1、第 1 页 共 20 页 2019 届安徽省皖东县中联盟高三上学期期末联考数学（文）届安徽省皖东县中联盟高三上学期期末联考数学（文） 试题试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 1,0,2A ， 1,1,3B ，则，则 AB（ ） A 1 B 1,0,1,2 C 1,0,2,3 D 1,0,1,2,3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】直接进行并集的运算即可得到答案 【详解】 1,0,2A ， 1,1,3B ， 1,0,1,2,3AB 故选：D 【点睛】 本题考查列举法的定义、并集的定义及运算，考查计算能力，属于基础题 2若若 i 为虚数单位，则为虚数单位，则 2019 1 i i
2、（ ） A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用复数的除法运算和次幂运算，进行化简、整理，即可得答案 【详解】 原式 (1)1 11(1)(1)2 iiiii iiii ， 故选：C 【点睛】 本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题。 3若直线若直线:4 10lxay 与圆与圆 22 :(2)(2)4Cxy相切，则实数相切，则实数a的值为的值为( ) A 15 28 B 28 15 C 15 28 或或 1 D 28 15 或或 1 第 2 页 共 20 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据题
3、意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得 2 | 2 4() 2 1| 2 16 a d a ，解可得a的值，即可得答案 【详解】 根据题意，圆 22 :(2)(2)4Cxy，其圆心为( 2,2) ，半径2r =； 若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离 2 | 2 4() 2 1| 2 16 a d a ， 解可得 15 28 a ； 故选：A 【点睛】 本题考查圆的切线方程、涉及点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归 思想，考查运算求解能力，属于基础题。 42018 年年 12 月月 12 日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计日，某地食品公司对某
4、副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计 得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ） A45 B47 C48 D63 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】 各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为 45 本题选择 A 选项. 【点睛】 本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 5已知已知p：若双曲线：若双曲线 22 :1 4 xy
5、C m 的实轴长大于虚轴长，则的实轴长大于虚轴长，则5m；若曲线；若曲线 第 3 页 共 20 页 f(x)lnx ax在点在点(2,(2)f处切线的斜率为处切线的斜率为 1，则实数，则实数 1 2 a ，则下列为真命题的，则下列为真命题的 是是( ) Ap q Bp q C()pq D()pq 【答案】【答案】B 【解析】【解析】分别判断命题p，q 的真假，再根据真值表判断复合命题的真假 【详解】 p：若双曲线 22 :1 4 xy C m 的标准方程为： 22 1 4 xy m ； 实轴长大于虚轴长，则242m ，解得40m ，故p为假命题； 曲线f(x)lnx ax， 1 ( )fxa
6、x ， ( )f x在点(2,(2)f 处切线的斜率为 1，则 1 (2)1 2 fa，解得 1 2 a ，故命题 q为真命题； pq 为真命题，“()pq ”，“ pq ”，“ ()pq ”都是假命题， 故选：B 【点睛】 本题考查命题的真假判断、双曲线的标准方程、曲线在某点处的切线的斜率的求法等基 础知识，属于基础题 6若为了得到函数若为了得到函数cos(2) 2 yx 的图象，现将函数的图象，现将函数sin(2) 4 yx 的图象沿的图象沿x轴轴 向左平移向左平移m个单位长度，则实数个单位长度，则实数m的值可以是的值可以是( ) A 12 B 8 C 4 D 3 【答案】【答案】B 【解
7、析】【解析】利用三角恒等变换将两个函数表达式进行变形，再通过平移原则对表达式进行 比较，即可得答案 【详解】 由题意，cos(2)cos(2 )sin2 22 yxxx ， 而sin(2)sin2() 48 yxx ， 第 4 页 共 20 页 故函数sin(2) 4 yx 的图象沿x轴向左平移 8 个单位长度即可得到函数 cos(2) 2 yx 的图象 故选：B 【点睛】 本题考查三角函数的变换以及图象的平移，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考 查运算求解能力，求解时注意左右平移是针对自变量x而言的。 7若执行如图所示的程序框图，则输出若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为的值为(
