1、第 1 页 共 16 页 2019 届甘肃省白银市靖远县高三第三次联考数学（理）试题届甘肃省白银市靖远县高三第三次联考数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1 2 (1 2i) i 在复平面内对应的点位于（在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可 【详解】 2 1 2i34ii34i 43i iiii 故选 B 【点睛】 本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础 题 2设集合设集合 2 |4Ax x，
2、|2ABx x ，则集合，则集合B可以为（可以为（ ） A | 3x x B | 31xx C | 3x x D |1x x 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先求得集合 A,再依次验证选项即可. 【详解】 因为 |22Ax xx或，可以依次验证选项，得到当 |1Bx x时， |2ABx x . 故答案为 D. 【点睛】 这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题目. 3从某小学随机抽取从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表： 身高身高 （100，110 （110，120 （120，130 （130，14
3、0 （140，150 第 2 页 共 16 页 频数频数 5 35 30 20 10 由此表估计这由此表估计这 100 名小学生身高的中位数为（名小学生身高的中位数为（ ） （结果保留） （结果保留 4 位有效数字）位有效数字） A119.3 B119.7 C123.3 D126.7 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可. 【详解】 由题身高在 100,110, 110,120 , 120,130的频率依次为 0.05，0.35，0.3,前两组频 率和为 0.4，组距为 10，设中位数为 x,则 0.3 x1200.1 10 ,解 x=12
4、3.3 故选 C 【点睛】 本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题. 4将函数将函数 f（x）=cos（4x- 3 ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，倍，纵坐标不变， 得到函数得到函数 y=g（x）的图象，则）的图象，则 g（x）的最小正周期是（）的最小正周期是（ ） A 2 B C2 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先由伸缩变换确定 g(x),再求周期公式计算即可 【详解】 由题 1 g x?cos4xcos 2x 233 ,T= 2 2 = 故选 B 【点睛】 本题考查三角函数伸缩变换，准确记忆变换原则
5、是关键，是基础题. 5如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为 （ ） 第 3 页 共 16 页 A 2 5 B 3 5 C 2 3 5 D 2 5 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】分析图知 2a,2b,则 e 可求. 【详解】 由题 2b=16.4,2a=20.5,则 b4 a5 ，则离心率 e= 2 4 1 5 3 5 . 故选 B. 【点睛】 本题考查椭圆的离心率，熟记 a,b 的几何意义是关键，是基础题. 6若函数若函数 f（x）= x 1 2 22ax1 logx1x1 ， ，
6、 有最大值，则有最大值，则 a 的取值范围为（的取值范围为（ ） A5, B 5, C, 5 D, 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】分析函数每段的单调性确定其最值，列 a 的不等式即可求解. 【详解】 由题 x f x22a,x1 ,单调递增，故 f xf 14a,; 1 2 f xlogx1 ,x1, 单调递减，故 f xf 11,因为函数存在最大值，所以 4 a1 ，解a5. 故选 B. 【点睛】 本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题. 7汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于等于 5 8 ，如图，网格纸上
7、的小正方形的边，如图，网格纸上的小正方形的边 长为长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可 得该几何体的体积为（得该几何体的体积为（ ） 第 4 页 共 16 页 A32 B40 C 32 10 3 D 40 10 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】将三视图还原，即可求组合体体积 【详解】 将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为 2，高为 4， 则体积为 22 11132 2424 2323 ，利用张衡的结论可得 2 532 10 10V 1683 ， 故
