（12 分） 解： （1）依题意有：()() 2 123111111 22SSSaaa qaa qa q+=+=+，故：， 由于 2 1 020aqq+=，故， 又0q ，从而 1 2 q = ， 以上各步均可逆推，所以该题缺少的条件是： 1 2 q = ，2 分 本题解答如下： 因为 1 2 q = ，所以 21113111 11113 , 22244 Saaa Saaa=+=. 又 1
16、1 Sa=，所以 312 2SSS=+.4 分 （2）由已知可得 2 11 1 3 2 aa = ， 故 1 1 1 4,4 2 n n aa = ， 1 3 2 n n n b = ，6 分 21 123 1 3222 n n n T =+ ， 23 11 123 23 2222 n n n T =+ ，8 分 相减得， 21 11111 1 232222 n nn n T =+ ，10 分 1 4124214 1 323 23323 n nnn nn T + = .12 分 19.（12 分） 解：（1） 证明： 因为PA底面 ABCD，BC 平面 ABCD， 所以PABC. 因为 ABC
17、D 为正方形，所以ABBC， 又因为PAABA=，所以BC 平面 PAB.2 分 因为AE 平面 PAB，所以ABBC. 因为,PAAB E=为线段 PB 的中点，所以AEPB，4 分 又因为PBBCB=， 所以AE 平面 PBC. 又因为EF 平面 PBC， 所以AEEF. 所以点 F 在线段 BC 上移动时，AEF为以AEF为直角的直角三角形.6 分 （2）因为PA底面 ABCD，ABAD，以 A 为坐标原点，分别以 AB,AD,AP 所在直线 为x轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设正方形 ABCD 的边长为 2，则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,
18、2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),F （2,1,0）.7 分 所以()()()()1,0,1 ,2,1,0 ,1, 2,1 ,2, 1,0AEAFDEDF=， 设() 111 ,nx y z=为平面 AEF 的法向量， 则 11 11 0, 0, 20, 0, xz n AE xy n AF += = += = 所以 则()1,2,1n = .8 分 设() 222 ,mxy z=为平面 DEF 的法向量， 则 222 22 20,0, 20, 0, xyzm DE xy m DF += = = 所以 则()1,2,3m =.10 分 所以 () 21 cos,
19、7 m n m n m n =. 所以二面角 A-EF-D 的余弦值为 21 7 12 分 20.（12 分） 解： （1）设椭圆 1 C的半焦距为c，依题意，可得 2 p a =，则 2 2 :4Cyax=， 代入 2 4=2xcyacyac=，得，即，所以44 2ac =， 则 222 2 1 2 ac c a abc = = =+ .2 分 解得2,3ab=， 所以椭圆 1 C的方程为 22 1 43 xy +=，抛物线 2 C的方程为 2 8yx=.4 分 （2）由条件可知直线 AE 的斜率存在，设其方程为ykxm=+，设()() 1122 ,A x yE xy， 则() 22 22
20、, 3412 ykxm B xy xy =+ += 由，得( ) 222 3484120kxkmxm+=，6 分 所以 2 1212 22 8412 , 3434 kmm xxx x kk += = + . 由() ()()() 2 2222 84 3441248 430kmkmkm =+=+，可得 22 4km+ 30 因为 A,B,M 三点共线， 所以/ /AMBM.8 分 又()()()() 11222112 3,3,330AMxyBMxyyxyx=+=则. 所以()() ()() 2112 330kxmxkxmx+=. 所以()() 121212 2360kx xk xxm xxm+=
21、，9 分 所以() 2 22 4128 2360 3434 mkm kmkm kk += + . 所以 2 24184 0 334 km mk k = + ，所以，经验证满足式，11 分 所以直线 AE 的方程为 44 33 ykxkk x = ， 所以直线 AE 过定点 4 ,0 3 .12 分 21.（12 分） 解： （1）X 的可能取值集合为0,2,4,6,8. 在 1，2，3，4 中奇数与偶数各有两个， 24 ,a a中的奇数个数等于 13 ,a a中的偶数个数， 1324 1324aaaa +与同为奇数或同为偶数， () () 1324 1324Xaaaa=+必为偶数， X 的值非
22、负，且易知其值不大于 8， X的可能取值集合为0,2,4,6,8.4 分 （2） 用列表或者树状图列出1， 2， 3， 4的一共24种排列， 在等可能的假定下，() 1 0 24 P X =， ()()()() 3179341 2,4,6,8 24824248246 P XP XP XP X= 列表如下： 7 分 1731 024685 82486 EX=+ =.8 分 （3） （i）首先()()() 41 202 246 P XP XP X=+=， 将三轮测试都有2X 的概率记作 P，则三轮测试互相独立，据上述结果和独立性假设得 3 11 6216 P = .10 分 （ii）由于 15 2
23、161000 P =是一个很小的概率，11 分 这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X 的结果的可能性很小， 我们认为该品调味品师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测.12 分 22.（12 分） 解： （1）ae=时， （i）( )( )2,2 xx G xexm Gxe=， 故( )G x在()0,ln2上单调递减；在()ln2,+上单调递增；1 分 故( )2 x G xexm=在0,2上恰有两个相异实根， 故 ( ) () ( ) 2 010 ln222ln20, 240 Gm Gm Gem = = = 解得22ln21m.1 分 （ii）( )()( )1,1 222 xx nnn
24、T xexnRTxex =+ =+ .4 分 当0n =时，( )( )0, x TxeT x=在0,1上为增函数，则此时( )( )1T xTe=； 5 分 当0n 时，( )( ) 22 , 2 x n TxexT x nn =+ 在上为增函数， 故( )T x在0,1上为增函数，此时( )( )1T xTe=；6 分 当0n 时，( )( ) 22 , 2 x n TxexT x nn =+ 在，上为增函数，在 2 , n + 上 为减函数， 若 2 01 n ，即2n 时，故( )T x在 2 0, n 上为增函数，在 2 , 1 n 上为减函数， 此时( ) 2 max 22 n T xTe nn = ， 若 2 1 n ，即20n 时，( )T x在0,1上为增函数，则此时( )( ) max 1T xTe=； 综上所述：( ) 2 max 2 ,2 ,2 n en T x n e n = .8 分 （2）() 11 1 13 22 , 2112 22 n n nnkk nnn nn k aabC + = =+= 时，9 分 即 ()() 11 1 33333 2 4244242214222 nnnnn n nnnnnn nnnnn b + + = + ， 所以 11 33 1 44 33 3 1 3 44 1 4 n kn nn k kk b = = .12 分。