8、 ) A 1007 2015 B 1008 2017 C 1009 2019 D 1010 2021 【答案】【答案】C 【解析】【解析】首先确定流程图的功能为计数 1111 1 33 55 72017 2019 S 的 值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】 由题意结合流程图可知流程图输出结果为 1111 1 33 55 72017 2019 S ， 11(2)1 11 (2)2(2)22 nn n nn nnn ， 1111 1 33 55 72017 2019 S 11111111 1 23355720172019 111009 1 220192019 . 本题选择 C
9、选项. 【点睛】 识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： 第 5 页 共 20 页 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构 (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题 (3)按照题目的要求完成解答并验证 8我国南北朝时期的数学著作张邱建算经有这样一个问题：今有十等人，每等一我国南北朝时期的数学著作张邱建算经有这样一个问题：今有十等人，每等一 人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持 出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题出
10、，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题 的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（ ） A 6 78 斤斤 B 7 39 斤斤 C 7 78 斤斤 D 1 11 斤斤 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得 1 377 , 2678 ad ， 结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值. 【详解】 设首项为 1 a，公差为d，则根据题意可得 1 1 334 4303 ad ad ，解得 1 377 , 2678 ad 则两个人所得金相差数额绝对值的最
11、小值是 7 78 斤. 本题选择 C 选项. 【点睛】 本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题. 9若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 4 3 B 2 3 C2 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 首先由三视图还原所给的几何体为三棱锥， 然后结合体积公式求解其体积即可. 【详解】 据三视图分析知，该几何体是如图所示的棱长为 2 的正方体被平面解得的三棱锥 第 6 页 共 20 页 CADE， 且D是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积 114 2 22 323 V 【点睛】 (1)求解以三视图为载体的空间几何体的
12、体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及 直观图中线面的位置关系和数量关系， 利用相应体积公式求解； (2)若所给几何体的体积 不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 10已知函数已知函数 2 ( ) x f xx e，若，若 2 22 0,0,() 22 abab abpfqfrf ab ，则下列关系式中正确的，则下列关系式中正确的 是（是（ ） Aq rp B qpr Crpq Drqp 【答案】【答案】D 【解析】【解析】首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得 2 22 22 abab ab ， 然后结合函数区间(0,)上单调递增比较 p,q,r 的
13、大小即可. 【详解】 因为0,0ab，所以 2 2222222 222() 0 22444 abababababab ， 2 22 22 abab ，又 2 ab ab ， 2 2 ab ab ， 又因为函数 2 ( ) x f xx e在区间(0, )上单调递增， 第 7 页 共 20 页 所以 2 22 () 22 abab f abff ，即rqp 【点睛】 本题主要考查函数的单调性，均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 11已知抛物线已知抛物线 2 :4C yx的焦点为的焦点为F，准线为，准线为l，过抛物线，过抛物线C上一点上一点 0 (P x，