8、选 C 【点睛】 本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题 8设设 x，y 满足约束条件满足约束条件则则的最大值与最小值的比值为（的最大值与最小值的比值为（ ） ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在 轴上取得最大 值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出 最大值和最小值，于此 可得出答案。 【详解】 如图，作出约束条件表示的可行域. 第 5 页 共 16 页 由图可知，当直线经过点时.z 取得最大值； 当直线经过点时，z 取得最小值.故，故选：A。 【点睛】 本题考查简单的线性规划问题， 一般
9、利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优 解，考查计算能力，属于中等题。 9若存在等比数列若存在等比数列 n a，使得，使得 1231 69a aaa，则公比，则公比q的最大值为（的最大值为（ ） A1 5 4 B1 5 2 C 15 4 D 15 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】将原式表示为 1 ad，的关系式，看做关于 1 a的二次型方程有解问题，利用判别 式列不等式求解即可. 【详解】 由题设数列的公比为q(q0),则 2 1111 aa qa q6a9,整理得 22 11 qq a6a9=0, 当 2 qq0时， 易知 q=-1， 符合题意； 但 q0,当 2 qq0 时，
10、 2 3636 qq0 ， 解得 1515 q, 22 故 q 的最大值为 15 2 故选 D 【点睛】 本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为 1 a的二次方程是关键，是中档 题. 10在正方体在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中， 1 C E3EC，则异面直线，则异面直线 AC1与与 BE 所成角的余弦所成角的余弦 值为（值为（ ） A 2 17 17 B 3 17 17 C 4 51 51 D 5 51 51 【答案】【答案】D 第 6 页 共 16 页 【解析】【解析】取 1 BB靠近 1 B的四等分点 F，连接 1 C F，则 1 C FBE,连接 AF,A 1 C
11、 F或其 补角为所求,在A 1 C F中利用余弦定理即可求解. 【详解】 取 1 BB靠近 1 B的四等分点 F，连接 1 C F，则 1 C FBE,连接 AF,A 1 C F或其补角为所 求，设正方体的边长为 4，则 11 AC4 3C F17AF5,cos，A 1 48 17255 51 C F 512 4 317 故选 D 【点睛】 本题考查异面直线所成的角，作平行线找角是基本思路，准确计算是关键，是基础题. 11设设 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，若项和，若 a7=5，S5=-55，则，则 nSn的最小值为（的最小值为（ ） A343 B324 C320 D243
12、【答案】【答案】A 【解析】【解析】将 75 aS，用 1 a ,d表示，解方程组求得 n S，再设函数求导求得 n nS的最小值即 可. 【详解】 1 1 a65 5 a2d55 d 解得 1 a19 4,d 232 nn n n 1 S19n42n21n,nS2n21n , 2 设 32 f x2x21xx0 ,fx6x x7 ,当 0x7 时， fx0 ,故 n nS的最小值为 f(7)=-343. 故选 A. 【点睛】 本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最 值是关键，是中档题. 12已知已知 A，B 分别是双曲线分别是双曲线 C： 2 2 y x
13、1 2 的左、右顶点，的左、右顶点，P 为为 C 上一点，且上一点，且 P 在在 第一象限记直线第一象限记直线 PA，PB 的斜率分别为的斜率分别为 k1，k2，当，当 2k1+k2取得最小值时，取得最小值时， PAB 的的 重心坐标为（重心坐标为（ ） 第 7 页 共 16 页 A1,1 B 4 1, 3 C 4 ,1 3 D 4 4 , 3 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设 A（1，0） ，B（1，0） ，P（x，y） ，得到 12 k k2，利用基本不等式求解最 值，得到 P 的坐标，进而得到 PAB 的重心坐标. 【详解】 解：设 A（1，0） ，B（1，0） ，P（x，y）