14、0) y作作 准线准线l的垂线，垂足为的垂线，垂足为Q，若，若 0 1x ，则点，则点P到直线到直线QF距离的取值范围是距离的取值范围是( ) A 2，2 B( 2， ) C( 2，2) D 2， ) 【答案】【答案】D 【解析】【解析】求出Q的坐标，得到QF的方程，利用点到直线的距离公式，结合P在抛物 线上，通过 0 x的范围求解即可 【详解】 抛物线 2 :4C yx的焦点为 (1,0)F ，准线为:1l x ， 0 (P x， 0) y 作准线l的垂线， 垂足为 0 ( 1,)Qy，直线QF的方程为： 00 20y xyy， 点P到直线QF距离 0000000 22 00 |2| 44
15、x yyyx yy d yy ， 2 00 4yx， 0 1x ， 2 002 0 0 (1)411 () 2444 xx dx x ，2d 点P到直线QF距离的取值范围是： 2， ) 故选：D 【点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用、点到直线的距离公式的应用，考查函数 与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力 12已知函数已知函数 3 21 3,0 ( ) 2,0 x xxt x f x t x 有且只有有且只有 3 个零点，则实数个零点，则实数t的取值范围是的取值范围是 （ ） A( 2,0 B(0,2) C(2,4) D( 2,4) 【答案】【答案】C 第
16、8 页 共 20 页 【解析】【解析】由题意可得 3 21 3 ,0 2,0 x xx x t x ，由题意可知函数y t 的图象与函数 3 21 3 ,0 2,0 x xx x y x 的图象有且只有三个交点，据此确定实数 t 的取值范围即可. 【详解】 令( )0f x ，得 3 21 3 ,0 2,0 x xx x t x ，作出函数 3 21 3 ,0 2,0 x xx x y x 的图象，据题设分 析可知，函数y t 的图象与函数 3 21 3 ,0 2,0 x xx x y x 的图象有且只有三个交点，则实 数t的取值范围是(2,4) 【点睛】 本题主要考查分段函数的零点问题， 等
17、价转化的数学思想， 数形结合的数学思想等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题二、填空题 13已知向量已知向量( 4,3)a ，若向量，若向量(2, 1)b ，则向量，则向量a在向量在向量b方向上的投影是方向上的投影是 _ 【答案】【答案】 11 5 5 【解析】【解析】向量( 4,3)a 在向量(2, 1)b 方向上的投影 | a b b ，计算即可得出结论 【详解】 向量( 4,3)a 在向量(2, 1)b 方向上的投影 第 9 页 共 20 页 22 ( 4,3) (2, 1)1111 5 5|5 2( 1) a b b 故答案为： 11 5 5 【点睛】 本题考查向
18、量数量积的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推 理能力、运算求解能力，求解时注意投影是有正负的 14已知实数已知实数 , x y满足不等式组 满足不等式组 1 420 220 x xy xy ，则，则481xy的最小值是的最小值是 _ 【答案】【答案】43 【解析】【解析】首先画出可行域，由几何意义可知当z取得最小值时，直线系方程 1 2 yxk 的截距最大， 即目标函数在点 C 处取得最小值，求得点 C 的坐标，代入目标函数求解其最小值即可. 【详解】 绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数481zxy即 11 288 z yx， 由几何意义可知当z取得最小值时，
19、直线系方程 1 2 yxk的截距最大， 则目标函数在点 C 处取得最小值， 联立直线方程： 1 420 x xy ，可得点 C 的坐标为：1,6， 据此可知目标函数的最小值为：4 1 8 6 143 . 第 10 页 共 20 页 故答案为-43 【点睛】 求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最 大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上 截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大. 15 若在 若在ABC中， 角中， 角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，(1 co
20、s )(2cos)aBbA ， 则则B的最大值为的最大值为_ 【答案】【答案】. 3 【解析】【解析】由已知利用余弦定理可得 22 31 cos 84 ac B ac ，进而根据基本不等式可得 22 2 ac ac ，从而可求 1 cos 2 B，结合范围(0, )B，可求B的最大值 【详解】 (1 cos)(2cos)aBbA ， 222222 (1)(2) 22 acbbca ab acbc ， 第 11 页 共 20 页 2bac， 222 22222() 31 2 cos 2284 ac ac acbac B acacac ， 又 22 2acac， 22 2 ac ac ， 22 3