14、 由题意， 1 1 y k x ， 2 1 y k x ， 2 12 2 1 y k k x 2，2 1 k+ 2 k2 12 2k k 4，当且仅当 2k1 2 k时取等号， 此时 1 k1，PA 的方程为 yx+1， 2 2k ，PB 的方程为 y21x 联立方程： 1 21 yx yx ，解得 P3,4 重心坐标为 1 1 3 0044 1, 333 ， 故选 B 【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 二、填空题二、填空题 13 7 1 7 x x 的展开式的第的展开式的第2项为项为_ 【答案】【答案】 5 x 【解析】【解析】由二项式定理的通项
15、公式求解即可 【详解】 由题展开式的第 2 项为 1 165 7 1 C xx 7x 故答案为 5 x 【点睛】 第 8 页 共 16 页 本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题. 14在平行四边形在平行四边形 ABCD 中，中，A（1，2） ，） ，B（-2，0） ，） ，AC23，则点，则点 D 的坐标的坐标 为为_ 【答案】【答案】(6,1) 【解析】【解析】先求AB,再求AD进而求 D 即可 【详解】 由题AB32ADACAB5, 1， ， ,故 D(6,1) 故答案为6,1 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题 15若函数若函数 cos 1, x
16、 f xx x 则则 11 lg2lglg5lg 25 ffff _ 【答案】【答案】6 【解析】【解析】确定 f xfx22 x,再由对数的运算性质代入求值即可 【详解】 由题 f xfx22 x ,lg2- 1111 lg,lg5lg,f lg2f lgf lg5f lg2 22 lg2lg56 2525 故答案为 6 【点睛】 本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题. 16过点过点 ( 1,0)M 引曲线引曲线C： 3 2yxaxa的两条切线，这两条切线与的两条切线，这两条切线与y轴分别交轴分别交 于于,A B两点两点，若，若| |MAMB，则，则a_ 【
17、答案】【答案】 27 4 【解析】【解析】由MAMB两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于 t 的方程求 出 t 值即可求解 【详解】 第 9 页 共 16 页 设切点坐标为 3 322 2tata t,2tata ,y6xa,6ta, t1 即 32 4t6t0 , 解得 t=0 或 t= 3 ,MAMB 2 两切线的斜率互为相反数，即 2a+6 2 3 0 2 , 解得 27 a 4 故答案为 27 4 【点睛】 本题考查导数的几何意义，转化MAMB两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练 掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题. 三、解答题三、解答题 17在在ABC中，中，3sin2s
18、in ,tan35ABC. （1）求）求cos2C； （2）若）若1ACBC，求，求ABC的周长的周长. 【答案】【答案】 （1） 17 18 ； （2）5 11 . 【解析】【解析】 （1）先求 1 cosC 6 ，由二倍角公式即可求cos2C；（2）由题得3a2b，解 得 a,b 值，再由余弦定理求 c 边即可求解. 【详解】 （1）tanC 35 ， 1 cosC 6 ， 2 117 cos2C21 618 . （2）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 3sinA2sinB，3a2b， AC BCb a1 ，a2，b3. 由余弦定理可得 222 cab2abcosC1321
19、1， 则c 11 ，ABC的周长为5 11 . 【点睛】 本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算 c 边是 关键，是基础题. 第 10 页 共 16 页 18某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为 200 元，低于元，低于 100 箱按原价销箱按原价销 售；不低于售；不低于 100 箱通过双方议价，买方能以优惠箱通过双方议价，买方能以优惠 8%成交的概率为成交的概率为 0.6，以优惠，以优惠 6%成交成交 的概率为的概率为 0.4 （1）甲、乙两单位都要在该厂购买）甲、乙两单位都要在该厂购买 150 箱这种零
20、件，两单位各自达成的成交价相互独箱这种零件，两单位各自达成的成交价相互独 立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率； （2）某单位需要这种零件）某单位需要这种零件 650 箱，求购买总价箱，求购买总价 X 的数学期望的数学期望 【答案】【答案】 （1）0.76； （2）120640 元. 【解析】【解析】 （1）先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率，再由对立事件得概率即 可求解； （2）先写出在折扣优惠中每箱零件的价格为Y的取值，再列分布列求解即可 【详解】 （1）因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4 0.60.24，