21、11 cos 842 ac B ac ， 又(0, )B， B的最大值为 3 故答案为： 3 【点睛】 本题考查弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归 思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力 16 已知四棱锥 已知四棱锥 PABCD 的各顶点都在同一球面上， 四边形的各顶点都在同一球面上， 四边形 ABCD 是边长为是边长为 2 的正方的正方 形，过点形，过点 P 作平面作平面 ABCD 的垂线，垂足为四边形的垂线，垂足为四边形 ABCD 对角线的交点，若该四棱锥的对角线的交点，若该四棱锥的 体积为体积为 4，则其外接球的表面积等于，则其外接球的表面积等于_ 【答案
22、】【答案】 121 9 【解析】【解析】利用球心到球上各点距离均为半径，构建出方程求出半径的值即可 【详解】 设点P到平面ABCD的距离为h，即四棱锥PABCD的高为h， 则 1 2 24 3 h ，3h 设四棱锥PABCD外接球的半径为R，则 22 222 22 (3)() 2 RR ， 11 6 R ， 球的表面积 2 11121 4() 69 S 故答案为： 121 9 【点睛】 本题考查四棱锥外接球的表面积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想 象能力、运算求解能力，求解时注意球心位置的确定。 三、解答题三、解答题 第 12 页 共 20 页 17已知公比为已知公比为 4 的
23、等比数列的等比数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 4 85S （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列(1) n na的前的前n项和项和 n T 【答案】【答案】 （1） 1 4n n a ，*nN； （2） 4(34) 4 9 n n n T 【解析】【解析】 （1）设公比为q，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求 通项公式； （2）求得 1 (1)(1) 4n n nan ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公 式，化简可得所求和 【详解】 （1）设公比q为 4 的等比数列 n a的前n项和为 n S，且 4 85S
24、 ， 可得 4 1(1 4 ) 85 1 4 a ，解得 1 1a ， 则 1 4n n a ，*nN； （2） 1 (1)(1) 4n n nan ， 前n项和 231 0 1 42 43 4(1) 4n n Tn ， 234 40 1 42 43 4(1) 4n n Tn ， 两式相减可得 231 34444(1) 4 nn n Tn 1 4(1 4) (1) 4 1 4 n n n ， 化简可得 4(34) 4 9 n n n T 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能 力，属于中档题 18某教师调查了某教师调查了100名高三学生购买的数学
25、课外辅导书的数量，将统计数据制成如下名高三学生购买的数学课外辅导书的数量，将统计数据制成如下 表格：表格： 男生男生 女生女生 总计总计 第 13 页 共 20 页 购买数学课外辅导书超过购买数学课外辅导书超过2 本本 10 30 40 购买数学课外辅导书不超过购买数学课外辅导书不超过 2本本 40 20 60 总计总计 50 50 100 （）根据表格中的数据，是否有）根据表格中的数据，是否有99.9%的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性 别相关；别相关； （）从购买数学课外辅导书不超过）从购买数学课外辅导书不超过2本的学生中，按照性别分层抽样抽取本的
26、学生中，按照性别分层抽样抽取6人，再从人，再从 这这6人中随机抽取人中随机抽取3人询问购买原因，求恰有人询问购买原因，求恰有2名男生被抽到的概率名男生被抽到的概率. 附：附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，na b cd . 2 0 ()P Kk 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】【答案】 （）见解析（） 3 5 【解析】【解析】 试题分析： （I） 根据表格数据利用公式： 2 2 n adbc K abcdacbd 求 得 2 K 的值，与邻界值
27、比较，即可得到结论； （II）利用列举法，确定基本事件的个数 以及满足条件的事件个数，利用古典概型概率公式可求出恰有2名男生被抽到的概率. 试题解析： （） 2 K 的观测值 2 100200 1200 16.66710.828 40 60 50 50 k ， 故有99.9%的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别有关. （）依题意，被抽到的女生人数为2，记为a，b；男生人数为4，记为1，2，3， 4， 则随机抽取3人， 所有的基本事件为1a b，2a b，3a b，4a b， 1 2a，1 3a，1 4a，2 3a，2 4a，3 4a，1 2b， 1 3b，1 4b，2 3b，2 4b，3
28、4b，1 2 3，1 2 4， 第 14 页 共 20 页 2 3 4，共20个. 满足条件的有1 2a，1 3a，1 4a，2 3a，2 4a，3 4a， 1 2b，1 3b，1 4b，2 3b，2 4b，3 4b，共12个， 故所求概率为 123 205 19已知在已知在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c， sintancossintancosbBCbBaACaA （1）求证：）求证：AB； （2）若）若3c ， 3 cos 4 C ，求，求ABC的周长的周长 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）2 63 【解析】【解析】 （1）利用三角函数恒等变换的应
29、用化简已知等式可求in0()sAB，可得 ()ABkkZ，结合范围A，(0, )B，即可得证A B （2）由（1）可得ab，进而根据余弦定理可求6ab，即可求解ABC的周长 【详解】 （1）sintancossintancosbBCbBaACaA， sinsinsinsin coscos coscos bBCaAC bBaA CC ， sinsincoscossinsincoscosbBCbBCaACaAC， cos()cos()aACbBC ， 又AB C， coscosaBbA，sincossincosABBA， sin()0AB ，()ABkkZ， 又A，(0, )B，AB （2）由（1
30、）可知AB，可得ab， 又3c ， 3 cos 4 C ， 2222 2 3( 3)23 422 aaa a aa ， 22 6ab，可得6ab， ABC的周长2 63abc 第 15 页 共 20 页 【点睛】 本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方 程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求 值时，要先写出角的范围 20如图，矩形如图，矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面，所在平面，EP3，BP2， ADAE1，AEEP，AE BP，G，F 分别是分别是 BP，BC 的中点的
31、中点 （1）求证：平面）求证：平面 AFG平面平面 PCE； （2）求四棱锥）求四棱锥 DABPE 的体积与三棱锥的体积与三棱锥 PBCD 的体积之比的体积之比 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 2 【解析】【解析】 （1）由已知证明四边形AEPG为平行四边形，则/AGEP，得/AG平面 PCE， 再证明/FG平面PCE， 然后利用平面与平面平行的判定可得平面/AFG平 面PCE； （2）过点P作PHAB，垂足为H，求出四棱锥DABPE的体积，然后求解三角 形，结合棱锥体积公式求得三棱锥PBCD的体积，则四棱锥DABPE的体积与三 棱锥PBCD的体积之比可求 【详解】 （1）G
32、是BP的中点，2BP ， 1 1 2 PGBP， 又1AE ，/AEBP，/AEPG，且AEPG， 四边形AEPG为平行四边形，则 /AGEP， 又AG 平面PCE，EP 平面PCE，/AG平面PCE， G，F分别是BP，BC的中点，/FGPC， 又PC 平面PCE，FG 平面PCE， /FG平面PCE， 又AGFGG，AG 平面AFG，FG 平面AFG， 平面 /AFG平面PCE； （2）过点P作PHAB，垂足为H， 第 16 页 共 20 页 311 1 2 3 1 3322 D ABPEABPE VSAD 四棱锥梯形 平面ABCD平面ABPE， 平面ABCD平面ABPEAB，PH 平面A
33、BPE， PHAB， PH平面ABCD， 线段PH是三棱锥P BCD的高， 3AGEP ， 1 1 2 BGBP，90AGBEPG， 22 ( 3)12AB ，则2CDAB， 3 sin 2 ABG， 3 sin23 2 PHBPABG， 3111 2 13 3323 BCDP BCD VSPH 三棱锥 3 3 2 23 3 D ABPE P BCD V V 四棱锥 三棱锥 【点睛】 本题考查平面与平面平行的判定、棱锥体积的求法，考查函数与方程思想、转化与化归 思想，考查空间想象能力、运算求解能力 21已知椭圆已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为的离心率为 1 2
34、，短轴长为，短轴长为2 3 （1）求椭圆）求椭圆C的标准方程；的标准方程； （2）若椭圆）若椭圆C的左焦点为的左焦点为 1 F，过点过点 1 F的直线的直线l与椭圆与椭圆C交于交于,D E两点，则在两点，则在x轴上轴上 是否存在一个定点是否存在一个定点M使得直线使得直线,MD ME的斜率互为相反数？若存在，求出定点的斜率互为相反数？若存在，求出定点M的的 坐坐标；若不存在，也请说明理由标；若不存在，也请说明理由 第 17 页 共 20 页 【答案】【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）见解析 【解析】【解析】 （1）据题意，得 222 22 3 1 2 b c a cab ，求解方