21、所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1 0.240.76. （2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为Y元，则Y184或 188. Y的分布列为 Y 184 188 P 0.6 0.4 则EY184 0.6 188 0.4 185.6. 从而购买总价X的数学期望为185.6 650 120640元. 【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列，对立事件的概率，是基础题. 19已知已知1,2B是抛物线是抛物线 2 :20M ypx p上一点，上一点，F为为M的焦点的焦点 （1）若）若 1 , 2 Aa ， 5 , 3 Cb 是是M上的两点，证明：上的两点，证明：FA，FB，FC依次成等比依次成等
22、比 数列数列 （2）若直线）若直线30ykxk与与M交于交于 11 ,P x y， 22 ,Q xy两点，且两点，且 1212 4yyy y ，求线段，求线段PQ的垂直平分线在的垂直平分线在x轴上的截距轴上的截距 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）4 【解析】【解析】（1） 由B在抛物线上， 求出抛物线方程； 根据抛物线焦半径公式可得FA，FB， 第 11 页 共 16 页 FC的长度，从而证得依次成等比数列； （2）将直线代入抛物线方程，消去x，根据 韦达定理求解出k，从而可得PQ中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ垂直平分 线所在直线方程，代入0y 求得结果. 【详解】 （1）1,
23、2B是抛物线 2 :20M ypx p上一点 42p 2p 2 4yx 根据题意可得： 13 1 22 FA ，1 12FB ， 58 1 33 FC 2 38 24 23 FA，FB，FC依次成等比数列 （2）由 2 3 4 ykx yx ，消x可得 2 4120kyy 12 4 yy k ， 12 12 y y k 1212 4yyy y 41 2 4 kk 2k 设PQ的中点 00 ,x y 012 12 1 2 yyy k ， 00 1 32 2 xy 线段PQ的垂直平分线的斜率为 1 2 故其直线方程为 1 12 2 yx 当0y 时，4x 【点睛】 本题考查抛物线的几何性质、直线与
24、抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线 方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率. 20如图所示，在多面体如图所示，在多面体 ABCDEF 中，四边形中，四边形 ADEF 为正方形，为正方形，ADBC，ADAB， AD=2BC=1 第 12 页 共 16 页 （1）证明：平面）证明：平面 ADEF平面平面 ABF （2）若）若 AF平面平面 ABCD，二面角，二面角 A-BC-E 为为 30 ，三棱锥，三棱锥 A-BDF 的外接球的球心为的外接球的球心为 O，求二面角，求二面角 A-CD-O 的余弦值的余弦值 【答案】【答案】 （1）详见解析； （2） 3 4 . 【解析】【解析
25、】证明AD 平面ABF即可证明平面ADEF 平面ABF；（2）由题确定二面 角A BC E的平面角为ABF， 进而推出O为线段BE的中点， 以A为坐标原点建 立空间直角坐标系Axyz，由空间向量的线面角公式求解即可 【详解】 （1）证明：因为四边形ADEF为正方形， 所以ADAF， 又ADAB，ABAFA， 所以AD 平面ABF. 因为AD 平面ADEF，所以平面ADEF 平面ABF. （2） 解： 由 （1） 知AD 平面ABF， 又A D B C， 则BC平面ABF， 从而BCBF， 又BCAB，所以二面角A BC E的平面角为ABF30. 以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，如图所
26、示， 则D 0,1,0， 1 C3,0 2 ，F 0,0,1. 因为三棱锥ABDF的外接球的球心为O，所以O为线段BE的中点， 则O的坐标为 3 1 1 , 22 2 ， 31 OC,0, 22 . 第 13 页 共 16 页 设平面OCD的法向量为nx,y,z，则n OC n CD0 ， 即 31 0, 22 1 30, 2 xz xy 令x1，得n1,2 3, 3. 易知平面ACD的一个法向量为m0,0,1， 则 33 cosm,n 416 1 . 由图可知，二面角A CD O为锐角， 故二面角A CD O的余弦值为 3 4 . 【点睛】 本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问