35、程组确定 a,b 的值即可求得椭圆方程； （2） 据题设知点 1 1,0F ， 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为1yk x 与 椭圆方程联立，结合韦达定理有 22 1212 22 8412 , 4343 kk xxx x kk 假设存在点 M 满 足题意，则0 MEMD kk，结合韦达定理求解实数 m 的值即可；然后讨论斜率不存在 的情况即可确定定点 M 存在. 【详解】 （1）据题意，得 222 22 3 1 2 b c a cab 解得 22 4,3ab， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy （2）据题设知点 1 1,0F ，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1yk
36、x 由 22 1 1 43 yk x xy ，得 2222 4384120kxk xk 设 1122 ,E x yD x y，则 22 1212 22 8412 , 4343 kk xxx x kk 设,0M m，则直线,MD ME的斜率分别满足 21 21 , MDME yy kk xmxm 又因为直线,MD ME的斜率互为相反数， 所以 211212 12 1212 0 MEMD x yx ym yyyy kk xmxmxmxm ， 所以 211212 0x yx ym yy，所以 第 18 页 共 20 页 211212 11110x k xx k xm k xk x ， 所以 1212
37、12 220kx xk xxm k xxk ， 所以 222 222 41288 220 434343 kkk kkm kk kkk ，所以40k m 若40k m对任意kR恒成立，则4m， 当直线l的斜率k不存在时，若4m，则点4,0M 满足直线,MD ME的斜率互为 相反数 综上，在x轴上存在一个定点4,0M ，使得直线,MD ME的斜率互为相反数 【点睛】 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关 系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 22 定义：
38、若函数 定义： 若函数 ( )f x的导函数 的导函数 ( )fx 是奇函数是奇函数()( )0)fxfx ， 则称函数， 则称函数 ( )f x是 是 “双奇函数双奇函数”函数函数 2 1 ( )()()f xx xaaR x （1）若函数）若函数 ( )f x是 是“双奇函数双奇函数”，求实数，求实数a的值；的值； （2）若）若0a 时，讨论函数时，讨论函数 2 1 |1 ( )( ( ) 2 xa g xf xlnx xxa 的极值点的极值点 【答案】【答案】 （1）0a； （2）见解析. 【解析】【解析】 （1）先求出导函数( )fx ，再利用“双奇函数”的定义即可求出a的值； （2）
39、若0a 时，对x分情况讨论，利用导数研究函数( )g x的单调性和极值从而分 析出函数( )g x的极值点 【详解】 （1） 2 1 ( )()f xx xa x ， 3 1 ( )2fxxa x ， 又函数 ( )f x是“双奇函数”， 33 22 2()20 () xaxa xx 对任意xR且0x成立， 20a， 0a ； 第 19 页 共 20 页 （2） 2 1 |11 ( ) ( )|(0 22 xa g xf xlnxx xalnx x xxa ， 且(0 ) )xaa ， 即 2 2 1 , 2 ( ) 1 ,0, 2 xaxlnx xa g x xaxlnxxa 当x a时，
40、2 421 ( ) 2 xax g x x ， 令( )0g x 得， 2 1 1 4 aa x ， 2 2 1 4 aa x （舍去） ， 若 2 1 4 aa a ， 即 2 2 a， 则( ) 0g x ， 所以( )g x在( ,)a上单调递增， 所以( )g x在区间(,)a上不存在极值点， 若 2 1 4 aa a ，即 2 0 2 a， 当 1 (,)xa x 时，( )0g x；当 1 (xx ， )时，( )0g x ， 所以( )g x在 1 (,)a x上单调递减，在 1 (x，)上单调递增，所以函数( )g x在区间 (,)a上存在一个极值点， 当0xa时， 2 142
41、1 ( )2 22 xax g xxa xx ， 令( )0g x ，得 2 4210xax ，记 2 416(0)aa， 若0，即2 0a时，( ) 0g x ，所以( )g x在(0, )a 上单调递减，函数( )g x在 区间(0,)a上不存在极值点， 若0，即 2a时，则由 ( )0g x 得， 2 3 4 4 aa x ， 2 4 4 4 aa x ， 34 0xxa ， 所以当 3 ()0,xx时，( )0g x；当 3 (xx， 4) x时，( )0g x；当 4 (xx，)a时， ( )0g x ， 所以( )g x在区间 3 (0,)x上单调递减， 在区间 3 (x， 4) x上单调递增， 在区间 4 (x，)a上 单调递减， 第 20 页 共 20 页 所以当2a时，函数( )g x存在两个极值点， 综上所求，当2a时，函数( )g x的极小值点 2 4 4 aa x ，极大值点 2 4 4 aa x ， 当 2 2 2 a剟时，函数 ( )g x无极值点， 当 2 0 2 a时，函数 ( )g x的极小值点 2 1 4 aa x ，无极大值点 【点睛】 本题考查函数的新定义、利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归 思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论要做到不重 不漏