27、确定球心 O 的位置是关键， 是中档题. 21已知函数已知函数 f（x）的导函数）的导函数 f （ （x）满足（）满足（x+xlnx）f （ （x）f（x）对）对 x（1，+） 恒成立恒成立 （1）判断函数）判断函数 g（x）= f x 1 lnx 在（在（1，+）上的单调性，并说明理由；）上的单调性，并说明理由； （2）若）若 f（x）=ex+mx，求，求 m 的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）( )g x在(1,)上单调递增； （2） 2 ,)e. 【解析】【解析】 （1）对 g x求导利用已知条件即可判断单调性； （2）将 x f xemx代入 条件， x h xex 1 x
28、lnxmxlnx(x1) 转化为 h x0恒陈立，求 h x，讨 论2em的正负求解即可 【详解】 （1）由 xxlnx fxf x ，x1,，得 1 1 lnx fxf x0 x . 2 1 fx1 lnxf x x g x 1 lnx ， 则 g x0 ， 故 g x在1,上单调递增. 第 14 页 共 16 页 （2） x f xemx， xx xxlnxememx， 即 xx xxlnxememx x ex 1 xlnxmxlnx0 . 设函数 x h xex 1 xlnxmxlnx(x1) ， x h xex1x1 lnxm 1lnx x 1 lnxx1 em ， x1，1 lnx0
29、， x p xx 1 em为增函数， 则 p xp 12em. 当2em0，即m2e时， h x0 ，则 h x在1,上单调递增， 从而 h xh 10. 当2em0，即m2e时，则 0 x1， 0 p x0， 若 0 1xx， h x0；若 0 xx， h x0. 从而 0 min h xh xh 10，这与 h x0对x1,恒成立矛盾，故 m2e不合题意. 综上，m的取值范围为2e,. 【点睛】 本题考查导数与函数的单调性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类讨论的标准是 关键，是中档题. 22在直角坐标系在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为中，直线的参数方程为 1 2 2 3 2 xt
30、 yt （t为参数） ，以坐标原点为参数） ，以坐标原点 为极点，为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为的极坐标方程为10 （1）若）若l与与C相交于相交于,A B两点，两点，2,0P ，求，求PA PB； （2）圆）圆M的圆心在极轴上，且圆的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若经过极点，若l被圆被圆M截得的弦长为截得的弦长为1，求圆，求圆M 的半径的半径 【答案】【答案】 （1）6； （2）13. 【解析】【解析】 （1）将直线参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用 1 2 PA PBtt求解得 到结果； （2）写出l的普通方程并假设圆M的直角坐
31、标方程，利用弦长为1建立a与d 的关系，再结合圆心到直线距离公式得到方程，解方程求得a，即为圆的半径. 第 15 页 共 16 页 【详解】 （1）由10，得 22 10xy 将 1 2 2 3 2 xt yt 代入 22 10xy，得 2 260tt 设,A B两点对应的参数分别为 12 ,t t，则 1 2 6t t 故 1 2 6PAPBtt （2）直线l的普通方程为32 30xy 设圆M的方程为 2 22 0xayaa 圆心,0a到直线l的距离为 32 3 2 a d 因为 22 21ad ，所以 2 22 321 44 a da 解得：13a 或1a（舍） 则圆M的半径为13 【点睛
32、】 本题考查直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通 方程.解决直线参数方程问题中距离之和或积的关键，是明确直线参数方程标准形式中 的参数的几何意义，将距离问题转化为韦达定理的形式. 23设函数设函数( )13f xxx. （1）求不等式）求不等式( )61f x 的解集；的解集； （2）证明：）证明： 2 4( )24xf xx. 【答案】【答案】 （1） 973 5 (,)( , ) 222 2 ； （2）详见解析. 【解析】【解析】 （1）零点分段法去绝对值解不等式即可； （2）零点分段分情况证明 f x2 x4再由绝对值不等式证明 f x4即可 【详解】 （
33、1） f x61， 1f x61 ，即 5f x7， 当3x1 时， f x4显然不合； 第 16 页 共 16 页 当x3时，52x27 ，解得 97 x 22 ； 当x1时，52x27，解得 35 x 22 . 综上，不等式 f x61的解集为 973 5 , 222 2 . （2）证明：当3x1 时， f x42 x4； 当x3时， f x2 x42x22x460 ， 则 f x2 x4； 当x1时， f x2 x42x22x420 ， 则 f x2 x4. f xx1x3x1x34 ， f x4. 2 4x4 ， 2 f x4x. 故 2 4xf x2 x4. 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题
